[摘要]本文讨论概率统计在营销、风险决策和商品生产与销售等几个（页）

1、概率统计在风险决策中的应用05级数学系四班王世铠摘要近几年来，我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经 济问题的重要性，正在探索经济问题中应有数学的规律。实践证明，概率统计是 对经济和经济管理问题进行量的研究的冇效工具，为经济预测和决策捉供了新的 手段，有助于提高管理水平和经济效益。木文将利用概率统计方法解决一些经济 问题，分析研究怎样进行风险决策以及怎样检验产品质量和确定产品进货量等。关键词；概率统计；经济问题；风险决策abstractin recent years, china's economic and academic sectors of the econom

2、y becoming increasingly aware of the mathematical methods used to address the importance of economic issues, economic issues are being explored should be the law of mathematics. practice has proved that the statistical probability of the economy and economic management of an effective amount of the

3、research tool for economic forecasting and decision-making provides a new means to enhance the management level and economic benefits. in this paper, the probability of statistical methods will be used to solve some economic problems, how to conduct risk analysis in decision-making and how to test p

4、roduct quality and quantity of the product purchase.keywords : probability and statistics； economic issues； risk decisioaking第一章概率与风险决策1.1弓丨言1.2风险决策中的应用1.2.1先验信息决策分析1.2.2后验信息决策分析第二章概率与保险2.1概率与保险第三章概率与人寿保险问题3.1概率与人寿保险问题第四章小结4.1小结参考文献谢辞第一章概率与风险决策1.1引言随着我国经济建设的发展，在企业管理工作中的人们越來越重视经济分析的 数量化，管理和决策的科学化，这就使

5、数理统计理论与方法逐步渗透到管理科学 的各个领域，且其重要性已为人们所公认。这里将利用数理统计的理论和方法就 企业管理屮的一些问题进行定量化的分析。决策理论是1939年由统计学家瓦特作为假设检验和参数估计等经典的统计 理论提出的。对于决策的制定包括四个步骤：找出指定决策的目标；找到可行方 案;对诸多方案进行抉择；对已选的方案进行评价。决策分析的一般模型为：c = f(a,0),a g o,c g c;v = g(c),ve v,c g c,其中g)是状态&的总体，通常指不受决策者主观愿累和所决定影响的环境；a为方案a的总体；c为结果c的总体即得利或损失；v是评价v的总体，v表示 一定的

6、结果在决策者心目中符合目标的程度。在决策过程中，如果根据经验知道 了口然状态&的概率分布，即获得了先验概率，pj = p(0),jj2,m,则可根 据风险决策问题的屮心准则期望值方法选出最由优方案。即叫)=工(昭，皿 e(aj = eai = 1,2,.n、/=!以最优方案/进行实施。在最大期望值对应多个方案时，还需考虑方案的分 散程度，一般应选择分散度较小的方案。方案q的分散度为m尸(勺)=工(c.-化)2) ，心1,2,.nj=l但是随着信息公司和咨询公司的出现，如果在决策时又进行某种试验和调查 得到了关于状态的补充信息和附加信息，就可以对先验概率加以修正而得到后验 概率。这种概率

7、即概描了原先的知识和经验，乂吸收了当时试验和调查的信息， 可以更准确地决策，捉高决策的期望收益。以表示可能的附加信息集合，概率分 布表示在状态下的似然分布，p(0)表示决策者事先由过去的知识和经 验所知的先验分布,p表示附加信息的边缘概率分布，即m/心)=工 p(z0 )p(0),心 1,2,nz=1根据贝叶斯公式，后验概率分布p(0|zjp(0)(0|zj二一，心尸(厶丿因此,对于同一个z, ( / = 1,2,.,7v )和每个方案色的期望收益mc(s4)= ec(ss0) =c(g%.,0)“(0|zj 使c(z"j最大的方案满足;=1c(zj = c(zi9a) = maxc

