数分知识总结及例题

1、 数分近一周知识点总结 本周学习了第二章数列极限。由于在数学分析中，变量的取值范围是限制在实数集合内，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。 首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R连续性的表述之一非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。 接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列

2、必收敛）提供了思路和工具。 数学是良好的工具。应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，、e、Euler常数的起源，感受了极限的魅力。接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题实数集是否可列。Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质完备性。 回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。下面我们以5定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，

3、因此Bolzano-Weierstrass定理又称聚点定理。下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明 摘 要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.(单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛(闭区间套定理）设为一闭区间套：1.2.则存在唯一一点(聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass定理直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。(柯西收敛准则)数列收敛的充要条件是：N， , 恒有（后者又称为柯西（

4、Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）(确界存在原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .单调有界定理对其它定理的证明一用单调有界定理证明闭区间套定理证 由区间套定义,为递增有界数列，依单调有界定理, 有极限,且有n=1,2, (1) 同理,递减有界数列也有极限,并按区间套的条件有= (2)且 ，n=1,2, (3)联合(1) (3)即得式. 最后证明满足的的是唯一的,设数也满足 ，n=1,2, 则由式有 |- | - ，n=1,2, 由区间套的条件得 |- |，故有= 二用单调有界定理证明确界原理证 我们不妨证明非空有上界的数集必有上确界.1.欲

5、求一实数使它是非空数集的上确界.利用非空有上界的数集,构造一数列使其极限为我们所要求的实数. 选取性质:不小于数集中的任一数的有理数. 将具有性质的所有有理数排成一个数列 ,并令 =max,则得单调递增有上界的数列;2.由单调有界定理得,且对任意的自然数n 有;3.是数集S的上确界.用反证法.若有数 使,取,由3.一定存在一个有理数 ,使<+,从而<,这与是数集的上界矛盾.所以对一切S,都有,即是数集S 的上界. 任给>0,若S,都有-,则存在有理数,使-<<,即-< < .这与3.矛盾,所以存在 ,使>-.即是数集的最小上界. 于是,我们证明了

6、所需结论.三.用单调有界定理证明柯西收敛准则证 若收敛，设则有对，当时有 任取，则有从而即是列 设是列(i) 则对，当时有 从而 取， 从而 取， 从而即得对有，由的任意性有 (ii)由列的定义，任取，则，当时有 取则 所以为有界序列 由有为有界序列 由有界单调收敛定理有收敛，设 (iii)下证 因为对，当时有 由是列有 当时有 所以+ 所以收敛，且 证毕四.单调有界定理证明聚点定理证 设是以有界无限点集 ,则在中选取一个由可数多个互不相同的点组成的数列 ,显然数列是有界的. 下面我们从中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集的聚点

7、.分两种情况来讨论. 1)如果在的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因是有界的且,这是可能的). 设 后的最大项是; 后的最大项是且显然; 一般地, 后的最大项记为 ,(=1,2,). 这样,就得到了的 一个单调递减的子数列,因为有界,根单调有界定理知,收敛.2)如果1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取=, 因不是最大项, 所以必存在另一项>(>).又因为也不是最大项, 所以又有>( >), 这样一直下去,就得到的一个单调递增的子列 且有上界 单调有界定理知, 收敛。 总之不论属

8、于情形 1）还是情形 2）都可作出的一个单调收敛的子列. 设=,今证是的聚点 .对>0,存在自然数,使得时>时， - < < +, 若这时单调递减 , < +( >) 且 , 即的领域内含有中异于的点,故是 的聚点. 单调递增时,类似可证区间套定理对其它定理的证明一.用区间套定理证明数列的柯西收敛准则证 必要性 设= A.由数列极限定义,对任给的>0,存在>0,当m,n>时有 |-A|< , |-A|< , 因而 | -| |-A|+ |-A|< + =. 充分性 按假设,对任给的>0,存在>0,使得对一切有|

