山东省专升本辅导 第一章 极限与连续

1、总要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。历年考点章考察点年份2005200620072008200920101 极限与连续定义域(注意反三角函数）1111 极限与连续重要极限（两个）11121 极限与连续连续定义11

2、极限与连续分段函数连续性11 极限与连续间断点类型（小分类）211 极限与连续数列极限11 极限与连续分段函数分段点处极限11 极限与连续复合函数求值11 极限与连续函数极限（通分约零因子）111 极限与连续有界函数与无穷小乘积是无穷小11 极限与连续求反函数11 极限与连续高阶、低阶、同阶无穷小111 极限与连续两已知函数复合，求复合后函数11 极限与连续分段函数分段点处连续，求a值11 极限与连续y=e（-1/x）为无穷大，求x趋向12 导数与微分导数定义11112 导数与微分复合函数微分112 导数与微分微导存在与可微关系112 导数与微分隐函数求导（定点）12 导数与微分幂指函数求导、

3、微分112 导数与微分隐函数全微分12 导数与微分参数方程求导12 导数与微分判断函数连续、可导性（绝对值函数）12 导数与微分对应法则不具体函数求微分12 导数与微分f'(x2)=1/x,则f(x)=12 导数与微分两函数商的微分公式12 导数与微分求函数不可导点的个数f(x)=x(x2-1)|x|12 导数与微分f(x)可导，已知f'(x),求(f(g(x)'12 导数与微分f(x)=x(x-1)(x-2)(x-99),求f'(x)12 导数与微分y=lnx,求y的n阶导数，y=1/(x2-2x-3),求y的n阶导数22 导数与微分d(sinx)/d(x2)

4、=13 中值定理与导数应用法线方程13 中值定理与导数应用导数应用 切线1113 中值定理与导数应用单调区间、单调性113 中值定理与导数应用求函数极限（L法则）11113 中值定理与导数应用应用-最优化（用料最省，面积最大）1113 中值定理与导数应用证明：微分中值定理1113 中值定理与导数应用驻点13 中值定理与导数应用最值点13 中值定理与导数应用证明：导数、单调性证明不等式13 中值定理与导数应用求斜率13 中值定理与导数应用综合：求函数单调区间、极值、凹凸区间、拐点12113 中值定理与导数应用参数方程中过定点切线方程计算13 中值定理与导数应用求切点13 中值定理与导数应用判断函

5、数单调性、凹凸性13 中值定理与导数应用求函数极限（通分后L法则）14 不定积分不定积分（概念）计算1114 不定积分不定积分（分部积分、换元）114 不定积分不定积分（换元法）14 不定积分综合：不定积分定义（原函数已知）求不定积分14 不定积分sf(x)dx=x2+C,求sxf(1-x2)dx14 不定积分slnsinxdtanx=14 不定积分不定积分计算s1/(2+cosx)dx15 定积分及其应用变上限积分求导115 定积分及其应用定积分求面积115 定积分及其应用对称区间定积分15 定积分及其应用定积分计算（换元）1115 定积分及其应用定积分换元法115 定积分及其应用定积分计算

6、（分部积分法）115 定积分及其应用无穷限的广义积分（凑微分法）15 定积分及其应用利用变上限积分求导，求函数极限25 定积分及其应用已知分段函数，求变上限定积分表达式15 定积分及其应用s(0-1)e(x+ex)dx15 定积分及其应用定积分计算奇函数对称区间15 定积分及其应用定积分（带绝对值）s(pi/2-(-pi/2)|sinx|/(4-cos2*x)dx15 定积分及其应用含变上限定积分的分段函数连续求a,求f'(x)15 定积分及其应用含变上限定积分的函数求切线和极限16 向量代数与空间解析几何向量位置关系16 向量代数与空间解析几何求平面方程1216 向量代数与空间解析几

7、何直线与平面位置关系1116 向量代数与空间解析几何水平、铅直渐近线16 向量代数与空间解析几何向量|a+b|2=(a+b).(a+b)求模16 向量代数与空间解析几何点到平面距离17 多元函数微积分学二重积分计算211117 多元函数微积分学二元显函数全微分111117 多元函数微积分学偏导数计算17 多元函数微积分学利用二重积分概念计算（几何法）17 多元函数微积分学对应法则不具体多元函数求偏导17 多元函数微积分学两次积分交换积分次序17 多元函数微积分学二重积分求面积18 无穷级数级数收敛必要条件18 无穷级数幂级数收敛区间、收敛半径、收敛域118 无穷级数收敛半径18 无穷级数数项级

