平面向量的坐标表示

1、枣庄三中 2008-2009 学年度上学期高三年级数学学科教学案编号 _3038平面向量的坐标表示组编人 白永庆 审核人 满其伦 使用时间 姓名 班级学号、说明解读1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；3掌握平面向量的坐标运算 ,理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二、知识网络1平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成 a xi y j ， 由2+ x2y1i j + y1y2 j = x1x2 + y1y2于a与数对(x,y)

2、是一一对应的， 因此把(x,y)叫做向量 a的坐标，记作 a (x, y) ，其中 x叫作 a在 x轴上的坐标， y叫做在 y轴上的坐标。设 a= (x1, y1)，b= (x2, y2)， x轴上单位向量 i ， y 轴上单位向量 j ，则： i i |i | |i | cos0 1 ， j j = 1， i j = j i = 0a b= (x1i+ y1 j )(x2i+ y2 j ) = x1x2i2 + x1y2i j从而获得公式： a b = x1x2 + y1y22 2 2(1) 若 a xi yj ，则 a |a|2 x2(2)若 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 AB

3、(x2 x1,y2 y1) ；表示相等向量的有向线段的始点、终点 的坐标未必相同。 |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2(3) 向量相等 坐标相同。2平面向量的坐标运算(1)若 a x1,y1 ,b x2,y2 ，则 a b x1 x2,y1 y2(2)若 a =( x,y)，则 a=( x, y)(3)若 a x1,y1 ,b x2,y2 ，则 a b x1 x2 y1 y23设 a x1,y1 ,b x2, y2 则向量共线 :a/bx1y2 x2y1 0向量垂直 : a b ，x1 x2 y1 y2 0三、基础再现1.(06 山东)设向量 a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=

4、(-1,-2)，若表示向量 4a、4b-2c、2( a-c)、d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形，A. （2,6）B.（-2,6）2平 面上 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C则向量 d 为C.（ 2,-6）D.（-2,-6）1点 满 足 AC2CB， 连 DC 并 延 长 至 E ， 使1| CE |= 1 | ED | ，则点 E 坐标为：4A.(-8, 53 )8B.( 83 311)C.(0,1)D.0,1)或( 2,11 )33（2008 ·安徽理 ,3）在平行四边形 ABCD 等于A. （-2,-4）中 ,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), A

5、C =(1,3) ，则(BD)B. (-3,-5)C. (3,5)D. (2,4)4若向量 a =（1,1） ，b =(1,-1), c =(-2,1), 则 c 等于A. 12 a+32 b22B. 1 a-3 b22C. 3 a - 1 b22D. 3 a+1 b225(05 全国 )已知向量 OA (k,12),OB (4,5), OC ( k,10), ，且 A.B.C 三点共线，则k= 6（05 湖北）已知向量 a （ 2,2）,b （5, k）.若|a b|不超过 5，则 k的取值范围是 7.设 OA =（3，1），OB =（-1 ，2），OC OB ，BCOA，O 为坐标原点，则

6、满足 OD+OA=OC的 OD 的坐标是8已知向量 a 3,2 ，b 1,1 ,向量 m与3a 2b平行, m=4 137 则向量 m的坐 标是 四、典例示范1）2）5 ，求 d1】平面内给定三个向量 a 3,2,b 1,2,c 4,1 ，回答下列问题：求满足 a mb nc 的实数 m,n； 若 a kc / 2b a ，求实数 k； 若 d 满足 d c / a b ，且例 2】已知 A、B、C三点的坐标分别为 （-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且 AE=1 AC，BF =1 BC. 33 求证： EF AB .例 3】（2006 全国） 已知向量 a （sin ,1）,b （1,

7、cos ）, 。 22（）若 a b ，求 ； （）求 a b 的最大值。例 4】 ( 05 山东 ) 已知向量 m (cos ,sin ) 和 n ( 2 sin ,cos ), ( ,2 ) ，且82m n ，求 cos() 的值5 2 8五、知能迁移1（04 天津）若A.（ 3， 6）面向量 b与向量 a =（1,-2）的夹角是 180°,且|b |=3 5 ,则b等于 （ ）B.（3，6） C.（6， 3）D.（ 6，3）2.正方形 PQRS对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，且 OP=（ 0,3），OS=（4,0），则 RM =A( 27 , 12 )B（27,

