2022-2023学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共24分，每题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝02．（3分）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．813．（3分）如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不改变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的4．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，5cm5．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．6．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b7．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）的相反数是．10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）请写出一个大于2的无理数：．12．（2分）若分式的值为0，则x的值为．13．（2分）如果三角形的两条边长分别为4cm和9cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为cm．14．（2分）若实数a，b满足，则a+b的值为．15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则∠BDE＝°．16．（2分）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码，根据相关的数学知识，这200个方格可生成2200个不同的数据二维码．下列结论：①2200就是2个200相乘；②2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数；③2200的个位数字是6；④因为＝210＝1024，103＝1000，所以估计比1060大．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）计算：．18．（4分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）计算：．21．（5分）计算：．22．（5分）解方程：＝．23．（5分）解方程：＝3．24．（5分）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．25．（5分）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于180°”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于180°”的结论，实验方法如下：实验方法1：将∠A，∠B撕下，然后拼接摆放如图．实验方法2：将∠B，∠C撕下，然后拼接摆放如图．实验方法3：将∠A撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把∠A和∠B移动到∠C的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB．∵CM∥AB，∴∠A＝∠（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠2（）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义）．∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程．26．（5分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．27．（6分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝°；（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．28．（6分）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝；（2）若点D为点A，B的“节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为；（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的倍，且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．

2022-2023学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共24分，每题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）分式有意义的条件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：A．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．2．（3分）9的平方根是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．81【分析】直接根据平方根的定义求解即可．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴9的平方根为±3．故选：A．【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）．3．（3分）如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不改变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：＝，∴如果将分式中的字母x，y的值分别扩大为原来的2倍，那么分式的值不改变，故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．4．（3分）有长分别为2cm，3cm，4cm，5cm的四根木棍，用其中的三根首尾顺次相接不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，5cm【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．【解答】解：A、2+3＞4，故能构成三角形，不符合题意；B、2+3＝5，不能构成三角形，符合题意；C、2+4＞5，能组成三角形，不符合题意；D、3+4＞5，故能构成三角形，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系是解题关键．5．（3分）下列根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A．＝，故此选项不合题意；B．＝2，故此选项不合题意；C．＝|a|，故此选项不合题意；D．，是最简二次根式，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．6．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．﹣a＜﹣b【分析】先根据数轴得出a，b的范围，再结合排除法求解．【解答】解：由题意得：﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，∴﹣a＞1，﹣b＜﹣1，∴﹣a＞b，根据排除法，﹣a＞b，故选：C．【点评】本题考查了实数和数轴，数形结合思想和排除法数解题的关键．7．（3分）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．用f，v表示物体到镜头的距离u，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．【解答】解：∵＝+，∴＝﹣＝，∴u＝，故选：B．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把异分母通分．8．（3分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．【解答】解：∵﹣＝＝，•＝，∴和不是和谐分式，故A不符合题意；∵﹣＝＝，•＝，∴和不是和谐分式，故B不符合题意；∵﹣＝＝，•＝，∴•＝（﹣），故C符合题意；﹣＝＝，•＝，∴和不是和谐分式，故D不符合题意．故选C．【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）的相反数是﹣．【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．10．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥7．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，解得：x≥7，故答案为：x≥7．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．11．（2分）请写出一个大于2的无理数：如（答案不唯一）．