9、-| ,即在区间-,+ 内含有中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我们用“ 中几乎所有的项”表示“ 中除有限项外的所有项”) 据此,令= ,则存在,在区间-, + 内含有中几乎所有的项.记这个区间为,. 再令=,则存在(>) ,在区间-,+内含有中几乎所有的项.记 ,=-,+, 它也含有 中几乎所有的项,且满足继续依次令=, , , ,照以上方法得一闭区间列,其中每个区间都含有 中几乎所有的项,且满足 ,n=1,2, , -0 (n), 即,是区间套,由区间套定理,存在唯一的一个数,( n=1,2,). . 现在证明就是数列的极限.事实上,对任给的>0 ,存在>0 ,

10、使得当> 时有 ,U(;).因此在U(;)内含有 中除有限项外的所有项,这就证得= .二用区间套定理证明聚点定理证 因为有界点集,故存在,使得,记,= . 现将,等分为两个子区间,因为无限点集,故两个子区间至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为, ,则, ,且 -=(-)=M. 再将,等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为, ,则, ,且 -=(-)=. 将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列, ,它满足 ,n=1,2, , -=0 (n),即,是区间套,且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一点, ,

11、n=1,2,.于是对任给的>0,存在>0 ,当>时有,U(;).从而U(;)内含有中无穷多个点, 为的一个聚点.三.用区间套定理证明确界原理证 仅证明非空有上界的数集必有上确界. 1.要找一数,使其是数集上的上确界. 是的上确界就要满足上确界定义中的两个条件:大于 的数不在中, 的任何领域内有中的点.这两条即为性质. 如果在闭区,间中,则闭区间应有性质,:任何小于的数不在中, ,中至少含有中的一个点,该性质即为.取的上界为,且 b,取,则闭区间有性质; 2. 将闭区间,等分为两个闭区间,则至少有一个闭区间,也有性质.如此继续得一闭区间列,满足 ,; =0 3. 由闭区间套定理

12、得属于所有的闭区间,n=1,2, , 并且每个闭区间,有性质 ; 4. 因为, n=1,2, , 且=0,故 =,由于对,有,从而=;又对>0,总存在,使得- < ,故存在, , 于是>- .因而=sup.四用区间套定理证明单调有界定理证 设是单调有界数列 ,不妨设其为单调递增且有上界,现在来构造以个闭区间套. 在中任取一项记作, 这时<于是,以,为端点的闭区间,内一定含有数列中的无限多项,将区间,二等分,得闭区间,.由于单调递增，故,和，中只有一个包含的无限多项，记该区间为,.再将,二等分，在所得区间中只有一个包含的无限多项，记该区间为,如此继续，得一闭区间列： ,，

13、,，,，满足 ,(=1,2,); =0故是一个闭区间套,由闭区间套定理,存在唯一实数使得,(=1,2,).现在证明因=.因=0,故对>0存在自然数,当> 时, -<另外,由于,包含递增数列的 无限多项,所以必存在,当> 时,有 ,取=max, ,当> 时有 -<-<,此即=.柯西收敛准则对其它定理的证明一.用柯西数列的收敛准则证明确界原理证 设为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数,存在整数,使得= 为的上界,而- =(-1) 不是S的上界,即存在,使得 >(-1) . . 分别取= ，=1,2,则对每一个正整数,存在相应的 ,使得为的

14、上界,而- 不是的上界,故存在,使得 >-. (1)又对正整数,是的上界,故有.结合(1)式得-< ;同理有-< .从而得 | -|<max(,).于是,对任给的>0 ,存在>0 ,使得当,>时有 | -|<.由柯西收敛准则,数列 收敛.记 = (2) 现在证明就是的上确界.首先,对任何和正整数有,由(2)式得,即是的一个上确界.其次,对任何>0 ,由0()及(2)式,对充分大的同时有 <,>-.又因- 不是的上界,故存在,使得>- .结合上式得 >-=-.这说明为的上确界. 同理可证:若为非空有下界数集,则必存在下

