基于卡尔曼滤波的电网频率检测测与预测

1、华北电力大学本科毕业设计（论文）摘 要频率偏移严重影响电力系统运行的可靠性，对电力用户经济性与安全性产生危害。频率偏移严重时，还可能导致电力系统瓦解，造成重大供电事故。故频率稳定是系统安全、经济运行的重要指标。电力系统频率是检验电能生产质量的指标之一，也是衡量电力系统运行状态的重要参数。一般情况下，系统频率反映了电力系统中有功功率供需平衡的基本状态，它将随负荷波动在小范围内缓慢变化。在稳定的运行状态中，发电机输出功率与系统负荷及损耗维持平衡，但大容量负荷或发电机的投切以及控制设备的不完善都可能导致频率偏移，给电力系统的稳定运行和用户设备的正常工作带来影响，如不采取有效措施，将导致机组损坏、系统

2、瓦解的重大恶性事故，造成巨大经济损失。因而电力系统频率检测和控制是系统运行的重要任务之一。本课题主要是采用基于卡尔曼滤波原理，设计出对电网频率进行综合检测和预测的方案来对电网进行频率检测和预测，最后通过实例验证证明了该方案的可行性。这对于提高电力系统运行的稳定性具有重要的作用。关键词：频率偏移，检测，控制，卡尔曼滤波AbstractFrequency offset seriously affect the reliability of the power system operation, it is harm to power users and security of economic .

3、When the frequency offset serious, may also lead to the collapse of the power system, resulting in significant power accident. Therefore, the frequency stability of system security is important to indicator of economic performance. Power system frequency is not only one of the indicators of the qual

4、ity inspection of power production, but also an important parameter to measure the state of the power system operation. General, the system reflects the power system frequency active power supply and demand balance in the basic state; it will slowly change with load fluctuations within a small range

5、. In steady state operation, the generator output power and the system load and the loss are maintaining a balance. However, switching of the generator and control equipment imperfect or large capacity load may lead to frequency offset, and it will impact the normal operation and stable operation of

6、 the power system, it will result in damage to the unit, major fatal accidents system collapse when no measures were taken, and it will cause huge economic losses. Thus the power system frequency detection and control is one of the important tasks of system operation. The main subject is based on th

7、e principle of Kalman filter, designed to be integrated grid frequency detection and prediction programs to detect and predict the frequency on the grid. finally，an example was verified to demonstrate the feasibility of the scheme. It is important to improve the operation stability of the power syst

8、em.Keywords：Frequency offset, Detection, Control, Kalman filteII目 录摘 要IAbstractII第一章 绪论21.1 课题研究的背景和意义21.2 国内外发展现状3第二章 卡尔曼滤波算法的结构特点52.1 卡尔曼滤波的基本思想52.2.1 扩张卡尔曼滤波62.2.2 无迹卡尔曼滤波82.3 卡尔曼滤波器的应用10第三章 时变随机信号及其测量过程数学模型的建立113.1 随机信号简介113.2 一维时变随机信号的数学模型113.3 信号测量过程的数学模型12第四章 向量卡尔曼滤波和预测的一般方法144.1 标量卡尔曼滤波器的基本内

9、容144.2 最优递归型估计器的构成164.3 标量卡尔曼滤波器的递推算法174.4 标量卡尔曼预测器184.5 向量卡尔曼滤波和预测20第五章 基于卡尔曼滤波原理对电网频率进行检测和预测255.1 电力系统状态空间模型255.2 基于扩展卡尔曼滤波的估计实现275.3 数字仿真29总 结30致 谢31参考文献32附录34第一章 绪论 1.1 课题研究的背景和意义随着电力电子技术的发展，电力电子装置带来的频率扰动对电力系统安全、稳定、经济运行构成潜在威胁，给周围电气环境带来了极大影响，同时也阻碍了电力电子技术的发展1。因此，对电力系统频率问题的研究已被人们逐渐重视。电力电子装置等非线性负载所产