8、o，i = 1,2,n.则总期望收益nf=l其中/就是在条件z下的最佳方案，c(z)称为在z条件下的最大期望收益，c*称为模型的最大受益。当然，从经济效益的角度來看，最优方案/下，先验概率和后验概率所获得 的期望收益e(a)和c*之差(即提高的效益)应人于收集信息所支付的费用，否 则，在经济上是不合理的。1.2风险决策中的应用进行决策之前，往往存在不确定的随机因素，此时所作的决策有一定的风险, 谓之风险烈决策。只冇正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全 保障的总冃标，由概率统计知识对风险系统进行分析可以直接获得风险决策。风险型决策一般冇两种分析方法：先验信息决策分析与后验信息决策分

9、析， 这就需要针对具体实际情况，选择恰当的分析方法，以保证选择最优化方案。1.2.1先验信息决策分析凡是來口过的记录，经验或主观判断的信息，都是先验信息，在先验信 息的条件下进行决策。下例子将根据付酬表，计算各行动方案的期累值，最后从 各期望值选择期望收益最大（或期望损益最小）的方案为最优方案。例1假如已知某厂预计h产量的机会亏损与未来各种需求量发生的概率。 试就此质料进行期望机会亏损决策。某厂预计fi产量的机会亏损表-生 童产t jsxnjn二后 花悔 t值概率t状态t市场需求箱壘4p100211012021300230. 3p0.30. 21003g50021000215009110330

10、00q500q1000312036003300p0q500313039004600230003解：设a1为日产100箱;a2为日产110箱；a3为口产120箱；a4为日产130 箱。则有:e(al) =0. 2x0+0. 4x500+0. 3x 1000+0. 1 x 1500=650 (箱)e (a2) =0. 2 x 300+0. 4x 0+0. 3 x 500+0. 1 x 1000=320 (箱)e (a3) =0. 2 x 600+0. 4x 300+0. 3 x 0+0. 1 x 500=290 (箱)e (a4)二0. 2 x 900+0. 4 x 600+0. 3 x 300+

11、0. 1x0=510 (箱)min(650, 320, 290, 510)=290于是应选择日产量120箱的方案。对于同一资料，根据期望损益值进行抉择的结果，根据期望机会亏损值的抉择结 果是一致的。从上例可以发现，即期與值收益与期與机会亏损互余。即期槊收益 越大吋，期望机会亏损值必小。这就是说一个方案若期望获利最大，哪么执行该 方案后悔值必然最小。因此，按两种法则择优的结果必定相同。1.2. 2后验信息决策分析后验概率就是经过试验进一步捕获信息(即后验信息)，并对先验概率作出修 正后的概率，利用后验信息作出的决策分析称为后验分析。例2如某企业公司准备生产一种新产品，在本地推销价格低，但乂把握获

12、 纯利40万元，对外地推销有风险，若推销成功，则可获纯利100万元;若推销失 败，则将损失10万元。问决策者应作何决策？公司利用过去在外地试销其他商 品的经验对此新产品在外地的推销经验预测，推销成功的概率p (s) =0. 6,推销 失败的概率p(f)二0. 4 ,这样对外地推销的收益期望值为 0.6x100+0. 4x(-10)二56(力元)，应用先验概率，单从收益期望值来看，应向外地 销售，但是由于风险较大，公司派专业人员去外地作市场调查，其结果表：a二 “对外地推销有利”，b二“对外地推销不利”，其调杳把握性为：“在推销成功” 和“推销失败”的条件下，调查为“对推销冇利”和“对推销不利”

13、的概率分别 为：p(a/s)二0. 7, p(b/s)=0. 3, p(a/f)二0. 2, p(b/f)二0. 8。利用贝叶斯公式可得在“对推销有利”或“对推销不利”的条件下，“推销成功”和“推销失败”的概率分别为:p(s/a) =p(s)p(a/s)p(s)p(a/s) + p(f)p(a/f)= 0.84_0.6x0.70.6 x 0.7 + 0.4 x 0.2w爲s)0,4x020.4x0.2 + 0.6x0.7= 0.16p(s/b) =p(s)p(b/s)p(s) p(b / s) + p(f) p(b / f)0.6x0.30.6x03 + 0.4x0.8= 0.36z"

