复变函数教案(2)

1、学习必备欢迎下载第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学课题 ：第一节解析函数的洛朗展式教学目的 ：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点 ：掌握洛朗级数的展开方法教学难点 ：掌握洛朗级数的展开方法教学方法 ：启发式、讨论式教学手段 ：多媒体与板书相结合教材分析 ：洛朗级数是推广了的幂级数， 它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。教学过程 ：1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式， 即在圆环内解析函数的一种级数展式。

2、首先考虑级数01 (zz0 ) n2 ( zz0 ) 2.n ( zz0 ) n.1其中 z0 ,0 , 1 ,., n ,.是复常数。此级数可以看成变量 的幂级数；设这幂级 z z0数的收敛半径是 R。如果 o R，那么不难看出，此级数在 | zz0 |1 内绝| 1 内发散。同样，如果 RR对收敛并且内闭一致收敛， 在 | zz0，那么此级R数在 | zz0 |0 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在zz0 没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在| zz0|1RR1 (0R) 及 | zz0|0 内收敛于一个解析函数。2、

3、解析函数的洛朗展式 :更一般地，考虑级数n ( zz0 )n ,n学习必备欢迎下载这里 z0, n(n 0, 1, 2,.)是复常数。当级数n ( zz0 )n 及n (zz0 )n ,n0n1都收敛时，我们说原级数n (zz0 ) n 收敛，并且它的和等于上式中两个级数的n和函数相加。设上式中第一个级数在| zz0 |R2 内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在 | zz0 |R1 内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别 | zz0 |R2 及 | zz0 |R1 在内解析。又设R1R2 ，那么这两个级数都在圆环D : R1| zz0 |R2 内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我

4、们说级数n ( zz0 ) n 在n这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。我们称级数n (zz0 )n 为洛朗级数 。因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析n函数，我们也有定理 5.1 （洛朗级数） 设函数 f(z)在圆环： D : R1 | zz0 |R2 (0R1R2)内解析，那么在D 内f ( z)n ( zz0 )n ,n其中，1f ( )d , (n 0, 1, 2,.)nz0 )n 12 i (是圆 | z z0 |, 是一个满足 R1R2 的任何数。证明：设 z 是圆环 D 内任一点，在 D 内作圆环 D ': R'| zz |R &

5、#39;，使得102z D' ，这里 R1R'1 R2 ' R2 。用 1'及 2'分别表示圆 | zz0 |R'1 及 | zz0 | R2 '。由于 f ( ) 在闭圆环 D' 上解析，根据柯西定理，有1f (z)2 i'2f ( )1zd2 i'1f ()d，z学习必备欢迎下载其中积分分别是沿1'及 2' 关于它们所围成圆盘的正向取的。当2' 时，级数1111zz(z z )zz z00001z0(zz0 )nn 0 (z ) n 10一致收敛；而当1' 时，级数11(z0 )

6、 nz( zz0 )(1z0)n 0 ( zz0 )n 1z0z一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f(z)有展式f ( z)n ( z z0 )n ,n其中，1f ( )n 1 d ,(n 0,1,2,.)1f ( )d , (n 1,2,.)n'(z0 )n'(z0 )n 12 i22 i1由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。注解 1、由于函数 f(z)的解析区域不是单连通区域，所以公式n1f ( )n 1 d ,(n 0, 1, 2,.) 不能写成： nf (n) (z0 ) .2 i (z0 )n!注解 2、我们

7、称n ( z z0 )n 为 f(z)的解析部分， 而称n( z z0 )n 为其主要部n 0n 1分。注解 3、我们称n ( zz0 ) n , 为 f(z)的洛朗展式 。n定理 5.2 设洛朗级数n ( zz0 ) n 在圆环nD : R1| zz0 |R2 (0R1R2)中内闭一致收敛于和函数g(z)，那么此展式就是g(z)在 D 内的洛朗展式：学习必备欢迎下载g (z)n ( z z0 )n.n证明：现在把系数用 g(z)计算出来。在 D 内任取一圆 :| z z0 | (R1R2)，用乘 1(z z0 ) k 1 以定理中展式的两边，然后沿求积分。由于所讨论的级数在2i上一致收敛，在

8、求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有1g( z)k 1 dzk1( z z0 )n k 1 dzk2 i( z z0 )2i(k0, 1,2,.)这里因为上式中求和记号后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成立。注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算， 同时，这也表明，g(z)在 D 内不可能有其他形式的洛朗展式， 因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理：推论 5.1 在定理 5.1 的假设下， f(z)在 D 的洛朗展式式唯一的。例 1、 求函数1分别在圆环 1<|z|<2 及 2| z |内的洛朗级数展式。(z 1)( z 2)解：如果 1&

9、lt;|z|<2，那么 | z |1,|1|1, 利用当 |1 时的幂级数展式2z1112 .n.我们得11111zn1(z 1)( z 2)z 2 z 1z1n 1n 1 zn ;2(1)n 0 2)z(12z如果 2| z |，那么|2|1,|1 |1, 同样，我们有zz111112n 112n 1 1(z 1)( z 2)z 2 z 121n 1 znn 1 znn 2zn.z(1)z(1)zz例 2、sin2z 及 sin z 在0 | z |内的洛朗级数展式是：zz学习必备欢迎下载sin z1zz3.(1) n z2 n 1z2z3!5!( 2n.1)!sin z1z2z4.(1)n z2nz3!5!( 2n.1)!1例 3、e z 在 0 | z |内的洛朗级数展式是：111111ez. 。12! z2n! znz1例 4、求函数在圆环 1<|z|<3 内的洛朗级数展式。2(z1)( z3)解：由于 1<|z|<3，那么 | 1 |1,| z |1,利用当 | |1 时的幂级数展式z13112.n.我们得11 ( 1z