平面向量50道解答题

1、平面向量练习题1设平面三点 A（1，0），B（0，1）， C（2，5）（1）试求向量 2AB AC 的模；（2）试求向量 AB与 AC的夹角；（ 3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标2.已知向量 a=（ sin ,cos ）（ R ）,b=（ 3,3）（ 1）当 为何值时，向量 a、b 不能作为平面向量的一组基底（ 2）求 |ab|的取 值范围3已知向量 a、b 是两个非零向量，当 a+tb（tR）的模取最小值时，（ 1）求 t 的值（2）已知 a、b 共线同向时，求证 b与 a+tb垂直4. 设向量 OA （3,1）, OB （ 1,2） ，向量OC 垂直于向量 OB ，向量BC 平行于

2、OA， 试求OD OA OC时,OD 的坐标 .5. 将函数 y= x2进行平移，使得到的图形与函数 y=x2x2 的图象的两个交点关 于原点对称 .（如图）求平移向量 a 及平移后的函数解析式 .6. 已知平面向量 a （ 3, 1）,b （1, 3）. 若存在不同时为零的实数k 和 t, 使22x a （t 2 3）b, y ka tb,且 x y.（1）试求函数关系式 k=f（ t）（2）求使 f（t）0的 t 的取值范围 .7已知向量= , 求向量 b，使|b|=2| |，并且 与 b的夹角为。（10分）8、已知平面上 3 个向量 、b、 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120

3、（1） 求证： （ -b） ;（2）若|k +b+ |>1 （kR）, 求 k 的取值范围。（ 12分）9（本小题满分 12 分 ）已知 e1，e2 是两个不共线的向量， AB =e1+e2，CB =- e1-8 e2, CD =3e1-3 e2, 若 A、 B、D三点在同一条直线上，求实数 的值 .10某人在静水中游泳，速度为 4 3公里/小时，他在水流速度为 4 公里/小时 的河中游泳 .（1） 若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多 少？（2） 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度 为多少？11（本小题满分 12 分）设向量 OA

4、= （ 3， 1）， OB =（-1，2），向量 OC OB ， BC OA ，又OD +OA=OC ，求 OD 。12（本小题满分 12 分）已知向量 OA (3, 4),OB (6, 3),OC (5 x, 3 y) )若点 A,B,C 能构成三角形，求 x, y满足的条件；)若 ABC为等腰直角三角形，且 B为直角，求 x, y的值13、(本小题满分 14 分) 已知 A(2,0)， B(0,2)，C(cos,sin)，(0<<)。(1)若| OA OC| 7(O 为坐标原点)，求OB与OC的夹角；2)若 AC BC ，求 tan的值。14、(本小题满分 14 分)如图， O

5、，A，B三点不共线， OC 2OA，OD 3OB ，设 OA a ，OB b 。(1)试用 a,b表示向量 OE ；(2)设线段 AB ，OE，CD 的中点分别为 L， M ， N，试证明 L ，M ，N 三点共线。15、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 a ( 1,2)，又点 A(8,0), B(n,t),C(k sin ,t)(0 )2(1)若 AB a,且| AB| 5 |OA|，求向量 OB；(2)若向量 AC与向量 a共线，当 4时，且tsin 取最大值为 4时，求OA OC 16、(本小题满分 14 分)3 3 x x已知向量 a (cos

6、x, sin x), b (cos , sin ) ，且 x 0, ，求：(1) a b及|a b|；32)若 f (x) a b 2 |a b |的最小值为 3 ，求实数 的值。17在平行四边形 ABCD中，A（1，1）， B（7，1），D（4，6） ，点M是线段 AB的中点，线段CM 与 BD 交于点 P ，求点 P 的坐标18已知点 A（2，3）， B（5，4，） C（10，8） ，若AP AB AC（ R ） ，求当点 P在第二象限 时， 的取值范围19已知 ABC 的角 A、B、C 所 对的边 分别是 a、 b、c 设向量 m （a,b） n （sin B,sin A）p （b 2,

7、a 2） .（1） 若m/ n 求证 ABC为等腰三角形；（2） 若mp 边长c = 2 角C = 求ABC的面积 .320. 已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为 A（3,4） 、B（0,0） 、 （c,0） （） 若 c=5 求 sin A 的值；（） 若 A为钝角 求 c的取值范围；21. （2007广东理）已知 ABC顶点的直角坐标分别为 A（3,4）、B（0,0）、C（c,0）. （1）若c 5，求sinA的值;（2）若 A是钝角，求c的取值范围.22. （2006全国卷理）已知向量 a（sin ，1），b（1，cos）， 2<< 2（）若 ab，求 ； （）求 ab的最

8、大值23. (2006 湖北理) 设函数 f (x) a (b c) ，其中向量 a (sin x, cosx) ， b (sin x, 3cos x)c （ cos x,sin x） ，x R。 （）、求函数 f（x） 的最大值和最小正周期；（）将函数 f （ x）的图像按向量 d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点 成中心对称，求长度最小的 d 。24（ 2004湖北文、理） 如图，在 RtABC 中，已知 BC=a.若长为 2a 的线段 PQ以点 A 为中点，问 PQ与BC的夹 角取何值时 BP CQ 的值最大？并求 出这个最大值 .25、（2002全国新课程文、 理，天津文、理）已知