【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．【解答】解：大于2的无理数有：须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和π有关的数，有规律的无限不循环小数．12．（2分）若分式的值为0，则x的值为﹣5．【分析】根据分式值为零的条件，可得：x+5＝0且x﹣1≠0，据此求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴x+5＝0且x﹣1≠0，解得x＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．13．（2分）如果三角形的两条边长分别为4cm和9cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为9cm．【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边即可求解．【解答】解：设第三边的长为xcm，满足9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13．因而第三边的长为9cm．故答案为：9．【点评】本题考查等腰三角形的性质，要注意三角形“任意两边之和＞第三边”这一定理．14．（2分）若实数a，b满足，则a+b的值为4．【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数的性质可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：∵，，（b﹣5）2≥0，∴a+1＝0，b﹣5＝0．解得a＝﹣1，b＝5，∴a+b＝﹣1+5＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则∠BDE＝30°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．16．（2分）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码，根据相关的数学知识，这200个方格可生成2200个不同的数据二维码．下列结论：①2200就是2个200相乘；②2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数；③2200的个位数字是6；④因为＝210＝1024，103＝1000，所以估计比1060大．其中所有正确结论的序号是②③④．【分析】由乘方的概念即可判断．【解答】解：2200是200个2相乘，故①不符合题意；2200就是400个相乘，它是一个非常非常大的数，正确，故②符合题意；∵2n的个位是2，4，8，6循环，∵200÷4＝50，∴2200的个位数字是6，故②符合题意；∵＝210＝1024，103＝1000，∴估计比1060大，故④符合题意，故答案为：②③④．【点评】本题考查乘方的概念，关键是掌握：求n个相同因数乘积的运算，叫乘方．三、解答题（共60分，第17-18题，每题4分，第19-26题，每题5分，第27-28题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（4分）计算：．【分析】先计算平方根、绝对值和零次幂，再计算加减．【解答】解：＝2﹣1+＝3﹣1．【点评】此题考查了零次幂、平方根和绝对值混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．18．（4分）计算：．【分析】原式先算乘方，再算乘除即可求出值．【解答】解：原式＝﹣••＝﹣．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（5分）计算：．【分析】原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）计算：．【分析】先算乘法，再算加减即可．【解答】解：＝2×2＝6+．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．21．（5分）计算：．【分析】先算完全平方，乘法，再算加减即可．【解答】解：＝3+2+5﹣＝11+．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．22．（5分）解方程：＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5（x+3）＝2x，解得：x＝﹣5，检验：把x＝﹣5代入得：x（x+3）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23．（5分）解方程：＝3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣4＝3（x﹣2），解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（5分）已知：x2﹣3x＝4，求代数式的值．【分析】先解方程求得x，再根据分式有意义的条件得到x的值，再代入计算即可求解．【解答】解：∵x2﹣3x＝4，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x+1）（x﹣4）＝0，解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝4，∴＝+﹣＝++1＝++1＝++1＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．25．（5分）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于180°”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于180°”的结论，实验方法如下：实验方法1：将∠A，∠B撕下，然后拼接摆放如图．实验方法2：将∠B，∠C撕下，然后拼接摆放如图．实验方法3：将∠A撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把∠A和∠B移动到∠C的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB．∵CM∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角定义）．∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠1，∠B＝∠2，再利用平角的定义得到∠1+∠2+∠ACB＝180°，从而得到∠A+∠B+∠ACB＝180°；选择实验方法3进行证明，过C点作AB的平行线CM，如图1，根据平行线的性质得到∠A＝∠ACM，∠B+∠BCM＝180°，即∠B+∠ACB+∠ACM＝180°，然后利用等量代换得到∠A+∠B+∠ACB＝180°．【解答】证明：延长BC到D，过点C作CM∥AB，∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；故答案为：1；两直线平行，同位角相等；选择实验方法3进行证明：已知：如图△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°证明：过C点作AB的平行线CM，如图1，∵CM∥AB，∴∠A＝∠ACM，∠B+∠BCM＝180°，即∠B+∠ACB+∠ACM＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．26．（5分）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.6）元，根据题意，得：＝×4，解得：x＝0.2，经检验，x＝0.2是原方程的解，且符合题意，答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，27．（6分）△ABC中，∠C＝45°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是直线AB上一动点，连接PD，PE，设∠DPE＝α．（1）如图1，若点P在线段BA上，且α＝30°，则∠PEB+∠PDA＝75°；（2）当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2，用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示），并证明；（3）当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示∠PEB与∠PDA的数量关系（用含α的式子表示）．【分析】（1）连接PC，由三角形的外角性质即可得出结论；（2）根据题意画出图形，由三角形的外角性质即可得出结论；（3）分三种情况讨论，由三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解；（1）∠PEB+∠PDA＝90°；理由如下；连接PC，如图1所示∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+30°＝75°；故答案为：75；（2）补全图形如图2所示；∠PEB+∠PDA＝45°+α，证明如下：连接PC，如图3所示：∵∠PEB是△PEC的外角，∴∠PEB＝∠3+∠4，∵∠PDA是△PDC的外角，∴∠PDA＝∠1+∠2，∴∠PEB+∠PDA＝∠1+∠2+∠3+∠4＝∠ACB+∠DPE＝45°+α；∴∠PEB