10、生的谐波会引起负载和输电设备的过载、失控和增加损耗，甚至严重危害电网和用电设备的安全。随着电力电子技术在家庭、工业、交通、国防日益广泛的应用，电力电子装置本身功率容量和功率密度的不断增大，电网频率不稳定也日益严重。 频率不稳定危害可以归结为：l)消耗无功与增加线路损耗； 2)引起设备过载、降低设备绝缘等级、加速绝缘老化甚至引起火灾等； 3)降低负载工作性能(如使电机产生附加力矩等)； 4)影响计量准确度，影响继电保护等装置可靠运行；5)对通信系统和计算机网络产生电磁干扰(EMI)等；6)引起系统不稳定，危害电网安全运行。 电网频率不稳定已成为许多电子设备与系统现场可靠运行的主要障碍之一，而且还

11、严重阻碍了诸如变频调速等大批高效、节能电力电子技术的推广应用。因此，国内外都在加紧研究频率不稳定的治理方法2。近些年，我国也开发了一些电力电子频率实时跟踪装置，但在功能上、实用化方面还不够理想，还存在许多问题： 1)处理功能较差、可扩展存储空间较小、运算速度较慢，难以运用精确严格的算法进行大量的实时数据处理，不满足电力监测实时性的要求； 2)电力系统中最常用微处理器包括51系列和96系列等控制型器件，但随着电力系统对实时性、数据量和计算要求的不断提高，这些器件在计算能力方面已不能很好地适应电力系统的要求，致使电力系统的高精度测量、实时监控和先进算法的运用受到了限制。3)有的产品虽然直接引进了国

12、外的技术模块，功能较强，可是价格较高，且不完全适合我国市场； 4)有的产品无通讯和控制输出功能，不满足电力系统网络化、自动化的发展方向；频率是电力系统是否稳定的重要标志之一，本系统主要针对电力系统中频率进行测量，实时跟踪电网中频率的波动及变化，保证电力系统供电稳定及改善国家电网中电能质量。因此，有必要对电力系统频率检测与控制的研究现状作较为全面的评述，为后续研究提供参考。1.2 国内外发展现状频率的正确检测是频率控制的前提。频率检测一般可分为硬件检测和软件检测两类。硬件检测3-4主要利用过零比较器或锁相环实现。检测方法几乎不占用处理器时间，但是需要增加硬件侦测电路， 加大了开发成本和系统体积。

13、同时，检测结果还易受谐波和器件零点漂移影响。软件检测5是通过某种算法对采样信号进行分析，得出频率信息。软件检测只占用处理器一定时间，无需硬件电路，可节约成本。近年来国内外学者提出了多种电气信号的软件频率检测算法， 分类归纳主要有以下几种。1）基于正弦信号模型的检测算法 对信号观测模型进行数学变换，将待测量f或f表示为样本值的显函数来估计，根据正弦函数的特性，从若干个采样值中计算电气信号频率，如最大值算法、采样值积算法、采样值累计算法、三点频率检测法、Mann-Morrison导数算法和Prodar-70二阶导数算法等6。这类算法的优点是原理简单，信号观测时间短，采样点数较少，易于实现，响应速度

14、较快。但这类算法难以考虑谐波、非周期分量和噪声影响，且算法推导有近似化过程，精度总体不高，尤其是在非稳态下频率测量误差较大，适应于测量精度要求不高的应用场合。2） 傅里叶变换检测算法傅里叶变换检测算法最常用的是离散傅里叶变换DFT或快速傅里叶变换算法FFT及它们的改进算法。DFT(FFT)是一种典型的数字滤波技术，也是频谱分析的主要工具，目前在电气信号频率测量乃至电参量检测领域应用最为广泛。DFT(FFT)分离信号的基波及各次谐波分量，从而得到信号的电力系统频率，即使频率稍微偏移标称值，选择合适的采样技术和数据窗，利用前后窗DFT(FFT)结果能够准确地估计系统的频率，精度和稳定度好，计算量较