8、数收敛性判断（比较法etc）1118 无穷级数函数展开成幂级数（按x-x0)118 无穷级数求收敛区间、和函数18 无穷级数幂级数在定点处敛散性18 无穷级数幂级数sigma(-1)n*(x-1)n/n收敛区间19 微分方程微分方程通解（二阶齐次）1119 微分方程常数变易法解微分方程1119 微分方程微分方程一阶初值特解（分离变量）1129 微分方程一阶微分方程，化dx/dy型19 微分方程微分方程通解（二阶非齐次y''-2y'-3y=x）19 微分方程y*y''-y'2=0通解1学时分配章个数学时1255 2235 3296 4102 521

9、4 6112 7163 8122 9133 16032第一部分 函数、极限和连续 考试大纲（学时5）（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（6）了解初等函数的概念。（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解数列

10、极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x，x+，x-）时函数的极限。（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。（2）掌握函数在

11、一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。重要知识点一、求函数定义域下列函数的定义域考查比较多：1.(2007)的定义域_2.(2008)函数的定义域_3.(2010)函数的定义域_4. 函数的定义域_5. 函数的定义域_二、求反函数1.（2008）求函数的反函数2. 3.求函数的反函数及其定义域。三、复合函数求值1.（2009）设，则_2. 3.(20

12、06) 设，则_-sinx_四、数列极限1.(2009)_2. 3. 求下列数列极限五、函数极限1.（2009），则_2.（2009）_3.（2005）_4. _5. 6. 求a,b六、有界函数与无穷小的乘积是无穷小1.(2008)设数列有界，且则_2. 求下列函数极限七、单调有界数列极限八、夹逼准则1.求极限：2. 九、无穷小、无穷大1.（2007）当时，tan2x是A.比sinx高阶的无穷小 B.比sin3x低阶的无穷小 C.与sin3x同阶的无穷小 D.与sin3x等价的无穷小2. （2008）当时，是的A.高阶无穷小 B.同阶无穷小，但不等价 C.低阶无穷小 D.等价无穷小十、求函数极

13、限1.两个重要极限（1）（2005）则_（2）（2007）_（3）（2008）则_（4）（2010）=（5）（2010）,其中c为常数2.计算极限3.利用无穷小替换求极限4. 5. 6.经验公式十一、左、右极限1.为无穷大，求x的趋向2.讨论在当的极限十二、连续性可导与可微等价，可导一定连续但连续不一定可导。1.（2010）若函数在x=1处连续，则a=_2.（2006）若函数在x=0处连续，则a=_3. 若函数在x=0处连续，则k=_十三、间断点1.(2009)是函数的A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.第二类间断点2.(2009) 在x=0处是第二_类间断点.3.(2010) x

14、=0是函数的第一_类间断点.4. 确定函数的间断点，并判断间断点的类型.5. 6.十四、初等函数的连续性十五、闭区间上连续函数的性质（会运用介值定理推证一些简单命题）1. 2. 3.证明方程在区间（1，2）内有惟一的根。4.验证方程至少有一个小于1的正根。练习题一1.求下列函数的定义域: (1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得这两个不等式的公共解为 与所以函数的定义域为.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式

15、非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 推得即 , 因此，所给函数的定义域为 .2.设的定义域为，求的定义域.解：令, 则的定义域为, （k, k+）, k , 的定义域为 （k, k+）, k .3.设=，求，.解： = = (1,0),= (0,1).4.求下列极限：（1）, （2）,解：原式= 解: 原式= = =2.（抓大头） = .（恒等变换之后“能代就代”）（3）, （4）,解：原式= 解：时, = ,=. （恒等变换之后“能代就代”） 原式=.（等价） （5）, （6） ， 解：原式= 解： 原式= =0 + 100 = 100

16、（无穷小的性质） (7) 解 : 原式=（抓大头）（8） . 解：因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 （9）解：不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 .（10） 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=（也可用洛必达法则） （11）.解一 原式=，解二 原式=（12）解 ：= （） （等价替换）5.求下列极限（1） （2） （3）（4） （5） 解 ：（1）由于时，故原极限为型，用洛必达法则 所以

17、（分母等价无穷小代换）.（2） 此极限为，可直接应用洛必达法则 所以 = .（3） 所求极限为型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型. .（4）所求极限为型，得 （型） =（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，因此洛必达法则失效！但 .6.求下列函数的极限：（1）， （2） 当为何值时，在的极限存在.解： (1),因为左极限不等于右极限，所以极限不存在（2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限于是，有， ，为使存在，必须有=，因此 ，当=1 时， 存在且 =17.讨论函数 ， 在点处的连续性解：由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般

