二有限元分析的基本过程

1、   二 有限元分析的基本过程  1  单元            有限元 - 连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。单元中的基本物理量 (结构分析 - 位移；热分析 - 温度；电磁分析 - 电位势，磁通量；流体分析 - 流量，等) 用单元节点处的值表示，可以写为：           &#

2、160;  u = P ue      其中：            u - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数：                        u = u (x,y,z)

3、0;           P - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关           ue - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转                    

4、; 角或其对坐标的导数。            常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。      结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中)      杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。          在单元坐标系中：   

5、0;             节点自由度为 Tx 和 Rx，其中 x  为杆的轴线。          在总体坐标系中：                 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。

6、60;    梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂             直于轴线方向的弯曲          在单元坐标系中：                 节点自由度为 Tx

7、,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中 x  为梁的                 轴线，Y,z 为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。          在总体坐标系中：              

8、60;  三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。     平面单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。               节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。    轴对称单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。         

9、60;     节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。    板壳元：三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移                   及两个转角 (一般缺少绕法线转角)。            

10、  在单元坐标系中：                  三个位移和三个转角 (Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)              在总体坐标系中：           

11、60;      三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)  三维实体：四面体六面体，三个方向的位移，无转角。             节点自由度为三个位移  (T1,T2,T3)，单元坐标系与总         体坐标系一致。      &

12、#160;           结构分析时一些特殊单元             为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数 CAE 软件中都引入了一些特殊的单元，例如：             弹簧单元 - 模拟拉压或弯扭弹簧连接 

13、0;           阻尼单元 - 模拟阻尼器等结构件             质量单元 - 用于处理集中质量             接触单元 - 用于处理接触非线性问题       

14、      间隙单元 - 用于处理接触非线性问题             拉索单元 - 用于模拟只受拉不受压的线结构             各种连接单元 - 用于模拟结构件之间的不同连接方式，如         

15、60;                    铰接、刚性连接等             刚体单元 - 将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模            &#

16、160;                  型的规模             等  单元形状函数举例  (未必是实际使用的单元)： (1) 一维单元     a.  杆单元    

17、  轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx         对 2 节点单元 (线性单元)：                    Tx = a0 + a1 * x            

18、60;       Rx = b0 + b1 * x            各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定；         对 3 节点单元 (二次单元)：              &#

19、160;    Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2                   Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2            各有 3 个未知数，可以由 3 个节点的位移值确定；   b. 梁单

20、元         拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同；         对于弯曲变形 (以单元坐标系 y 向为例)，2 节点单元相应的形状函数为：              Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3     

21、60;        由两个节点的 Ty,Rz 可以确定四个未知数；        对于 3 节点单元：              Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5      

22、0;        由 3 个节点的 Ty,Rz 可以确定 6 个未知数；   (2) 二维单元     a.  平面单元 (平面问题，轴对称问题) ，以 Tx 为例        三节点三角元：               &#

23、160;  Tx = a0 + a1*x + a2*y            三个未知数可以由三个节点的 Tx 表示；         6 节点三角元：                  Tx = a0 + a1*x + a2*y

24、 + a3*x2 + a4*xy + a5*y2             6 个未知数可以由 6 个节点的 Tx 表示；         4 节点四边形元：                  Tx = a0 + a1*x

25、 + a2*y + a3*xy             4 个未知数可以由 4 个节点的 Tx 表示；         8 节点四边形元：                  Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x

26、2 + a4*xy + a5*y2                          + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3)             8 个未知数可以由 8 个节点的 T

27、x 表示；   上面使用的简单多项式，对于 4 节点或 8 节点四边形 (特别是使用简单多项式的 8 节点单元，三次项缺失较多)，使用效果往往不好。            实际使用的是 "等参数单元"，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。然后用 “内插函数” 来构造形状函数。    (2) 二维单元 (续)    

28、b.  弯曲单元 (板、壳问题)          平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形 -  Tz，每个节点有三个弯曲自由度：Tz, Rx, Ry (法向位移和两个转角)。          三节点三角元：               

29、   Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2                          + a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y3        &

30、#160;     9 个未知数可以由三个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。             这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。           4 节点四边形元：        &

31、#160;          Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2                          + a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3&

32、#160;+ 2 个四次项               12 个未知数可以由四个节点的 Tz, Rx, Ry 表示。这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是 "等参数单元"。              同样可以构造 "高阶" 单元 (6 节点三角元、8 节点四边形单元)。

33、0; (3) 三维实体单元        每个节点三个自由度：Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系 x,y,z 与总体坐标系 X,Y,Z 相同。      a. 四面体单元 (以 Tx 为例)          4 节点单元：            

34、0; Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z          四个未知数由四个节点的 Tx 确定。          10 节点单元 (增加 6 个边的中点)：              Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 

35、;+ a5*y2 +                      a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx          10个未知数由 10 个节点的 Tx 确定。        

36、; b. 六面体单元 (以 Tx 为例)          8 节点单元 (直观的例子，实际用 "等参数单元")：             Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +          

37、;            a6*z2 + a7*(xy + yz + zx)          8 个未知数由 8 个节点的 Tx 确定。          20 节点六面体单元：          

38、   使用完整的三次多项式，共 20 个未知数，由 20 个节点的 Tx 确定。实际中使用的是 "等参数单元"。          理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。但实践发现，单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。经数学界研究发现，单元的构造必须满足相容性 (协调性) 和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。     (1)   单元的完备性要求：   

39、;         对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。            与 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在 "应变-位移" 关系式中微分后得到常应变项。因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。  

40、;          这一条可以归结为：位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。     (2)  单元的相容性 (协调性) 要求：            单元的位移函数必须包含所解决问题的 "应变-位移" 关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。    

41、;        如一般弹性问题 (平面问题、轴对称问题和三维弹性问题)，其 “应变-位移” 关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可 (Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z .)。            对板弯曲问题，"应变-位移" 关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯

42、曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：Tz,Rx,Ry。这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。            在满足相容性 (协调性) 要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。如果只满足完备性，而不满足相容性 (如板弯曲问题)，解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。  2  单元特性的推导 (略)  3  单元组集        将所有单

43、元的应变能求和，得到整个结构的应变能：            U = S Ue = 1/2 uT K u         其中 u 是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结构位移矢量；K 是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。       考虑两个杆单元的情况 (下页图)，各单元的节点位移矢量和单元刚度矩

44、阵用总体自由度序号表示如下：          在计算整个结构的应变能时，将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进行求和，例如 K4,4  K4,6、K5,4  K5,6、K6,4  K6,6，从而得到整个结构的刚度矩阵。   如果单元中作用有外力，可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上：          然后可以求出节点外力在节点位移上所

45、做的功：              V = F u         其中 F 为所有节点的外力矢量 (每个节点三个分量)，u 为所有节点的位移矢量 (每个节点三个分量)。        然后，根据最小势能原理，真实位移应该使总势能取极小值：      

46、0;     总势能为：                P = U - V = 1/2 uT K u - F u            对 u 取极值，即总势能对 u 的一次导数为零：         由此得到

47、：            K u - F  = 0       或            K u = F            这就是待求解的有限元代数方程。由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程，从而使问题的求解变得容易。