9、两点 M 1,0 ,N 1,0 ，且点 P MP MN ，PM PN ，NM NP成公差小于零的等差数列（1）点 P的迹是什么曲线？（2）若点 P坐标为 （x0,y0），记 为PM 与PN 的夹角，求 tan 。26（. 2006陕西理）如图,三定点 A（2,1）,B（0,1）,C（2,1）; 三 动点 D,E,M 满足ADDM=t DE, t0,1.（） 求动直线 DE斜率的变化范围 ;（）求动点 M的轨迹方程 .27、（10分） 已知ABC三个顶点的直角坐标分别为 A（3，4） 、B（0，0） 、C（c，0）（1） 若 AB AC 0，求 c的值；（2） 若c 5，求 sin A的值28、

10、（ 12分）在 ABC中，角 A，B，C的对边长分别为 a， b， c，tan C 3 7 （ 1）求 cosC ；5 2 2（2）若CB CA，且 a b 9，求 a2 b2229、（ 12 分）已知向量 a（sin，1），b（1，cos），2<<2 （1）若 a b，求 ；（2）求ab的最大值30 、( 12 分 ) 已 知 A,B,C 是 三 角 形 ABC 三 内 角 ， 向 量 m 1, 3 ,n cos A,sin A ，且 m n 1()求角 A ； ()若 12 sin 2B23，求 tanB.cos2 B sin2 B31、（ 12 分）设向量 a （ sinx，

11、 cosx） ， b（ cosx，cosx） ，xR，函数 f（x） a·（a b）.（）求函数 f（x）的最大值与最小正周期； （）求使不等式 f（x） 3 成立的 x 的取值集。232 、( 12 分 ) 设 函 数 f(x) a (b c) ， 其 中 向 量 a ( s i nx , cxo，s b (sin x, 3cos x)， c ( cos x,sin x)， x R。（）、求函数 f （x） 的最大值和最小正周期；（）、将函数 f （x） 的图像按向量 d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成 中心对称，求长度最小的 d 。33.在 ABC 内求一点 P，使 AP2

12、 BP2 CP2 的值最小34. 若 O是 ABC内一点，则 SOBC·OA SOCA·OB SOAB·OC=O35. 如图，设 G 为OAB 的重心，过 G 的直线与 OA，OB 分别交于 P 和 Q，已 知OP =hOA , OQ =k OB ,OAB 与 OPQ的面积分别为 S和 T。求证：111) 1 +1 =3； hk4S 12) 4ST 1S。 9236设函数 f(x)=a· b，其中向量 a=(2cosx，1)，b=(cosx， 3sin2x)，x R.()若 f(x)=1 3 且 x ， ，求 x；33()若函数 y=2sin2x 的图象

13、按向量 c=(m ，n)(|m|< )平移后得到函数 y=f(x) 2 的图象，求实数 m、n 的值 .37.已知 ABC中，三内角 A，B，C成等差数列， m (1 cos 2 A, 2sin C) n (tan A,cos C ) ()若 m n,判断 ABC的形状 ； () 求 m n取得最大值时， ABC三内角的大小 38已知 ABC的面积 S满足 3 S 3，且AB BC 6，AB与 BC的夹角为 ()求 的取值范围；()求函数 f( ) sin 2 2sin cos 3cos2 的最小值39已知向量 a (cos ,sin ),b (cos ,sin ), a b 2 5 5

14、 ()求 cos( ) 的值；()若 0 ,0，且 sin5 ，求 sin 的值2 2 1340、已知向量 a=(2，2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 3 ，且 a ·b = 2，(1)求 4向量 b ；(2)若 t (1,0)且b t,c (cosA,2cos2 C) ，其中 A、C是 ABC 的内2角，若三角形的三内角 A、B、C依次成等差数列，试求 |b + c |的取值范围 .41. 已知 a,b,c (0, ) ,试用向量方法求函数 f(x) x2 a2 (c x)2 b2 的最小 值。42. 已知二次函数 f(x)对任意 xR，都有 f(1x)=f(1x)成立，设向量

15、 a =(sinx,2)， 1b=(2sinx,2)，c=(cos2x,1)，d=(1,2)，当x0,时，求不等式 f(a·b)>f(c·d) 的解集.43. ABC内接于以 O为圆心， 1为半径的圆，且 3OA4OB5OC=O。求 数量积， OA·OB，OB·OC ， OC · OA；求 ABC 的面积。44、在 ABC 中内角 A、B、C所对的边长分别为 a、b、c，设 a、b、c满足条 件b2+c2-bc=a2，求 A 和 tanB 的值。45、设在 ABC 中内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列(1)求 cosAcosC 的取值范围；2)若 ABC 的外接圆半径 R=1，求的取值范围46、在 ABC 中内角 A 、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且(1)求的值。(2)若， 求 bc 的最大值。47、在 ABC 中内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，已知 a、b、c 成等比数列，且(1)求 cotA+cotC 的值；(2)设，求 a+c 的值。48. 四边形 ABCD中， AB (6,1), BC (x, y),CD ( 2, 3)(1)若 BC / DA ，试求 x与 y满足的关系式；(2)满足( 1)的同时又有