15、小。3) 过零检测法 过零检测法（Zero-crossing Algorithm）一般采用简单信号观测模型，通过测量信号波形相继过零点间的时间宽度来计算频率。该方法物理概念清晰、计算量小，易受谐波、随机干扰和非周期分量的影响，精度低，实时性不好，实用的测频装置很少单一地应用过零检测法算法。对它的改进主要是提高其测量精度和实时性，典型的改进算法有水平交（Level crossing）算法7、高次修正函数法8和最小二乘多项式曲线拟合法， 它们以计算量和复杂度为代价来提高算法的测量精度和响应速度，一定程度上丧失了原始的周期法的简明性。 4) 随即模型算法 a) 最小二乘算法（Least Error-

16、Square-algorithm）。最小二乘算法检测频率的基本原理是在最小方差意义下实现样本数据与模型的最佳拟合，即对量测矩阵方程在极小化误差向量加权二次范数的约束下利用观测值求解待测量。 b) 最小绝对值近似（Least Absolute Value Approximation）。最小绝对值近似方法以极小化误差向量的一次范数，这是它与LES算法的不同之处。LAV算法较LES算法在采样率、数据窗长度位置及坏数据对测量精度的影响等方面有所改善，但计算量大得多。 c) 牛顿类算法（Newton-type Algorithm）。牛顿类算法基本原理是将牛顿类迭代算法和最小二乘原理结合起来求解超定非线性

17、方程组。该算法主要用来测量系统谐波，由于要多次迭代，计算量很大， 尤其是在待估高次谐波分量较多时，工作量十分可观；且算法受限于参数设置和初始值，容易出现数值不稳定现象。 d) 离散卡尔曼滤波算法。 离散(扩展)卡尔曼滤波法通过对离散随机动态过程及其含噪声量测变换计算信号频率，将卡尔曼滤波算法应用于电力系统频率测量的前提建立在模型（如动态方程、量测方程和随机序列的统计特性）和状态变量、协方差阵初值的正确估计基础上的。第二章 卡尔曼滤波算法的结构特点2.1 卡尔曼滤波的基本思想卡尔曼滤波是线性无偏最小均方误差递推滤波器。与维纳滤波相比，在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。然而，它们解决的方

18、法有很大区别。维纳滤波是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的，因此称这种系统为最佳线性过滤器或滤波器。而卡尔曼滤波是用前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，是用状态方程和递推的方法进行估计的，其解是以估计值形式给出。因此称这种系统为线性最优估计器或滤波器。卡尔曼过滤中信号和噪声是状态方程和量测方程表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和量测方程。标准卡尔曼滤波器是在最小均方误差准则下的最佳线性过滤器，就是说，它使系统的状态向量和状态向量的预测值之间的均方误差达到最小，它用

19、状态方程和递推方法进行估计，它的解是以估计值形式给出的。由于它能够对物体的运动建立某种模型，因此在跟踪中经常被用到。当观测方程不是线性时，上述标准卡尔曼滤波方程不再适用，但是如果状态估计值离真实值不是很远，可以将观测方程局部线性化，得到扩展卡尔曼滤波器(extended Kalman filtering，EKF)。由于EKF使用泰勒展开的一阶近似，跟踪一段时间之后，经常会引起很大的参数估计的累计误差。为此，无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter ，UKF) 不再近似估计观测方程，它仍然用高斯随机变量表示状态分布，不过是用特定选择的样本点加以描述。与EKF 相比，UKF

20、的误差仅仅出现在三阶以上的矩中，而且计算也简单，而EKF 仅仅精确到一阶矩。总的来说，卡尔曼滤波是一个线性的估计器，能够有效地跟踪物体的运动和形状变化，但它基于两个假设：一是背景相对干净；二是运动参数服从高斯分布9。因而适用范围有限，对于复杂的多峰情况，还得求助于其它方法。2.2 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波的含义是现时刻的最佳估计为在前一时刻的最佳估计的基础上根据现时刻的观测值作线性修正。卡尔曼滤波在数学上是一种线性最小方差统计估算方法，它是通过处理一系列带有误差的实际测量数据而得到物理参数的最佳估算。其实质要解决的问题是要寻找在最小均方误差下的估计值。它的特点是可以用递推的方法计算，其所需

