弹性力学 应力理论PPT课件

1、应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第1页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力第2页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 外 力n 体体 力力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。n 面面 力力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。上的空气动力、水坝所受的水压力等。第3页

2、/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 定定 义义 式式体力：体力：0limVV Ff110limVFfV 220limVFfV 330limVFfV 0limiiVFfV 第4页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 定定 义义 式式0limSS PX面力：面力：0limiiSPXS 第5页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，内力也是

3、分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。为了精确描述内力而引进的。第6页/共96页S 外力、内力与应力Chapter 3.1 应 力 应力矢量应力矢量第7页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1( )0limSS F 若取若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出为变形前面元的初始面积，则上式给出工程工程应力应力，亦称，亦称名义应力名义应力，常用于小变形情况。，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，为变形后面元的实际面积，

4、称称真实应力真实应力，简称真应力，简称真应力, 也称也称柯西应力柯西应力。SSS应力矢量：第8页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1应力的定义第9页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1 应力矢量的大小和方向不仅和应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而点的位置有关，而且和面元法线方向且和面元法线方向 有关。有关。第10页/共96页 外力、内力与应力 作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。向

5、相同，则应力矢量也相同。第11页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1( )00limlimiiSiiSFSPXS 应力矢量应力矢量和和 面力矢量面力矢量的数的数学定义和物理量纲都相同。学定义和物理量纲都相同。区别在于：应力是作用在物体内界面上的区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力未知内力，而面力是作用在物体外表面的而面力是作用在物体外表面的已知外力已知外力。当内截面无。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。第12页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1正六面体微元正六面体微元: 外法线与外法线与坐标轴

6、同向的三个面称坐标轴同向的三个面称为为正面正面，记为，记为dSi，它们它们的单位法向矢量为的单位法向矢量为 iei， ei是是沿坐标轴的单位矢量；沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴另三个外法线与坐标轴反向的面元称为反向的面元称为负面负面。yzxo第13页/共96页yzxo 外力、内力与应力Chapter 3.1yxyyyz( ) 第14页/共96页yzxo 外力、内力与应力Chapter 3.1xxxyxzxxxyxzzxzyzzzxzyzzyxyyyzyxyyyz应力分量的正负号规定第15页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1yzxoxxxyxzyxyyyzzxzyzz应

7、力分量的个数第16页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1x2 22x1 11 31e2e3 e1x3 33 32 13 23 21 12第17页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1把作用在正面把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：即：(1)11 112213 31(2)21 122223 32(3)31 132233 33jjjjjjeeeeeeeeeeee ( ) iijje x2 22x1 11 31e2e3e1x3 33 32 13 23 21 12第18页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1(1)

8、11 112213 31(2)21 122223 32(3)31 132233 33 jjjjjj eeeeeeeeeeee共出现九个应力分量：共出现九个应力分量：111213212223313233()ij第19页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1111213212223313233()ij 第一指标第一指标i表示面元的法线方向，称表示面元的法线方向，称面元指标面元指标；第；第二指标二指标j表示应力的分解方向，称表示应力的分解方向，称方向指标方向指标。 当当ij时，应力分量垂直于面元，称为时，应力分量垂直于面元，称为正应力正应力。当。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为

9、时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力剪应力。第20页/共96页 外力、内力与应力Chapter 3.1x2 22x1 11 31e2e3e1x3 33 32 13 23 21 12方向规定：正面上与坐标轴同向或负面上与坐标轴反向为正。亦即 “受拉为正，受压为负”。第21页/共96页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第22页/共96页Chapter 3.2柯西公式x1x3x2 四面体四面体OABC，由三个负，由三个负面和一个法向矢量为面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中的斜截面组成，其中为为 方向的方向余弦。方向

10、的方向余弦。1 1223 3iieeee cos( ,)iiiee斜截面上的应力第23页/共96页Chapter 3.2斜截面上的应力x1x3x2111213212223313233( )? 柯西公式第24页/共96页Chapter 3.2 柯西公式 柯西公式第25页/共96页Chapter 3.2 的面积为的面积为dS, 则三个负面的面积分别为则三个负面的面积分别为ABC111222333dd()ddd()ddd()dSOBCSSSOCASSSOABSS eee 斜截面的面元矢量为：斜截面的面元矢量为：1 1223 3ddddSSSS eee柯西公式第26页/共96页Chapter 3.2四

