华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1

1、Jordan Canonical Form问题：问题：对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T，求一组基求一组基 1， 2 ， n 和矩阵和矩阵J ，使，使 T: 1， 2 ， n J 简单性简单性：矩阵：矩阵 J 尽可能简单尽可能简单 通用性通用性：矩阵：矩阵 J 的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行思想：思想： 首选首选 J 为对角形为对角形 线性线性变换的对角化问题。变换的对角化问题。 建立建立 J 一般的结构一般的结构 Jordan标准形理论。标准形理论。 Jordan方法及其应用方法及其应用方法：方法： 矩阵的相似化简问题矩阵的相似化简问题 Jordan化方法化方法重点：重

2、点：背景：背景：求基求基 i，i=1n, 使得使得 T( 1 2 n) = ( 1 2 n)n21一、变换一、变换T的特征值与特征向量的特征值与特征向量1. 定义定义2.1 (eigenvalue and eigenvector) T( )= 2. 求解分析求解分析(p35 定理定理2.1) T( )= AX= X1. 1 2 n 线性无关线性无关2. L i是不变子空间是不变子空间: T i= i i A的特征值就是的特征值就是T的特征值的特征值 A的特征向量是的特征向量是T的特征向量的坐标的特征向量的坐标iiiinieT)(,()(21OIT)(OTI)(OXIA)(OXAI)(不同基下的

3、矩阵相似不同基下的矩阵相似(Th1.14)相似矩阵有相同的特征值，与基选择无关，相似矩阵有相同的特征值，与基选择无关，但特征向量一般不同但特征向量一般不同: 设设 AX = X，B=P-1AP，则有，则有PBP-1X= X，即即 B(P-1X)= (P-1X).T或或A的特征值与特征向量的求法：的特征值与特征向量的求法：(1) 选择基及选择基及T在此基下的矩阵在此基下的矩阵A；(2) 求求A的特征值：求的特征值：求特征多项式特征多项式的根的根 f ( ) = 0，其中，其中 f ( ) = | I-A |，设，设 1, 2 , n为全部特征值；为全部特征值；(3) 求求A关于关于 i的特征向量

4、：求方程的特征向量：求方程( iI-A)X=0的非零的非零解解X，它是，它是T的特征值对应的特征向量的坐标。的特征值对应的特征向量的坐标。例例1 求求Pnx上上微分变换微分变换d/dx的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。00001000002000010nA(1) 自然基下的矩阵自然基下的矩阵(2) 由由0nAI知知021n(3) 解方程解方程0)0(XA得通解得通解, 032nxxxkx 1即即T)0 , , 0 , 1 (kX 于是，于是，A关于关于0的特征向量为的特征向量为, 0,)0 , , 0 , 1 (TkkX从而得从而得T=d/dx的特征向量为的特征向量为. 0,) , ,

5、1 (1kkXxxn-解解 分三步分三步：求变换在给定基下的矩阵：求变换在给定基下的矩阵A；求；求A的特的特征值；求征值；求A的特征向量。的特征向量。例例2 设设A、B分别为分别为mn和和nm阶矩阵，证明阶矩阵，证明AB和和BA有相同的有相同的非零特征值非零特征值。BABIBABInmnm0000BAIBIIBABInmnm00BAIABInmmn即即推出推出因此，因此， AB和和BA有相同的非零特征值。有相同的非零特征值。00BABBAB00证明证明 和和 相似，则相似，则特征向量的空间性质特征向量的空间性质1) 特征子空间：特征子空间：V = | T = = N(T- I)2) 特征子空间

6、的性质：特征子空间的性质：(p36，定理定理2.2) V i是不变子空间是不变子空间 i j，则，则 V i V j = 0 若若 i是是ki重特征值，则重特征值，则 1 dimV i ki 推论推论：1) 若若 i是单特征值，则是单特征值，则dimV i =12) V 1+V 2+V s= V 1 V 2V s 3) V 1 V 2V s Vn(F)定理定理2.3 T可以对角化可以对角化 T有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 dimV i = n dimV i = ki , i=1, , s1212( )det() ()()skkksfIA定理定理2.4 T可以对角化可以对角