21、数据存储量较小，便于进行实时处理。具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量方程对系统状态进行估计。设动态系统的状态方程和测量方程分别为： (2-1) (2-2)上两式子中，是k时刻的系统状态，和是k-1时刻到k时刻的状态转移矩阵，是k时刻的测量值，是测量系统的参数，和分别表示过程和测量的噪声，他们被假设成高斯白噪声。如果被估计状态和观测量是满足上述第一式，系统过程噪声和观测噪声满足第二式的假设，k时刻的观测的估计可按下述方程求解。进一步预测： (2-3)状态估计： (2-4) 滤波增益矩阵： (2-5) 一步预测误差方差阵： (2-6) 估计误差方差阵： (2-7)上述就是卡尔曼滤波器的5条

22、基本公式，只有给定初值和，根据k时刻的观测值，就可以递推计算得k时刻的状态估计（K=1，2，N）。2.2.1 扩张卡尔曼滤波由于在实际中广泛存在的是非线性状态空间模型，使得常规卡尔曼滤波在电能质量分析中的应用存在困难，于是便出现了诸多针对非线性模型的次优方10，其中应用最广泛的是扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filtering，EKF)。EKF 是将非线性系统线性化，与线性卡尔曼滤波公式完全类似。其主要思想是对非线性函数的泰勒展开式进行截断，实现非线性函数的线性化。根据泰勒展开式进行的是1 阶还是2 阶截取，EKF 主要分为1 阶EKF(first order EKF)和2

23、阶EKF(second order EKF)。电能质量分析中最常用的是1 阶EKF，原理简述如下。假如非线性系统可表示为x(t)= f x(t),t+w(t) (2-8) y(t)=hx(t),t+v(t) (2-9)式中：x(t)为系统状态向量；y(t)为系统量测向量；f 和h 是关于状态的非线性函数；w 和v 均是均值为零的高斯白噪声。式(2-8)(2-9)分别是状态方程和量测方程。为了使卡尔曼滤波应用到非线性系统中，非线性系统必须在指定位置进行泰勒展开，实现线性化。推导过程如下：利用泰勒公式，分别在和 处对状态方程和观测方程进行 1阶泰勒展开，可得 （2-10） (2-11) 假设 （2

24、-12） (2-13) (2-14) 则式(2-10)(2-11)可改写成与常规卡尔曼方程相似的形式： (2-15) (2-16) 1阶EKF递推方程组与常规卡尔曼滤波递推方程组在形式上相同，不同的是:KF中的和被1阶EKF中的Jacobian 矩阵At和Ht代替，并且预测平均值和预测的冗余在EKF 中也分别计算,其递推方程与卡尔曼滤波相同。在电能质量分析中，A、B 矩阵的设计略有不同。1991 年，Beides H M 和Heydt G T 提出用扩展卡尔曼滤波获得电力系统谐波的动态状态估计，经过实验室仿真和实测试验证明扩展卡尔曼滤波能动态地追踪谐波内容和时间。1993 年，Kamwa也将E

25、KF 引入电力系统电能质量分析中，用于测量闪变。虽然扩展卡尔曼滤波有很好的发展前景，但它在实际应用中存在明显的缺陷：一是线性化有可能产生极不稳定的滤波；二是EKF需要计算Jacobian 矩阵的导数，实现起来较为复杂，而对于一些不可微的情况,EKF可能失效。在模型非线性较强以及系统噪声非高斯时，估计的精度严重降低，甚至会造成滤波器发散。2.2.2 无迹卡尔曼滤波为了更精确地拟合非线性函数，Julier 提出了无迹变换(unscented transformation，UT)和无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filtering，UKF)。通过结合无迹变换和无迹卡尔曼滤波来实现非

26、线性系统的状态估计，是近年来用于解决该问题的一种新的热点方法。它通过一组精确选择的Sigma 点来匹配随机量的统计特性，UKF 没有涉及非线性映射函数的Jacobian 矩阵计算问题，从而使算法的实现比EKF 更为容易, 在保持相当运算量的同时，具有更高的估计精度和更广泛的适用范围。传统的线性化方法是对非线性映射本身做某种线性近似，然后再应用线性估计的各种方法。而Julier S. J.等人提出的无迹变换则是基于用有限的参数来近似随机量的概率统计特性要比近似任意的非线性映射函数更为容易的思想11。无迹变换的基本步骤可概括为：关于x 的Sigma 点集的产生不确定性的非线性变换与传递关于y 的统