11、面体的体积为：四面体的体积为：dh为顶点为顶点 O 到斜面到斜面的垂直距离的垂直距离13d dVh S 柯西公式第27页/共96页Chapter 3.2四面体上作用力的平衡条件是：四面体上作用力的平衡条件是：(1)1(2)2(3)3( )ddd1d( d d )03SSSSfhS 第五项是体力的合力，由于第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以是小量，故体力项可以略去。可得：略去。可得：( )1(1)2(2)3(3)1(1)2(2)3(3)()()() ()eeeeee柯西公式第28页/共96页Chapter 3.2( )112233()()jjjjjjijijeeeeeee e 根据

12、商判则，知根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是定义必是一个二阶张量，于是定义应力张量应力张量ijije eijije e 柯西公式第29页/共96页这就是著名的这就是著名的柯西公式柯西公式，又称，又称斜面应力公式斜面应力公式。Chapter 3.2( )()ijije e 柯西公式第30页/共96页Chapter 3.2( ) 把斜面应力沿坐标轴方向分解：把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为则柯西公式的分量表达式为( )( )1 1( )22( )3 3( ) jjeeee ( ) jiij ( )1111221331( )2112222332( )3113223333 即即

13、柯西公式第31页/共96页Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的大小斜面上应力的大小( )1( )2( )3( )( )222( )1/21/2 iilikkil 柯西公式第32页/共96页Chapter 3.2 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向斜面上应力的方向即即( ) n( )1( )2( )1( )2( )3( )3cos, ; cos,cos,eee 柯西公式第33页/共96页Chapter 3.2斜面正应力斜面正应力斜面剪应力斜面剪应力( )n22n 柯西公式应用计算斜截面上的应力柯

14、西公式应用计算斜截面上的应力柯西公式( )=nijij 第34页/共96页Chapter 3.2 若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件力场的力边界条件：其中其中pj是面力是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为沿坐标轴方向的分量，通常记为xxyzxyxyzyxzyzzXlmnYlmnZlmnjiijp 写成指标符号写成指标符号, ,X Y Z 柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式应用给定应力边界条件柯西公式第35页/共96页应力理论 外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第36页/共

15、96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量x1x3x2111213212223313233( ) 第37页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 概 念 切应力为零的微分面称为切应力为零的微分面称为主微分平面主微分平面，简称，简称主平面主平面。 主平面的法线称为主平面的法线称为应力主轴，应力主轴，或者称为或者称为应力主方向应力主方向。 主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为主应力主应力。第38页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 主应力和应力不变量假设存在主平面假设存在主平面BCD，其法线方向为，其法线方向为n(l,m

16、,n)，截面截面上的总应力上的总应力 pn ，亦即亦即n方向截面上剪应力为零。方向截面上剪应力为零。则截面上总应力则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为在坐标轴方向的分量可以表示为nxnynzplpmpn第39页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量对斜面对斜面BCD运用柯西公式，可得：运用柯西公式，可得：由由剪应力互等定理剪应力互等定理可得：可得：nxxyxzxnyxyyzynzxzyzzplmnplmnplmnnxxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn第40页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量(1) n

17、xxxyxznyxyyyznzxzyzzplmnplmnplmn(2) nxnynzplpmpn由由(1)(1)和和(2)(2)式得：式得：000 xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn第41页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量由于由于 ，所以要有非零解，则上述三，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：2221lmn000 xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn0 xxyxzxyyyzxzyzz第42页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量0 x

18、xyxzxyyyzxzyzz展开行列式得到展开行列式得到应力状态应力状态的的特征方程特征方程： 式中式中321230III1112233xyziiI第43页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量31232222xxyzxxyyyzijkijkzxyzzxyzxyyzzxxyzyzxzxyIe 2222211122xxyyyzzzxxyyyzzzxxxyyzzxxyyzzxiijjijijijijII 第44页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量321230III求解应力状态的特征方程，可以得到求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根三个实根