7、化 T可以对角化可以对角化：存在一组基，使得：存在一组基，使得T在此基下的矩在此基下的矩阵是对角阵。阵是对角阵。这等价于这等价于T的变换矩阵可以对角化的变换矩阵可以对角化（因（因不同基下的矩阵相似不同基下的矩阵相似）。）。1siiknV 1 V 2V s =Vn(F)例题例题 已知已知 1， 2， 3 是线性空间是线性空间V3(F)的基，的基，T是是V3上如下定义的线性变换，上如下定义的线性变换， T( 1) = 1 T( 2) = 2 2 T( 3) = 1 + t 2 + 2 3讨论：讨论：t 为何值，为何值，T 有对角矩阵表示有对角矩阵表示例题例题 设设 ，求，求R3上正交投影上正交投影

8、P(x) = x- (x, u) u 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。01121u例例3 n1时，时，Pnx上上微分变换微分变换d/dx没有对角矩阵表示。没有对角矩阵表示。例例4 幂等矩阵和乘方矩阵的幂等矩阵和乘方矩阵的对角表示特性对角表示特性。目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构阵结构 - Jordan矩阵。矩阵。一、一、 Jordan 矩阵矩阵1.Jordan 块块(p40，定义定义2.3) 1.形式形式：2.确定因素：确定因素：3.Jordan 块矩阵的例子：块矩阵的例子：111)(J2012201140004001400010001

9、0例题例题1 下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是Jordan 21) 形式形式: 由由Jordan块构成块构成2) Jordan矩阵矩阵举例举例3) 特点特点 元素的结构元素的结构 Jordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是对角矩阵是Jordan 矩阵矩阵)()()(2211mmJJJ2 Jordan 矩阵矩阵3 Jordan 标准形标准形定理定理2.5 (存在定理存在定理) 在复数域上，每个方阵在复数域上，每个方阵A都相似于都相似于一个一个Jordan阵阵JA。 含义：含义：Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：惟一性：Jordan 子块的集合惟一。

10、子块的集合惟一。 A相似于相似于B JA 相似于相似于JB目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵P和和Jordan矩阵矩阵JA ，使，使AP=PJA分析方法：分析方法： 在在定理定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵JA和和P的构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：skskkAIf)()()()(2121矩阵矩阵A和和JA的特征值相等的特征值相等)()()(2211ssAJJJJ)(iiiiJPAPsiJJJdiagJiitiiiiiii , , 2 , 1 ),( , ),( ),()(21为为ki阶阶Jordan阵。阵。iiijtjJ , , 2 , 1 ),(为为nij阶阶Jo

11、rdan块。块。Jordan链条链条Pij = ，y2，ynj ，确定，确定Pij及其及其列数，即列数，即Jordan块块Jij的阶数的阶数nj1)()()(0)(232jjnniiiiyyIAyyIAyIAIA特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量再细分矩阵再细分矩阵Pi 和和 Ji，在，在Jordan块上，有块上，有iiijijijtjJPAP, 2 , 1),(Jordan标准型的计算步骤（标准型的计算步骤（Jordan化方法）：化方法）：求求A的特征值，由特征值的特征值，由特征值 i 的的代数重数代数重数ki确定主对角确定主对角线元素是的线元素是的 i 的的 Jordan 矩阵矩阵J

12、( i) 的的阶数阶数；解方程解方程(A iI)X = 0，求，求A关于关于 i的线性无关特征向的线性无关特征向量（量（解空间的基解空间的基），由特征值），由特征值 i 对应的线性无关的对应的线性无关的特特征向量的个数征向量的个数ti （即（即几何重数几何重数dimV i ）确定）确定 J( i) 中中Jordan 块的块的个数个数；由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定链条的长度确定Jordan块块的的阶数阶数；链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构块构成成JA 。例题例题1, 2 (p44，例题例题5；p45，例题例题6) 给

