连续时间线性定常系统时域分析课件

1、1Chapter 2 2.1 系统的数学模型系统的数学模型 2.2 LTI系统的响应系统的响应 2.3 LTI系统的冲激响应与阶跃响应系统的冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积卷积2 模型模型1：R、L、C上的上的e (t ) i (t)关系关系(1) 1i te tRe tRi t框图；流图：相乘关系框图；流图：相乘关系3(2) 11tLpi ti tede tLdi tLe ttpLd4(3) 11tCpe te tidi tCde tCi ttpCd5(4) 求和求和(5) 分支分支 12y tftft 123ftftft6 模型模型2：LTI 连续时间系统的连续时间系统的状态空间状态空间模

2、型模型 例例1. x1(t)为电感上的电流为电感上的电流，x2(t)为电容上的电压为电容上的电压 问题问题：(1) y(t) v(t) ； (2) x1(t)、x2(t) v(t)7 解：列出电压、电流方程解：列出电压、电流方程 12312122123122233422030122v ti titx txtiti txtitx titxtitity titiii， ， ， ， ， 、 、 ， 。 回路1电压回路2电压回路消去得状态方程、输出方程3电压电感状态电容状态输出电压8 112212-1-11xtxt=+v t222-xtxt03xt2y t = 0+0v t3xt （）状态方程观测方程

3、输出方程9 状态空间模型状态空间模型的一般形式的一般形式 120 ,rrv tL t tvtv t输入输入向量 120 ,mmy tL t tyty t输出输出向量 120 ,nnx tL t txtx t 120 ,nnx tL t txtx t状态状态向量状态状态向量10 解：解： 222000 , , ,n nn rm nrnmm rABCDL t tL t tL t t，状态方程观测方程x tx tv ty tx tv tv tx ty t 00 tA tAttA tAteeBdCeCeBDtd00 x txvy txv 0tu t：。因果矩阵指数函数其中为信号为02A2kAtkk0t

4、=x t v tv t11 = I + At +A t +=A x2!ke!xe状态的零输入响应状态的零输入响应状态的零状态响应状态的零状态响应输出的零输入响应输出的零输入响应输出的零状态响应输出的零状态响应11 11SISOn nn rm nm rABCDrm、，（）。状态方程观测方程 若 则成为单输入单输出系统x tx tv ty tx tv t系统的状态空间模型：系统的状态空间模型：12 状态状态：能够完全表征系统：能够完全表征系统时域时域动力学行为的动力学行为的一组一组最小最小的内部变量组。的内部变量组。 状态的状态的维数维数dim x (t) = 系统中系统中独立独立储能元件的个数储

5、能元件的个数 状态的选择状态的选择不唯一不唯一 电容串联或电感并联则不独立；电容串联或电感并联则不独立； 独立储能元件个数：把电压源断路、电流源短路，独立储能元件个数：把电压源断路、电流源短路，串并联仍不能简化的储能元件的个数。串并联仍不能简化的储能元件的个数。13前例系统前例系统： 系统状态的维数系统状态的维数 dim x (t) = 214 模型模型3：LTI 系统的系统的微分方程微分方程模型模型 有有 n 个独立储能元件的单输入单输出（个独立储能元件的单输入单输出（SISO） 系统，列微分方程：系统，列微分方程： ( )(1)(1)(0)110()(1)(1)(0)110( )( ).(

6、 )( )( )( ).( )( )nnnmmmmytayta yta ytb vtbvtbvtb vt(1)11( )(0),.,(0)0,( )?0 ,00 ,0nTnTnv tyyty txxyy：；，： （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ），已知系统在上因果求由系统的状态向量 可推得其输出初值二者是线性关系。00X XY Y15 模型模型4：LTI 系统的系统系统的系统算子算子模型模型 111010111010,.,.( ). ( ).( )( )( )( ) ( )( )( )( )nnnnnmnmnnnmmddppdtdtpapa pay tb pb pbv tD ppapa pa

7、N pb pb pbN py tv tH p v tD pN pD pH p： ，： ：，。，。令则系统的微分方程化为令有称为算子方程其中为系统算子16 LTI 系统系统方程求解方程求解 1111010111.innmnmnthiiiktk iiipapa pay tb pb pbv tytAeAyAtev ty1：。，：算子方程为完全解 =齐次解+特解齐次解：等号右边各项均为零的齐次方程的解(1)当有n个不同特征根时待定。(2)当有一个k重根时，它对应的解是特解：将代入右端，选取特解形式，求待定系数，即可得到特解i pt 。17注注：1. D(p)与与N(p)的公因式不可相消，即不可零极相消

8、的公因式不可相消，即不可零极相消。2.3. 对于不同的物理系统，其输入对于不同的物理系统，其输入-输出方程可能相同输出方程可能相同。4. 1 pp 。与一般不可交换()0( )1( ) ( )( )=tttH pv tevdev tpp零状态：。对进行因式分解，其基本单元为证：两边施以算子，即可得证明18 1. 关于关于系统响应系统响应的若干概念的若干概念 1111011011 = 0, 0,0 0,0nnnmmTnTnytayta yta y tb vtbvtb v tyyyy-+-：+讨论时间内的系统输出状态状态或状态起始0初状态或始一般地0- - 0- 0- (0 )(0 )Y YY Y