19、： 1，2，3，即为该点的三个即为该点的三个主应力主应力。第45页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量若将一个根代入如下方程组：若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于可以顺次求出相应于1，2和和3的三个主方向：的三个主方向：2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn 111222333 , , , , , , , , lmnlmnlmn第46页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 I1、I2和和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第二和第三力张量的第一、第

20、二和第三不变量不变量。它们是相互独立。它们是相互独立的。的。321230III 通常主应力按其通常主应力按其代数值的大小代数值的大小排列，称为第一主排列，称为第一主应力应力1、第二主应力、第二主应力2和第三主应力和第三主应力3 ，且，且 123第47页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 主应力的性质 不变性不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。征根的主应力及相应主方向都是不变量。 实数性实数性 即特征方程的根永远是实数。即特征方程的根永远是实数。321230III123, 1

21、23, 第48页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 极值性极值性主应力主应力1和和3是一点正应力的最大值和最小值。是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：=nijij 222112233 = 2211222331 =()() 2213123233 =()() 第49页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量正交性正交性 特征方程无重根特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；时，三个主应力必两两正交； 特征方程有一对重根特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作时，在两

22、个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉用平面内呈现双向等拉( (或等压或等压) )状态，可在面内状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向；任选两个相互正交的方向作为主方向； 特征方程出现三重根特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。的方向都可作为主方向。第50页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的沿每点主方向的直线称为该点的主轴主轴。 处处与主方向相切的曲线称为处处与主方向相切的曲线称为主应力迹

23、线主应力迹线。 以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系主坐标系。在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型12300()0000ij 主应力坐标系主应力坐标系第51页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量在主坐标系中，主不变量表示为在主坐标系中，主不变量表示为 主应力坐标系主应力坐标系112321223313123III 第52页/共96页例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa）试求主应力分量及主方向余弦。试求主应力分量及主方向余弦。解：此点的应力状

24、态张量的矩阵形式为：此点的应力状态张量的矩阵形式为：100,160,140,40,120,0 xyzxyyzzx 100400401601200120140ij 主应力 & 应力不变量第53页/共96页321230III1222222231203640023456000 xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxyIII 首先，求出应力不变量为首先，求出应力不变量为于是，特征方程为于是，特征方程为321203640034560000 主应力 & 应力不变量第54页/共96页求解此特征方程，得三个主应力分别为求解此特征方程，得三个主应力分别为32120364

25、0034560000123214.688.2182.8 主应力 & 应力不变量第55页/共96页2220001xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmnlmn将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式并利用关系式 ，联立求解即可得，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求到三个主方向的方向余弦。例如为求1的方向余弦，的方向余弦，l1、m1、n1，将将1214.6代入上式的前两式得代入上式的前两式得2221lmn 主应力 & 应力不变量第56页/共96页1111122211157.32002027.36001l

26、mlmnlmn1110.3140.9000.305lmn 主应力 & 应力不变量第57页/共96页同样可得其余两组方向余弦为：同样可得其余两组方向余弦为：主应力：主应力：主方向方向余弦：主方向方向余弦：1123212321230.3140.9000.3050.9480.282+0.1460.0480.3370.940 eeeeeeeee123214.6, 88.2, 182.8 (0.948, 0.282, 0.146); ( 0.048, 0.337, 0.940) 主应力 & 应力不变量第58页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量 应力偏量将应力

27、张量分解成球形张量和偏斜张量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量其中其中球形应力张量：球形应力张量：0I00000000100 300ijijkk 00ijijIe e第59页/共96页Chapter 3.3 主应力 & 应力不变量应力偏量应力偏量ijije e 1101213021220233132330ijijij 0kk 第60页/共96页应力理论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第61页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力xo1x3x2231n第62页/共

28、96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 最大剪应力 在主应力坐标系中：在主应力坐标系中：约束条件：约束条件：11122233322222222211223322221 122332222222()iiniiniiii eee22212310f 第63页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力引进拉格朗日乘子引进拉格朗日乘子 ，求泛函，求泛函 的极值。的极值。 相应极值条件为相应极值条件为于是，可得如下方程组于是，可得如下方程组2( , )if F200iiiFfFf第64页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力222211