27、计特性的推算。无迹变换Sigma 点集的选取方式不同，会产生很多种变换的演变形式，其目的主要是进一步提高变换的精度，增强算法的稳定性和减小运算量等。在应用UKF 时首先要对状态量进行扩展，也就是将模型噪声也作为状态量的一部分，相应地，无迹变换中用到的Sigma 点也需要扩展，具体表示如下。扩展状态方程的初始值： （2-17） （2-18）式中：为模型初始状态变量；和 分别为扩展状态向量的均值和协方差阵。Sigma 点集的创建通过下式实现： (2-19) 式中i=0,n,n=1,2m,m为预测空间维数；表示矩阵 平方根的第i个行向量或列向量，而矩阵平方根的常见求法是采用Cholesky分解；为k

28、1点处的协方差； ，决定 Sigma 取的点数，是由和参数决定的函数，为控制周围的高阶非线性值的参数，是介于0.000 1 1 之间的一个常数，是次要的比例参数，通常设置为 0 或3n ，以确保 Sigma点分布的峭度与高斯分布的峭度一致。Sigma 点向量通过状态方程的非线性影射得到： (2-20)扩展状态量的1 步预测为 (2-21) 扩展状态量1 步预测的协方差阵为 (2-22)然后计算量测空间。量测空间的Sigma点集 的创建通过下式实现：1 步预测的扩展状态Sigma 点向量经过观测方程的非线性映射得到： (2-23)观测量的1 步预测为 (2-24)式中： ； 为合并高阶状态分布的

29、先验知识，高斯分布的最佳选择是2。观测量1 步预测的协方差阵为 （2-25）计算滤波增益矩阵： （2-26） 更新估计： （2-27） UKF在保持相当运算量的同时具有更高的估计精度和更为广泛的适用范围，它在国内的相关研究起步较晚，但发展很快。可查的公开资料主要集中于最近的23 年内，而且在电力系统尤其是电能质量方面的研究成果比较少。2.3 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一个最优化自回归数据处理算法（optimal recursive data processing algorithm），它的广泛应用已经超过30年，包括航空器轨道修正、机器人系统控制、雷达系统与

30、导弹追踪等。近年来更被应用于组合导航与动态定位，传感器数据融合、微观经济学等应用研究领域。特别是在图像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等当前热门研究领域占有重要地位。卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，与应用领域的背景结合性很强。因此在应用卡尔曼滤波解决实际问题时，重要的不仅仅是算法的实现与优化问题，更重要的是利用获取的领域知识对被认识系统进行形式化描述，建立起精确的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作。滤波器实际实现时，测量噪声协方差R一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。它可以通过离线获取一些系统观测值计算出来。通常，难确定的是过程激励噪声协方差的Q值，因为我们

31、无法直接观测到过程信号。一种方法是通过设定一个合适的Q，给过程信号“注入”足够的不确定性来建立一个简单的可以产生可接受结果的过程模型。为了提高滤波器的性能，通常要按一定标准进行系数的选择与调整。基本卡尔曼滤波（KF）器限定在线性的条件下，在大多数的非线性情形下，使用扩展的卡尔曼滤波（EKF）器来对系统状态进行估计。随着卡尔曼滤波理论的发展，一些实用卡尔曼滤波技术被提出来，如自适应滤波，次优滤波以及滤波发散抑制技术等逐渐得到广泛应用。其它的滤波理论也迅速发展，如线性离散系统的分解滤波（信息平方根滤波，序列平方根滤波，UD 分解滤波），鲁棒滤波（H 波）。第三章 时变随机信号及其测量过程数学模型的