13、定给定A，求可逆，求可逆阵阵P和和JA使使 P-1AP = JA。例题例题3 将矩阵将矩阵A化为化为Jordan 矩阵。矩阵。0100120000110043A解解 1. 得四重根得四重根1000110000100011AJ, 0) 1(4AI. 1 2. 解方程解方程 得通解得通解, 0)(XAI.) 1 , 1, 0 , 0()0 , 0 , 1 , 2(21TTllX1000110001100001 or 知有两个知有两个Jordan块！块！2)(4 AIrt;)0 , 0 , 0 , 1()0 , 0 , 1 , 2(11TT).,(,)0 , 1, 0 , 0() 1 , 1, 0

14、, 0(221122PTT (可推知可推知JA)！例题例题4 (p46，例题例题7) 设设P3x上线性变换上线性变换T在自在自然基下的矩阵为然基下的矩阵为A，求，求P3x的基使得的基使得T在此基在此基下的矩阵为下的矩阵为Jordan矩阵。其中矩阵。其中.211212112A解解 分析：因分析：因P-1AP=JA, 故故由由Th1.14知，知，P为自然基到待求基的过渡矩为自然基到待求基的过渡矩阵。求得阵。求得P，便可得到所求！，便可得到所求！2)(3 ; 0) 1(3AIrtAI.100110001AJ的通解：的通解：0)(XAI.) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21TTllX

15、此例，分别以两个特解出发均无解！此例，分别以两个特解出发均无解！故而需以通解代入，再求得一个广义特征值。故而需以通解代入，再求得一个广义特征值。例题例题5(p47，例题例题8) 设设A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A和和AT 相似。相似。证明思想：证明思想： 证明证明A和和AT 相似相似 证明证明 Jordan 矩阵矩阵JA和和JAT相似，相似， 证明证明 JA和和JAT的的Jordan 块块J和和JT相似。相似。证明方法：证明方法： 取逆向（反）单位矩阵取逆向（反）单位矩阵S，证明：证明：S-1=S，SJS=JT （backward identity）111S2.3 最小多项式最小多项

16、式 (minimal polynomials) 讨论讨论 n 阶阶矩阵多项式矩阵多项式的相关问题：的相关问题： 矩阵多项式（重点是矩阵多项式（重点是计算计算） 矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（Cayley 定理）定理） 最小多项式最小多项式 Jordan标准形的应用（标准形的应用（简化计算简化计算） 相似不变性相似不变性 Jordan化的方法化的方法一、矩阵多项式一、矩阵多项式1. 定义定义0111)(aaaagmmmmIaAaAaAaAgmmmm0111)(kAAAA21)()()()(21kAgAgAgAg性质性质（定理（定理2.6）AX = 0 X g(A)X = g( 0 )XP

17、-1 AP = B P -1 g(A)P = g(B)3 矩阵多项式矩阵多项式 g(A) 的计算的计算rrJ111)( )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgrmrg(J) 的结构特点：的结构特点： 由第一行的元素生成由第一行的元素生成1 2211) () () ( PJJJPAnnkk1 21)( )( )( ) ( PJgJgJgPAgnnkJordan块块3 矩阵多项式矩阵多项式 g(A) 的计算的计算rrrrUIJ111)(mkkkJaJg0)(kiiikikkrrkUCUIJ0)( mkkiiikikkUCa00mimiki

18、ikikkUCa0)(mimikiikkUikkai0)!(!(!1)!( !ikikCikmimikikkiiUaddi0)(!1miiiUgi0)()(!13 矩阵多项式矩阵多项式 g(A) 的计算的计算mkkkJaJg0)(miiiUgi0)()(!1rriiU1001010000100 )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgr例题例题1 设设对对P44，例例5中的矩阵中的矩阵A，计算计算g(A)。解解154)(23g12121211367233PPA111523151)2()2()2()1 ()(PPPggggPAg代入代入P