18、要考虑在分段点处的左极限与右极限因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续8. 求函数的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知的间断点为.而在处无定义，故为其可去间断点.又 为的无穷间断点.综上得为的可去间断点, 为的无穷间断点.练习题二1函数的定义域是（ ） A变量x的取值范围 B使函数的表达式有意义的变量x的取值范围 C全体实数 D以上三种情况都不是 2以下说法不正确的是（ ）A两个奇函数之和为奇函数 B两个奇函数之积为偶函数C奇函数与偶函数之积为偶函数 D两个偶函数之和为偶函数 3两函数相同则（ ） A两函数表达式相同 B两函数定义域相同 C两函数表达式相同且定

19、义域相同 D两函数值域相同4函数的定义域为（ ）A BC D 5函数的奇偶性为（ ）A奇函数 B偶函数C非奇非偶 D无法判断6设则等于( ) A B C D7 分段函数是( ) A 几个函数 B可导函数 C连续函数 D几个分析式和起来表示的一个函数8下列函数中为偶函数的是( ) A B C D9以下各对函数是相同函数的有( ) A B C D10下列函数中为奇函数的是( ) A B C D11设函数的定义域是0,1,则的定义域是( ) A B C 0,1 D 1,212函数的定义域是( )A B C D (0,213若( ) A B3 C D114若在内是偶函数,则在内是( )A奇函数 B偶函

20、数 C非奇非偶函数 D15设为定义在内的任意不恒等于零的函数,则必是( )A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D16 设 则等于 ( )A B C D无意义17函数的图形（ ）A关于轴对称 B关于轴对称 C关于原点对称 D关于直线对称18下列函数中,图形关于轴对称的有( ) A B C D19.函数与其反函数的图形对称于直线( ) A B C D20. 曲线在同一直角坐标系中,它们的图形( ) A关于轴对称 B关于轴对称 C关于直线轴对称 D关于原点对称21对于极限，下列说法正确的是（ ）A若极限存在，则此极限是唯一的 B若极限存在，则此极限并不唯一 C极限一定存在 D以上三种情况都不正确 2

21、2若极限存在，下列说法正确的是（ ）A左极限不存在 B右极限不存在C左极限和右极限存在，但不相等D23极限的值是( )A1 B C0 D24极限的值是( )A 0 B 1 C D 25已知，则（ ）A B C D26设，则数列极限是A B C1 D27极限的结果是A0 B C D不存在28为( ) A2 B C1 D无穷大量29 为正整数）等于（ ）A B C D30已知，则（ ）A B C D31极限( )A等于1 B等于0 C为无穷大 D不存在32设函数 则( ) A1 B0 C D不存在33下列计算结果正确的是( ) A B C D 34极限等于( ) A 1 B C 0 D35极限的结

22、果是 A B1 C0 D不存在36为 ( ) Ak B C1 D无穷大量37极限=( )A0 B1 C D38当时,函数的极限是( )A B C 1 D39设函数，则 A1 B0 C D不存在40已知的值是( )A7 B C 2 D341设,且存在,则的值是( )A1 B C 2 D42无穷小量就是（ ） A比任何数都小的数 B零 C以零为极限的函数 D以上三种情况都不是43当时，与比较是( )A高阶无穷小 B等价无穷小 C同阶无穷小 ，但不是等价无穷小 D低阶无穷小44当时，与等价的无穷小是（ ） A B C D45当时，与比较是（ ）A高阶无穷小 B等价无穷小C同阶无穷小 ，但不是等价无穷

23、小 D低阶无穷小46设则当时（ ）A是比高阶的无穷小 B是比低阶的无穷小C与为同阶的无穷小 D与为等价无穷小47当时, 是比高阶的无穷小,则( )A B C为任一实常数 D 48当时，与比较是（ ）A高阶无穷小 B等价无穷小 C同阶无穷小 ，但不是等价无穷小 D低阶无穷小49“当，为无穷小”是“”的（ ）A必要条件，但非充分条件 B充分条件，但非必要条件C充分且必要条件 D既不是充分也不是必要条件50 下列变量中是无穷小量的有( ) A B C D51设( ) A与是等价无穷小量 B与是同阶但非等价无穷小量 C是比较高阶的无穷小量 D是比较低阶的无穷小量52 当时,下列函数为无穷小的是( ) A B C D53 当时,与等价的无穷小量是 ( ) A B C D54 函数当时 ( )A有界变量 B无界变量 C无穷小量 D无穷大量55 当时,下列变