必修五不等式知识点

1、学习必备精品知识点不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： a bba(2) 传递性： ab, bca c(3)加法法则： aba cbc ； ab,c dac bd ( 同向可加 )(4)乘法法则： ab, c0acbc ；ab, c0acbcab0, cd0 acbd ( 同向同正可乘 )(5) 倒数法则：(6) 乘方法则：11ab, ab0abab0a nb n (nN * 且 n1)(7) 开方法则：ab0n an b (nN * 且 n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等

2、式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax 2bxc0或 ax2bxc0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax 2bxc0 a0 的两根为 x1、 x2且 x1x2 ，b 24ac ，则不等式的解的各种情况如下表：000y ax 2bxcyax 2bxcyax 2bxc二次函数yax2bxc（ a0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0x1 , x2 ( x1x2 )x1x2b无实根a0 的根2aax2bxc0x x x1或x x2x xbR(a0)的解集2a学习必备精品知识点ax2bx c 0(ax x1 x x20)的解集2、 简单的

3、一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿 过 偶 弹 回 ；（ 3 ） 根 据 曲 线 显 现f ( x) 的 符 号 变 化 规 律 ， 写 出 不 等 式 的 解 集 。23如： x 1 x 1 x 203、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。 解分式不等式时， 一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。f (

4、x)0f ( x) g ( x)0;f ( x)0f ( x) g ( x ) 0g ( x)g ( x)g ( x)04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式 fxA在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx minA若不等式 fxB 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上 fx maxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线

5、+ =0 同一侧的所有点 (x, y) ，把它的坐标（x, y) 代入+ +，所得Ax By CAx By C到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一特殊点（0,y0) ，从0+0+C的正负即可xAx By判断 Ax+By+C 0 表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C 0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数 ：关于 x、 y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y 的解析式，叫线性目标函

6、数线性规划问题 ：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：学习必备精品知识点（ 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式abab21若 a,b R ,则 a2+b2 2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .a

7、bab (当且仅当 ab时取 "" 号).2如果 a,b 是正数，那么2ab ；ab ab2变形： 有 :a+b 2,当且仅当 a=b 时取等号 .23如果 a,b R+,a·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值2P ;如果 a,b R+,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,ab 有最大值 S2.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1）a2b2abab2

8、( 根据目标不等式左右的运算结构2211ab选用 ) ；（ 2） a、b、 c R， a2b2c2ab bcca （当且仅当 ab c 时，取等号）；（ 3）若 a b 0, m 0 ，则 bbm （糖水的浓度问题） 。aam不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1. 对于实数 a,b,c 中，给出下列命题： 若 ab, 则 ac2bc2 ； 若 ac 2bc 2 ,则 ab ； 若 ab 0,则 a 2ab b 2 ； 若 ab 0,则 11 ；b 0,则 ba ；ab 若 a 若 ab 0,则 ab ；ab 若 cab； 若 a11a b 0, 则c bb,，则 a

9、0, b 0 。c aab其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）（二）解不等式学习必备精品知识点题型三：解不等式2. 解不等式3.解不等式 ( x1)(x2) 20 。5x4.解不等式x2 2x 315.不等式 ax2bx120 的解集为 x|-1 x 2 ，则 a =_, b=_6. 关于 x 的不等式 ax b0 的解集为 (1,) ，则关于 x 的不等式 axb0 的解集为x27. 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10题型四：恒成立问题8.关于 x 的不等式a x2+ a x+1 0恒成立，则a 的取值范围是_9.若不等式 x22mx2m10 对 0x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .学习必备精品知识点10. 已知 x0, y 019x ym 恒成立的实数 m 的取值范围。且1，求使不等式xy（三）基本不等式ab题型五：求最值ab211. （直接用）求下列函数的值域211（ 1） y 3x 2x 2（ 2） y x x12. （配凑项与系数）（1）已知 x51的最大值。，求函数 y 4 x 244x5（ 2）当时，求 yx(82x) 的最大值。求