平面解析几何初步-知识点

1、平面解析几何初步一、直线的概念与方程1. 直线的倾斜角： 在直角坐标系中， 对于一条与 x 轴相交的直线 l ，把 x 轴（正 方向）按 方向绕着交点旋转到 所成的角，叫做直线 l 的倾斜角。当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0O.倾斜角通常用 表示，倾斜 角 的范围是 0 1802. 直线的斜率：倾斜角的 值叫做直线的斜率。通常用字母 k 来表示，即 k =.当k= 时,直线平行于 x轴或者与 x轴重合 ;当k 0 时,直线的倾斜角为锐角 当k< 0 时,直线的倾斜角为;当倾斜角 =90o时，直线的斜率 .3. 直线的斜率公式：直线上两点A（ x1, y1）,B（ x2, y

2、2）,当 x1= x2时,直线的斜率, 当 x1 x2 时 ,直线的斜率为 k tany2 y1x2 x14. 直线方程的五种表达形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率 b 纵截距倾斜角为 90°的直 线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)（ x0 ， y0） 直线上已 知点， k 斜率倾斜角为 90°的直 线不能用此式两点式y y1 = x x1 y2 y1 x2 x1（ x1， y1）， （ x2， y2）是 直线上两个已知点与两坐标轴平行 的直线不能用此 式截距式xy+ =1 aba直线的横截距 b直线的纵截距过（ 0，0）及与两 坐标轴平行的

3、直 线不能用此式一般式Ax By C 0 (A2 B2 0)A 、B 不能同时为 零5.几种特殊的直线方程（1）过点 P（a,b）垂直于 x 轴的直线的方程为： 过点 P（a,b） 垂直于 y轴的直线的方程为 （2）已知直线的纵截距为 b ，可设其方程为：（ 3）过原点且斜率为 k 的直线的方程为6两条直线的位置关系：（1）直线平行的条件： 两条不重合的直线 l1、l 2 ，根据两条直线平行的定义 及性质可知 l1/l212,再由 k与 的关系可知 :l1/l2时或者k1、k2均；反之 k1 k2或者 k1、k2 均不存在时两条直线平行。注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在 。（2）

4、直线垂直的条件： 两条直线 l1、l2的倾斜角为 1, 2 则两条直线 l1 l 2 | 1 2 | 90 .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分 为两类 ,一是 :其中一条直线的斜率不存在 ,另一条直线的斜率为;二是 :两条直线的斜率都存在 ,且乘积为.（3）方程直线 l1 : y k1x b1 , 直线 l2 : y k2x b2 ，直线 l1 : A1x B1y C1 0 直线 l2: A2x B2y C2 0,关系重合k1 k 2 且 b1 b2A1B2 A2B1 0B1C 2 B2C1 0平行k1 k2,b1 b2A1B2A2B10 或A1B2A2B10B1C2B2C10A1

5、C2A2 C10垂直k1k2 1A1A2 B1B2 0相交k1 k 2A1B2 A2 B1 07.直线的交角：直线 l1到l 2 的角（方向角） ；直线 l1到 方向旋转到与 l 2 重合时所转动的角k2 k1tan .1 k1k2两条相交直线 l1与l 2的夹角：两条相交 交所成的四个角中最小的正角，又称为0, ，当 90 ，则有 tank2 k 121 k1k 2l 2 的角，是指直线 l1 绕交点依逆时针 ，它的范围是 （0, ） ，当 90 时直线 l1与 l2 的夹角，是指由 l1与l2 相 l1和l2 所成的角，它的取值范围是8. 距离公式(1)两点间的距离公式：平面内任意两点P1

6、(x1, y1), P2(x2,y2)之间的距离为 P1P2x2 x1 2 y2 y1 22)圆的一般方程：当 D 2 E2 4F 022x2 y2 Dx Ey F 0 .时，方 程表示 一个圆， 其中圆心 CD2, E2 ， 半径(2)点到直线的距离公式：设点 P(x0,y0)，直线 l :Ax By C 0,P到lAx 0 By 0 C的距离为 d ，则有 d Ax 0 By 0 C .A 2 B 2(3) 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l 1: Ax By C 1 0,C 1 C 2l2:Ax By C2 0(C1 C 2) ，它们之间的距离为 d，则有 d1 2 .A2 B29

7、.直线系在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中， 当( x0，y0)确定， k 变化时，该方程表示过定点( x0，y0)的旋转直线系， 当 k确定， (x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系 .D 2 E 2 4F r2D , E . ,.2 , 2 . 当 D2 E2 4F 0 时，方程无图形(称虚圆) .x a r cos( 为参数) .y b r sin当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点3)圆的参数方程：已知直线 l ： Ax By C 0则方程 Ax By0(0) ， 是参变量，表示与 l 平行的直线系；方程 Bx Ay0, 是参变量，表示与 l 垂直的直线系。l 1