32、建立3.1 随机信号简介随机信号又称为不确定信号，是指无法用确定的时间函数来表达的信号。一般这类信号的频域是连续的，而函数信号为断续的。随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测只代表其在变动范围中可能产生的结果之一，其值的变动服从统计规律。它不是时间的确定函数，其在定义域内的任意时刻没有确定的函数值12。3.2 一维时变随机信号的数学模型对每一确定的取样时刻k，x（k）是一个随机变量。当取样时刻的时标k变化时，我们就得到一个离散的随机过程，即随机系列x（k）。假设待估随机信号的数学模型是一个由白噪声系列w（k）驱动的一阶自递归过程，其动态方程为： （3-

33、1）式中：参数（3-1）式中的称为过程噪声或动态噪声。当时标k变化时，它将构成一个白噪声序列，其统计特性可用以下数字特诊来描述：均值： （3-2）方差： 常数 （3-3）自相关序列： （3-4）由式（3-1）式所决定的信号x（k），当时标k变化时，将构成一个平稳随机x（k），其统计特性可用以下数字特性来描述：1.均值： （3-5）2.方差： 常数 （3-6）3.自相关序列 当取样时刻的时标k变化时，取样时刻时标相差j的x（k）的两样值间的自相关序列为 （3-7）3.3 信号测量过程的数学模型信号测量过程的数学模型，可用如下的测量方差给出 （3-8）式中：为k时刻的信号值。为该时刻对进行测量所得

34、到的信号测量样值。为此时在测量过程中所引入的量测噪声，可将其视为独立的附加白噪声。当k变化时，将组成一个随机信号序列，将组成一个测量样值序列，而将组成一个附加白噪声序列。C为量测参数，它是一个由测量系统和测量方法所确定的不随时间变化的常数。因为量测噪声序列是一个白噪声序列，故其统计特性可用如下的数字特征描述：均值： （3-9）方差： 常数 （3-10）自相关序列： （3-11） 又因量测噪声序列与随机信号序列互不相关，故 所以，我们可以看到一维时变随机信号及其测量过程的数学模型，见图3-1.图3-1 一维时变信号及其测量过程的数学模型第四章 向量卡尔曼滤波和预测的一般方法4.1 标量卡尔曼滤波

35、器的基本内容一维随机信号的递归型估计器的一般表达式： （4-1）在信号数学模型为（3-1）式、测量过程的数学模型为（3-2）的条件下，以均方根估计误差最小为准则对估计器的加权系数和进行最优化，并推导出标量卡尔曼滤波器的最有估计的递推算法。由（3-1）式表达的递归型估计器在k时刻对信号的估计误差为 （4-2） 均方估计差为： （4-3） 若将（3-1）式代入（4-3）式，可得 （4-4） 若令对呵的偏导数为零，即 （4-5） （4-6）则由（4-5）式和（4-6）式中解出和将保证该递归型估计器的均方估计误差为最小。根据统计理论中的正交原理，我们也可将（4-5）式和（4-6）式分别写成正交方程的形

36、式，即 （4-7） （4-8）由（4-5）式，我们可得 （4-9）再由（4-9）式出发，经过一系列的代换可求出 （4-10）此式为经过最优化得到的表达式。式中：是最优递归型估计器的一个时变增益，它将随时标k的改变而变化。a是信号模型中反映一阶自递归过程惰性大小的参数，只要信号模型确定后，它就是一个常数。显然，和a是两个意义完全不同的量。我们还可以看出，由于式中还包含另一个未知的时变增益，因此它实际上只是一个和的关系式。要想最终确定，还必须求出。最优递归型估计器对信号的均方估计误差可写成 （4-11）由正交公式（4-7）式和（4-8）式可知，上式等号右侧的后两项为零，故 （4-12） 由测量方程

37、（3-2）式，我们可得 （4-13）代入（4-12）式，因为信号与测量噪声不相关，（k-1）时刻的信号估计值与k时刻的量测噪声也补相关，故 （4-14） 我们还可以把最优递归型估计器对信号的均方估计误差写成 （4-15）再利用和的关系式（4-10）式 （4-16）因为、和互不相关，它们的交叉乘积项的均值都为零，故 （4-17）将（4-13）式代入（4-15）式，经整理后求解得 （4-18）此式即经过最优化所得到的的表达式。4.2 最优递归型估计器的构成 由（3-1）式 （4-19） 所表述的递归型估计器，当其时变增益和经过最优化，即分别有（4-11）式和（4-16）式给出时，就是一个最优递归型