29、11 1223322222221 1223322223331 1223322212320202010 可解出三个法线方向可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力最大剪应力。222222niiii i第65页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力剪应力的三个极值：剪应力的三个极值：(1)23(2)13(3)121()21()21()2方向：与对应的两个主应力夹角为方向：与对应的两个主应力夹角为 45 。O第66页/共96页xo1x3x2Chapter 3.4最大剪应力&

30、amp;八面体剪应力 正八面体123111 ; ; 333 1231 ()3 eee1231 ()3 eee第67页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力123111 ; ; 333 xo1x3x21231 ()3 eee231第68页/共96页Chapter 3.4最大剪应力&八面体剪应力 八面体剪应力八面体正应力八面体正应力0为为20123111()33iiI2222222123111 ; ; 333niiii 由由可得可得八面体剪应力八面体剪应力0 为为2220122331222(1)(2)(3)1()()()323第69页/共96页应力理

31、论Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程第70页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 考虑物体中考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标表示点，其应力状态用直角坐标表示如下如下(如图标注如图标注)而临近一点而临近一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐的应力状态也用直角坐标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得：展开，保留一级微量连同应计入的增量可得：yz(

32、, , ) , ( , , ) , ( , , )( , , ) , ( , , ) ,( , , )xxyzxyxyyzyzzxzxx y zx y zx y zx y zx y zx y z第71页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 应力场：应力场：( , , ) , ( , , ) , ( , , ), ( , , ) , ( , , ) , ( , , )xxxxyyyyzzzzxyxyyzyzzxzxx y zx y zx y zx y zx y zx y z( , , ) ijijx y z第72页/共96页yzxo dyyyyyy dyxy

33、xyy dyzyzyyyxyyyz第73页/共96页yzxo dzzzzzz dzyzyzz dzxzxzz第74页/共96页yzxo dxxxxxx dxyxyxx dxzxzxx xz xx xy第75页/共96页yzxoxfyfzf第76页/共96页yzxo dxxxxxx dxyxyxx dxzxzxx xz xx xy dzzzzzz dzyzyzz dzxzxzz dyyyyyy dyxyxyy dyzyzyyyxyyyzxfyfzf第77页/共96页yzxo dxxxxxx xx dzxzxzz dyxyxyyyxxf第78页/共96页yzxo dxxxxxx xx dzxzxz

34、z dyxyxyyyxxfdd dd dyxyxyxyxzxzydddddxxxxxxxyzyzxdd dd dzxzxzxzxyxyzd dd0 xfxyz第79页/共96页yzxo dxxxxxx xx dzxzxzz dyxyxyyyxxf0yxxxzxxfxyz第80页/共96页OChapter 3.5平衡微分方程其中X,Y,Z表示单位体积力(与坐标轴同向为正)图示正六面体代表通过图示正六面体代表通过A(x,y,z)及及B(x+dx,y+dy,z+dz)两两个点的一个微体，个点的一个微体，A,B点各有三个正交面。点各有三个正交面。AB第81页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程

35、d , d , dxyxxzxxyxzxxxxxxd , d , dyxyyzyxyyzyyyyyyd , d , dzyzxzzxzyzzzzzzz在前微面上在右微面上在上微面上见下页图标注第82页/共96页xyzOChapter 3.5平衡微分方程第83页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程考虑微单元体的力的平衡条件，在x方向的合力为零。0X ddddddd dd ddd dd dd dd0yxxxxyxzxyxzxzxxyzyzyxzxyxzzxyxyXxyzzO第84页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程ddddddd dd ddd dd dd dd0yxxxxyxzxyxzxzxxyzyzyxzxyxzzxyxyXxyzz化简后得化简后得0yxxzxXxyz此式即为此式即为x方向的平衡方程式方向的平衡方程式第85页/共96页Chapter 3.5平衡微分方程同理，得到同理，得到 y 方向和方向和 z 方