8、:A1 x B1y C1 0过两直线 1 1 1 1 的交点的直线系方程为l 2:A2x B2y C 2 0A1xB1yC1(A2xB2yC2)0( 为参数，A2 xB2yC2 0不包括在内)二、圆的方程( 4)圆的直径式方程： (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0,其中 A(x1, y1) , B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点 .(用向量可推导)2. 用待定系数法求圆的方程 王新敞： (1)根据提议，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a、b、r或 D、E、F的方程组； ( 3)解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。三、点、线、圆的

9、位置关系 1.点和圆的位置关系：给定点M 在圆C内 M 在圆C上 M 在圆C外 2.直线与圆的位置关系M(x0,y0)及圆 C:(x a)2 (y b)2 r2.(x0 a)2 (y0 b)2 r 2x0 a)2 (y0 b)2 r 22 2 2(x0 a)2 (y0 b)2 r 21. 圆的方程的几种表达形式(1) 圆的标准方程： (x a)2 (y b)2 r 2 ，其中点 C(a, b)为圆心， r为半径 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x2 y2 r 2注：特殊圆的方程：与 x 轴相切的圆方程 (x a)2 (y b)2 b2 r b ,圆心(a, b)或(a, b)与

10、 y 轴相切的圆方程 (x a)2 (y b)2 a2 r a,圆心(a,b)或( a,b)代数法： 直线 l：Ax By C 0(A2 B2 0)，圆C ：x2 y2 Dx Ey F 0联 立得方程组Ax By C 0 消元与 x轴 y 轴都相切的圆方程 (x a)2 (y a)2 a2 r a,圆心( a, a) 0 相交 b2 4ac 0 0 相离 2)几何法：设圆C ：(x a)2 (y b)2 r2(r 0)；直线 l：Ax By C 0；相切2 2 一元二次方程 x2 y2 Dx Ey F 0圆心 C(a,b)到直线 l 的距离 dAa Bb CA2 B 2注：若圆 C 的半径为

11、R ，AB 是长度为 L 的弦，3. 直线与圆相切的问题( 1) .求过圆上的一点 (x0, y0 )圆的切线方程drdr 弦心距为 d，则 _相离相切相交: 先求切点与圆心连线的斜率 k ,1则由垂直关系 ,切线斜率为,由点斜式方程可求得切线方程 ;k( 2) .求过圆外一点 (x0,y0)圆的切线方程 : (几何方法 )设切线方程为 y y0 k(x x0)即kx- y kx0 y0 0,然后由 圆心到直线的距离等于半径 ,可求得 k ,切线方程即可求出 . (代数方法 ) 设切线方程为 y y0 k(x x0),即 y kx kx0 y0 代入圆方 程得一个关于 x的一元二次方程 ,由0

12、,求得 k ,切线方程即可求出 .注：以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线 ,可结合图形求得 .2 2 2 2过圆 x 2 2 2(3)过两圆 C1:x2y2D1xE1yF10,C2: x2y2D2xE2yF20 y2 r 2上一点 P( x0 , y0)的切线方程为 xx0 yy0 r2.4. 圆和圆的位置关系：( 1)设两圆圆心分别为 O1、O2，半径分别为 r1， r2， O1O2 为圆心距，则两 圆位置关系如下： O1O2 r1 r2 2 两圆外离； O1O2 r1 r2 两圆外切； |r1 r2 | O1O2 r1 r2 两圆相交； O1O2 |r1 r2 | 两圆内切；

13、O1O2 |r1 r2 | 两圆内含。(2)设两圆 C1 :x2 y2 D1x E1y F1 0,22C2 :x 2 y2 D2x E2y F2 0 ，若两圆相交，则其公共弦方程为(D1 D2)x (E1 E2)y (F1 F 2) 0的交点的圆系方程为： (不包含圆 C2 )四、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系： (1)如图， OBCD D,A,B,C,是单位正方体 .以 A为原点， 分 别 以 OD,OA,OB 的 方 向 为 正 方 向 ， 建 立 三 条 数 轴 x轴 .y 轴.z 轴 。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1)A 叫做坐标原点 2 )x 轴， y 轴， z 轴叫做

14、坐标轴 . 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。( 2) . 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂 直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中 指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。(3) . 有序实数组1)空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 (x,y,z) 来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)(x 叫做点 M的横坐标， y 叫做点 M的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标)。(4)点 P(a,b,c)关于 x 轴的对称点的坐标为 点P(a,b,c)关于 y轴的对称点的坐标为 点P(a,b,c)关于 z轴的对称点的坐标为 点