9、YYYY- -+ +-+-19 00 0zizsytv tytv tv t u t-：，-： ，-，！ ： ？：-，零输入响应 由非零起始状态所产生的响应零状态响应系统储能由产生的响应Q电容上电压、电感上电流何时能发对于零输入储能元件的演化是连续的对于零状态当有信号加入时，系统储能发生跳了变跳变生+0000000Y YY YYYYYYYYY0关关于于零零输输入入与与零零状状态态的的讨讨论论20 2. 求解求解零输入零输入响应响应 互异特征根互异特征根 （无重根）（无重根） k 重根，该根所对应的响应有重根，该根所对应的响应有k项，参阅教材。项，参阅教材。 ziyt 11110 0 0nnnD

10、p y tytayta yta y t 121 ,nnziiytu t i+(0 )=)t(0iAeY YY Y 21 3. 求解求解零状态零状态响应响应 1110( )( ) ( )0( )( )( )( )( ) ( )( )( )() ( )( ) ( ) ( ) nzsniittinzsizizsv tv t u tD p y tN p v tN pN pytv tH p v tv tD ppN p eev tytB t，；：齐次解项 特解结论系统响应 项 iti0yAt +et = yyY Y其其中中互互异异 t zsyt22 4. 系统响系统响应应 = 自由响应自由响应 + 强迫响

11、应强迫响应 1()()0( )( )( ) ( )( )( )( ) |ikkntiizizstzizikzikktzszskkzsziAey tytytB tytA eAytA eB tAytyt 带入，；，；齐次解强迫响应自由响应特解由=代入求得：中的齐次解与构成自由响零输入响应应零状态响应齐次解特解注意+y 0y 000YYYY( ) zskzsyt 。由代入式求得0Y Y23 5. 非零状态线性系统非零状态线性系统 定义（定义（非零状态线性系统非零状态线性系统）：）： 对对T，若：，若： 有：有：则称则称T为非零状态线性系统。为非零状态线性系统。 推论：线性系统响应推论：线性系统响应

12、零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 说明：说明：11112222 (0 )( ) ( )( )(0 )( )( )( )xv tx ty txv tx ty t，11221122(0 )( )(0 )( )( )( )( )( )xv txv tx ty tx ty t，v(t)y(t)Tx(t)rnm 2121,xxtttyyt 0,0,0 xvxv txtv t；nrrn0 0 00非零状态线性系统非零状态线性系统 零状态线性系统零状态线性系统 + 零输入线性系统零输入线性系统24复习提示复习提示： 抽一段不间断时间（大约抽一段不间断时间（大约 24 小时），安静小时），安静地把教

13、材地把教材 2.32.4 共共10页详细研读两遍、三页详细研读两遍、三遍、四遍、遍、四遍、，直到四个例题独立完成，直到四个例题独立完成，达到对所涉及的概念完全深入理解的程度。达到对所涉及的概念完全深入理解的程度。 上册，上册，pp48-57 例例2-9、2-10可巩固冲激函数匹配法求可巩固冲激函数匹配法求0+ 订正订正 25 冲激响应冲激响应 h(t) ：输入为单位冲激函数时的零状态：输入为单位冲激函数时的零状态响应。响应。 阶跃响应阶跃响应 ：输入为单位阶跃函数时的零状态：输入为单位阶跃函数时的零状态响应。响应。 h tTt( )sy t( )( )sy tTu t 11T ( )T( )T

14、 ( )dppdTTppTpd( )( )stsshu tttttuy ty ttu tyttth t=零状态零输入26 解算子方程求解算子方程求 h(t) ：11100degree degree 0 qqqqqiiinjjzsjN pN pytH p v tv tv tth ttD pD pN pD pqN pH pqpE pD pbD ppppp( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )( ).( )( ，真分式101 jqiiiintnjjjjhD pptH ptu tptb e( )( )( )()()( ) ，上式中 27 对

15、任意两个信号对任意两个信号 ，两者的卷积运，两者的卷积运算定义为：算定义为： 性质性质 代数性质代数性质 拓扑性质拓扑性质 12( ) ( )f tf t、1212( )( )( )()f tf tff td11( )()()f tg th tLL、，。设 定义：是函数对可积的集合绝28卷积的性质：卷积的性质： 代数性质（代数性质（课后可自行推导课后可自行推导）11111- ( )( )( )( )- ( ) ( )( ) ( )( )( )- ( )( )( )( )( )( )( )- ( )( )( )( )( )( )( )- ( )f tg tg tf tf tg th tf tg th tf tg th tf th tg th tf tf t dtf tLf tg tf tg tf t （）（）（）： （）应习惯于这种推倒可交换性可结合性线性定义为的 范数有( )( )- ( )( )1tf tt dtt dt）， （既非积分，也曼非勒贝格积分黎29 拓扑性质（拓扑性质（课后可自行推导课后可自行推导）- ( )( )( )( )( ) ( )- ( )( )( ) ( ) ( )( )- ( )( )( ) tttdddf tg tf tg tf tg tdtdtdtfgd