8、12）C（7,4）D7)243（04 全国）已知平面上直线 l 的方向向量 e=（ ，572,33 ），点 O（0,0）和 A（ 1,-2）在5l 上的射影分别是 O 和 A，则 OA = e ，其中 等于11 11 A.B. 5514(09 烟台模拟 )已知向量 a=(8, 12 x ), b =(x,1),其中 x>0,若(a 2b )/(2 a + b ),则 xC.2D.2的值为A.45（09 宁夏海南卷文 值为1A.7B.8 ） 已知 aC.0 D.2( 3,2), b ( 1,0),向量 a b与 a 2b垂直,则实数 的 ( )1C.6O 是 ABC 的外心，AB=a， A

9、C=b，若 AO= 1a+ 2 b,则 1+ 2的值为（）23A. 1263答案 C1 B.76（ 2009·武汉武昌区调研测试）已知B.1136C.1631D.6AB=2，AC=1，BAC=120°.设D.127（ 05天津）在直角坐标系 xOy中，已知点 A（0,1）和点 B（-3,4），若点 C 在AOB的平分线 上且|OC |=2,则OC =8已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10), 若 APAC (R),试问（1）为何值时 ,点 P 在一、三象限角平分线上？2）点 P 到两坐标轴的距离相等？9.已知 ABC中，A（2,-1），B（3,2），C（-3,-

10、1）,BC 边上的高为 AD，求 AD。平面向量的坐标运算答案 2双基练习答案 : 1-3.DBBB; 5. 3; 6.- 6,2; 7.(11,6).8.1】 解：(1)由题意得 3,2 m 1,2 n 4,1所以2)5m98n9a kc 3 4k,2 k ,2b am 4n 3 ，得2m n 25,2 16 133)设 d (x,y) 则d c x 4,y 1,a b 2,44 x 4 2 y 1 0x 4 2 y 12 5 x5, d (3, 1)或 (5,3) y32 3 4k 5 2 k 0, k由题意得x 3 或 y1 例 2】证明m 44,16 或 m 44, 16设 E、F 两

11、点的坐标分别为( x1，y1)、( x21 2 2BC=(-2，3)， AB=(4，-1) AE 31AC (23,23),BF 3BC ( 3,1) 22 AE (x1, y1) ( 1,0) (3,3),BF (x2 ,y2) (3, 1) ( 2,1).2 2 32 21 2 (x1,y1) ( , ) ( 1,0) ( , ),1 1 3 33 327(x2,y2) ( ,1) (3, 1) ( ,0),2 2 3 382 EF (x2,y2) (x1,y1) ( , ),33y2)，则依题意，得 AC =( 2，2)，2BC ( 3,1)又 AB (4, 1),284×(

12、) ( 1) × 0 ， EF AB .33例 3】解：() 若a b,则 sin cos 0， 得 tan 1 所以4() 由 a (sin ,1),b (1,cos )得| sin2 (1 cos )2|a b3 2 2sin( )当 sin()例 4】 解 :m n (cos sin2) 2 (cos sin )21时,a b 取最大值， 即当4时,a b因为 m n (cos sin 2,cos sin ),max 2 1.4 2 2 ( c o ss i4n 4)cos ( 2 )1 c o由已知 m n 8 2 ，得 cos( ) 75 4 25 2又 cos() 2cos 2 () 14 2 82 16所以cos2()2 8 2559 2 ,82练习简答 ： 1-6. AADA AC8 解 ( 1)由已知 AB =(3，则 AB + AC =(3，1)+ (5，7)=( 3+5 ， 设 P(x,y)，则 AP =(x-2,y-3)，x 5 5y 4 7所以 cos( )8 8 2 87. ( 1051)， AC =3 10)5 5，7)， 1+7 ) .x 2