38、估计器，其均方估计误差最小。利用（4-11）式，我们可从（3-1）式中消去，得到 （4-20）由（4-20）式，可构成一个最优递归型估计器-标量科尔曼滤波器，其框图如图4-1.图4-1 标量卡尔曼滤波器框图对（4-20）式物理意义的说明：在尚未获得k时刻的新测量样值以前，我们只能从（k-1）时刻对信号所作出的估计出发，根据由信号数学模型所确定的规律来对k时刻的信号进行预测。由于信号数学模型中的动态噪声的确切数值无从得知，故对的预估值只能取作。可见，（4-20）式等号右侧的第一项就是在未获得任何新信息的情况下，根据以往的测量数据对k时刻的信号所做的预估。在k 时刻的新测量样值尚未得到之前，我们还

39、可对k时刻的将要测得的新测量样值进行预估。但是，此时我们只能从对k时刻的信号的预估值出发，根据量测方程来对k时刻将要测得的作出预估。由于量测噪声的确切数值无从得知，故对的预估值只能取作 （4-21）当我们测得k时刻的新测量样值后，若所测得的值与其预估值 之差不为零，就说明k时刻的新测量样值中包含有前（k-1）次测量中所没有的新信息。若与其预估值之差为零，则说明k时刻的新测量样值中不包含任何新信息。因此，我们把k时刻的信号实测值与其预估值之差称为第k 次测量中的新信息。显然，当我们测得k时刻的新测量样值之后，可利用第k次测量中的新信息乘上一个比例系数作为修正项，对未测得前对信号给出的预估值进行修

40、正，从而得到k时刻对信号的估计值。可见，（4-20）式等号右侧的第二项即为对信号预估值的修正项。4.3 标量卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波的基本算法是预估加修正，而公式（4-20）式、（4-21）式和（4-13）式就构成了标量卡尔曼滤波器在信号及其测量过程的数学模型分别为和)时对信号进行最优估计的一套完整的递推算法。（4-6）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k对信号的估计值，即 （4-22）（4-20）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k的时变滤波增益，即 （4-23）（4-13）式可用来推算卡尔曼滤波器在不同取样时刻k的均方估计误差，即 （4-24） 为了便于将标量卡尔曼滤波器的

41、递推算法直接推广到向量随机信号（即多维随机信号）的卡尔曼滤波中去，给出如下的一套完整的递推算法：滤波估计方程 （4-25）滤波增益方程 （4-26）式中：均方误差滤波方程： （4-27）4.4 标量卡尔曼预测器假设待测量随机信号的数学模型为一阶自递归过程，即 （4-28）信号测量过程的数学模型为 （4-29）线性递归型预测估计器可用如下的递推方程来表述： （4-30）为使（4-30）式表述的线性预估其成为一个最优线性预估器，就必须依据最小均方误差准则对（4-30）式中的时变预测增益和进行最优化。用上节类似的方法，可以求得经最优化后的和的表达式以及相应的均方预测误差的表达式，即 （4-31） （

42、4-32） （4-33）其中：根据（4-31）式，可由推算出；再根据（4-32）式又可由推算出。只要选定了初值，这一递归过程就可以不断的进行下去。将（4-31）式代入（4-30）式，可得 （4-34） 根据（4-34）式，可以构成一个标量卡尔曼预测器，其框图如图4-2所示。图4-2 标量卡尔曼预测期框图图3-2所示的标量卡尔曼预测器的一套完整的递推算法有（4-31）式、（4-32）式、（4-33）式组成。但为了便于将这组公式直接推广到向量随机信号（即多维随机信号）的卡尔曼递推预测中去，当变量随机信号及其测量过程的数学模型分别为和时，将（4-33）式作下改写，即利用（4-32）式消去（4-33）