14、;总)us)0.4x0.804x0.8 + 0.6x0.3= 0.64如果调杳的结杲是：该产甜在外地“推销有利”，那么“推销成功”的概率 从0. 6提高到0. 84； “推销失败”的概率就从0. 4降低为0.16,因而对外地推销 的收益期望为：0. 84x100+0. 16x(-10=82.4 (万元),其值远远高于在本地销售 的利润，这一结论将加强决策者对外地推销的信心，而采取对外地推销的方案。若调查结果是：该产品对外“推销不利”，那么“推销成功”的概率就从0.6 降至0. 36, “推销失败”的概率就从0. 4提高到0. 64,因而对外销售的收益期望 为:0. 36x100+0. 64x

15、(-10)=29. 6 (万元),低于在本地销售的利润，故决策者应 采取对木地推销的方案。当然具休的实际问题还涉及很多其他情况的影响，但作为决策者一定要采用“使利润值尽可能大，损失尽可能小”的原则，作出行动方案。第二章概率与商品生产和销售利用概率分布确定商品进货量。在商品销售过程中，商品的进货量是一个很 重要的因素，因为商品卖不出去，要支付银行的借款利息和支付商品的保管费用, 既要保证商晶不脱销，乂要保证商品不积压，因此商品销售者控制好进货量是至 关重耍的。例3 一家商店采用科学管理，为此在每一个月的月底耍制定出下一个月的商 品进货计划，为了不使商店的流动资金积压，月底的进货不宜过多，但使为了

16、保 证人们的生活需求和完成每月的营业额，进货又不应该太少。由该商店过去的销 售记录知道，某种商品毎刀的销售数可以用参数为2二10的普松分布来描述，为 了以95%以上的把握保证不脱销，问商居在月底至少应进这种商品多少件？设该商店每月销售某种商品£件，月底的进货为a件，则当(<a)时就不 会脱销。因而按题意要求为p(<a) >0.95, 6 (10)上式即为>0.9查表得 a>15o于是，这家商丿占只要在月底进货某种商品15件(假定上月没冇存货)，就可 以95%以上的概率保证这种商品在卜个月内不会脱销。例4某商店由多年的经验发现木店每月出售某种商品的件数d是

17、一个随机 变量，由以往的统计资料可知，它近似的服从区间0,上的均匀分布，设毎出 售这种商品一件，可获利300元，如果不能出售，将造成积压，则每件需付库存 费100元。问该商场月初购进多少件该商甜才能使月平均收益最大。解设该商品月初购进数量为，月收益为。则是随机变量的函数随机变量d的密度函数为e|j根据随机变量函数的数学期望公式令，解得又故当时，e(r)取得最大值。即该商场月初购进9件该产品收 益最大。第三章概率与保险3. 1概率与保险保险属于经济范畴，是集合同类风险单位以分摊损失的一种经济制度。其手 段是集合大量同类风险单-位，其作用是损失的分摊，其口的是补偿风险事故造成 的损失以确保经济牛活

18、的安定。保险业越来越多的走进人们的生活，如乘车，船 及飞机出行时，在车票屮含冇保险，述冇人寿保险，汽车保险等等，殊不知保险 是靠概率获利的。例5已知一个危险单位万元以上的某项保险发生事故的概率为p=l/100,保 险公司开办一年期万元以上该保险。参加者需要交保险费100元。若在-年内该 项保险发生，保险公司赔偿a(a>100)元。为使保险公司收益的期望值不低于a 的百分z七，问最大的赔偿值应为多少？解 设 表示保险公司在参保单位的收益，则二100和=100-且p ()保险公司获益的期望值为要使保险公司收益的期望值不低于3的百分之七，即，解得即最大的赔偿值为1250元例6在保险公司里有25

19、00个同一年龄和同一社会阶层的人参加了人寿保 险，己知在一年里每个人死亡的概率为0. 002,毎个参加保险的人在一月一日付 12元保险费，而在死广时家屈可从保险公司领取2000元，问(1)保险公司亏 木的概率是多少？ (2)保险公司获利不少于10000元的概率是多少？设一年中死亡的人数为则(2500, 0. 002 )o在一年的一月一口，保 险公司收入2500x12=30000元。若在一年内死亡的人数为则保险公司这一年 应付出2000(元)(1)若20003000,即歹>15 (人)，则保险公司亏本，于是，保险公 司弓本的概率2500二p (>15)=工 c爲(0.002)气0.998严以k=16151-zk=0=0.000069(2500 x0.00