15、确界.二.用柯西收敛准则证明聚点定理 证 1.取为的下界,对任意固定的自然数，存在自然数, 使=+ 满足： 1） 至多为有限点集； 2）为无限点集. 2由1.对任意的自然数, < , 这是因为，若存在n,使, 则 这与1），2）矛盾.从而 |-|max,因此满足柯西收敛准则； 3由柯西收敛准则得，=; 4对>0, 由于=,所以存在使得 , -(-,+),从 ,有2）得是无限点集；又 ,由1）得至多是有限点集.因此 (-,+),是无限点集,即是的聚点.三.用柯西收敛准则证明闭区间套定理证 不妨设是一列闭区间,满足如下两个条件:1) 2)设.则,所以数列是一基本数列.从而由柯西收敛准则

16、得: .由于数列单调增加,数列单调减少,可知是属于所有闭区间 的唯一实数,从而区间套定理得证.下面证明闭区间套的公共点是唯一的 若也属于所有的闭区间,则,当时, ,这与闭区间套的条件矛盾,即区间套的公共点是唯一的.四.用柯西收敛准则证明单调有界定理证 设为一递增且有上界M的数列用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾现在来构造这样的对于单调数列，柯西条件可改述为：“,当时，满足”这是因为它同时保证了对一切，恒有 倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，使依次取把它们相加,得到故当时，可使，矛盾所以单调有界数列必定有极限 确界原理

17、对其它定理的证明一.用确界原理证明柯西收敛准则证 必要性是常规证法,故从略.只证充分性. 1构造非空有界数集,因为欲证明数列收敛，故数集必须含有数列中的无限多个数,为此，令 = |(-, )是空集或有限点集; 2由于满足柯西收敛准则充分条件的数列是有界的,故知数列的下界,上界也是的上界.所以是非空有上界的数集.由确界原理数集有上确界=sup; 3对>0, (-,) 是无限点集,否则,就与=sup.矛盾.因(-,+)至多含有的有限多个点.故(-,+)含有的无限多个点.设(-,+),k= 1,2,且< < . 取=maxN, , 则当n>时,总存在>使 |-| |-

18、| + |-|<2因此= . 二. 用确界原理证明闭区间套定理证 存在唯一的实数使得,(=1,2,) 令= 显然非空且有上界( 任一都是其上界) 据确界原理 , 有上确界.设sup= 现在证明属于每个闭区间,(=1,2,)显然(=1,2,),所以只需证明对一切自然数,都有. 实事上,对一切自然数，都是的上界, 而上确界是上界中的最小者,因此必有,故证明了存在一实数 使得,(=1,2,).三.用确界原理证明聚点定理证 设为有界无限点集。构造数集.易见数集非空有上界,由确界原理,有上确界.设sup.则对,由不是的上界, 中大于的点有无穷多个;由是的上界, 中大于的点仅有有限个.于是,在内有的

19、无穷多个点,即是的一个聚点.四.用确界原理证明单调有界定理证 设单调上升,即有上界,即,使得.考虑集合,它非空,有界,推出它有上确界,记为.我们验证.,由上确界的性质,使得,当时,由序列单调上升得,再由上确界定义,有,即 ,也就是说. 同理可证若单调下降,有下界,也存在极限,且.若集合无上界,记作；若集合无下界,记作,这样一来,由于单调上升（下降）有上界（下界）的序列,必有极限的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列,总有 . 证闭.聚点定理对其它定理的证明 一.用聚点定理证明区间套定理证 设=. 则 S是有界无限点集.由聚点定理得数集聚点.若存在一个, 使>>( n=1,2,).再取=( -), 由的单调性,当n>N时, >>+.这样,(-, +) 内至多有S中的有限多个点.这与是聚点矛盾,于是得到( n=1,2,). 同理可证, ( n=1,2,).因此,有. 唯一性的证明从略.二.用聚点定理证明柯西收敛准则证 设是一 列 柯西列，则知是有界的.若中只有有限 多个项不相同,那么必有一