19、可得所求。可得所求。二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式 (Annihilating polynomials of Matrices)问题：问题：设设A Fnn ，A 0，问是否存在非零多项式问是否存在非零多项式g( )，使得使得 g(A) = 0 ？1.化零多项式化零多项式（P.52） 如果如果 g(A) = 0，则称则称g( )为矩阵为矩阵A的的化零多项式。化零多项式。 要点：要点：若若A有化零多项式，则有无穷多化零多项式；有化零多项式，则有无穷多化零多项式；g(A) = 0 的决定因素和存在性问题。的决定因素和存在性问题。 Cayley-Hamilton 定理定理（P.52， 定理定

20、理 2.7）： 设设 A Fnn，f ( ) = det( IA)，则则 f (A) = 0。证明：证明：Jordan化方法推知，对任意化方法推知，对任意Jordan块均有块均有 f(Ji) = 0，从而有，从而有 f(A) = 0。二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式 (Annihilating polynomials of Matrices)Cayley 定理的应用举例：定理的应用举例：使使Ak ( k n)降阶至不超过降阶至不超过n-1次的多项式次的多项式(除除法余项法余项)。由由 f (A) = 0, 知知A的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换对线性变换T

21、，f (T) = 0，即即 f (T) 为零变换。为零变换。g( ) = q( )f( )+r( )0)(0111IaAaAaAAfnnn)(0111IaAaAaAnnn0)(11221101IaAaAaAaAnnnIaIaAaAAannn012110)(0三、最小多项式三、最小多项式1 定义定义(P.54，定义定义2.5) mA( ) 是最小多项式是最小多项式mA(A) = 0 mA( ) 在化零多项式中次数最低在化零多项式中次数最低 mA( ) 最高次项系数是最高次项系数是1 mA( ) 整除任何化零多项式整除任何化零多项式mA( )的结构：的结构： 设设 f ( ) = IA =srsr

22、r)()()(2121定理定理2.8 mA( ) = ststt)()()(2121iirt 1定理定理2.9 mA( ) = 是是 i对应的对应的Jordan块的块的指数指数(最高阶数最高阶数)。snsnn)()()(2121inf ( )与与mA( )谱相同谱相同 3 线性变换有对角矩阵表示的条件线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式讨论线性变换的最小多项式 定理定理2.10：线性变换线性变换T可以对角化的充要条件可以对角化的充要条件是是T的最小多项式是的最小多项式是一次因子的乘积一次因子的乘积。 推论：推论：若若A有一个化零多项式由一次因子构有一个化零多项式由一次因子构成，

23、则成，则A可对角化。可对角化。例题例题1 设设A R44 ，mA( ) =2)2)(1(求矩阵求矩阵A的所有可能的的所有可能的Jordan矩阵。矩阵。例题例题2 设设是矩阵是矩阵A的化零多项式，证明：的化零多项式，证明：A相似于对角矩阵。相似于对角矩阵。)4)(2)(1()(g2 , 121nn因因mA( )整除整除g( )，故，故mA( )的因子均为一次！得证。的因子均为一次！得证。不可对角化！不可对角化！ 3 线性变换有对角矩阵表示的条件线性变换有对角矩阵表示的条件讨论线性变换的最小多项式讨论线性变换的最小多项式例题例题3 （P.56，例例10）求求mA( )。 解解2)2)(1()(AI

24、f2)2)(1( )2)(1()(ormT2)2)(1()( 0)2)(TmIAIA例题例题4 （P.56，例例11）求求mA( )。 解解2)2)(1)(1(AI134)2(IArn23 n2)2)(1)(1( )(TmA不可对角化！不可对角化！A不可对角化！不可对角化！121nn矩阵相似问题中的一些结果矩阵相似问题中的一些结果矩阵具有：矩阵具有：相同的特征值和特征多项式；相同的特征值和特征多项式；相同的化零多项式和最小多项式相同的化零多项式和最小多项式相同的行列式、迹和秩；相同的行列式、迹和秩；.)( ;2121nnAtrA. ,1BAPPRBAnn).()(1BgPAgP)2( )()(1nmggaAIniii的阶niinnnnnii1111) 1()()(022111)(aaaannnnnn矩阵相似问题中的一些结果矩阵相似问题中的一些结果幂等矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（幂等矩阵（idempotent）：）：A2 = A幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotent）：）