43、式中的。经过改写后得到卡尔曼预测器对此信号进行递推预测的一套完整的递推算法，公式如下：预测估计方程 （4-35） 预测增益方程 （4-36）均方预测误差方程 （4-37）4.5 向量卡尔曼滤波和预测与标量情况类似，可用向量表示k时刻对随机信号向量的最优线性滤波估计值，用向量表示在k时刻对（k+1）时刻的随机信号向量的最优线性预测估计值。 对向量卡尔曼滤波来说，标量情况下的滤波误差此时将变成一个滤波误差向量 （4-38）标量情况下的均方滤波误差，此时将变成一个滤波误差的协方差矩阵 （4-39）同样，对向量卡尔曼预测来说，其预测误差向量为 （4-40）其预测协方差矩阵为 （4-41）所谓向量卡尔曼

44、滤波器或预测器，实际上就是一种能对向量随机信号进行最优线性滤波或预测的递归型滤波器。“最优”的含义，是指能使每个信号分量的均方估计误差同时为最小。 考虑到向量卡尔曼滤波器或预测与标量卡尔曼滤波器或预测无论条件上（即信号及其测量过程的数学模型）还是在要求上（即“最优”的含义）都完全相似，因而，可以直接把标量卡尔曼滤波或预测的递推公式推广到向量情况。 在直接引用标量卡尔曼滤波或预测的递推公式时，除了应把标量形式的信号、信号估计值和测量样值表述成向量形式，把系统参数a和量测参数c表述成系统矩阵（或称系统的状态转移矩阵）A和量测矩阵C，把均方估计误差和有关噪声和方差表述成相应的协方差矩阵外，还应根据表

45、3-1将递推公式中的标量运算变换成相应的矩阵运算。表4-1 从标量运算到矩阵运算的转换表注意：在使用表4-1时必须使变换后的没一步矩阵运算都能进行下去，并使等号两侧最终得到的矩阵在阶数上保持一致。我们可以从标量卡尔曼滤波的递推算法（4-26）（4-29）式直接得到向量卡尔曼滤波的递推算法：滤波估计方程： （4-42）滤波增益方程： （4-43）式中： 滤波协方差方程： （4-44） 和标量卡尔曼滤波器一样，向量卡尔曼滤波器也是以预测加修正作为其递推滤波的基本算法的。卡尔曼滤波器的这一特性，使得很容易用计算机来实现对信号的实时滤波，为此，可采用软件方案来实现卡尔曼滤波。 在向量卡尔曼滤波的一整套

46、递推算法中，（4-42）式可构成向量卡尔曼滤波的主程序算法， 图4-3给出了主程序算法的框图。图 4-3 向量卡尔曼滤波的主程序算法框图从图4-3中可以看出，向量卡尔曼滤波的主程序算法主要分三步来进行。 第一步：在已知（k-1）时刻对信号向量的估计值的条件下，用系统矩阵A乘以，得到在（k-1）时刻对k时刻信号向量的预测值。 第二步：用量测矩阵C乘以，得到在（k-1）时刻对k时刻的测量数据向量的预测值；再用的实测值减去预测值，得到残差（新信息）；最后用滤波增益矩阵乘以，得到修正量。 第三步：把对信号的预测值加上修正量，得到信号的滤波估计值。 值得注意的是：在上述运算过程中，所用的滤波增益矩阵并不是在主程序中计算出来的，而是从向量卡尔曼滤波的子程序算法中计算出来的。上述运算过程中所得到的值应存储起来，以供下一次递推时使用。只要确定了信号估计值的初值，例如设，则随着时间的推移，可在测得后算出，在测得后算出，依次类推。在从（k-1）时刻到k时刻这段时间内，只需把存储起来。随着递推的不断进行，再对它不断更新。当然，如果系统矩阵和量测矩阵是时变的，就需把和也存储起来。 向量卡尔曼滤波的子程序算法是由（4-41）（4-44）式构成的，其算法框图由图4-4所示。 从图4-4中可以看出，向量卡尔曼滤波的子程序算法也分三步来进行。 第一步：在以知和,的条件下，