测量不确定度的合成

1、2021-11-101第三章第三章 测量不确定度的合成测量不确定度的合成 第一节第一节 测量不确定度的简单合成测量不确定度的简单合成设设 且且 相互独立，则合成标准不确定度为：相互独立，则合成标准不确定度为： 见见6.2123( ,.)nyf x x xx123,.nx x xx2221221( )( )( )( )nciiinciiifuyuxxfuyuxx2021-11-102（一）一）a类评定出的两个独立分量的合成（类评定出的两个独立分量的合成（aa合成）合成）【例例1】独立测得平面三角形角】独立测得平面三角形角a和角和角b，测了，测了6次，次，用测量结果的均值报出最终结果；求另一角用测

2、量结果的均值报出最终结果；求另一角c的标的标准不确定度。准不确定度。（仅考虑由测量的离散性带来的不确定度）（仅考虑由测量的离散性带来的不确定度）222222222180( )( )( )( )( )66( )( )( )66cccabccucuaubabs as bs as bu c2021-11-103【例例2】 用两把数字显示式千分尺对圆柱体的高和直径分别进行测量，用两把数字显示式千分尺对圆柱体的高和直径分别进行测量，反复对高和直径进行反复对高和直径进行6次测量，用次测量，用6次测量结果的均值作为高次测量结果的均值作为高和直径的最终结果，并以此作为计算体积的依据，求出报出和直径的最终结果，

3、并以此作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。（仅考虑由测量的离散性带来的不确定体积值的不确定度。（仅考虑由测量的离散性带来的不确定度）度）2()2dvh2021-11-104用数字显示式千分尺用数字显示式千分尺在重复性条件下测量在重复性条件下测量6次，次，算得：算得：10.08010.010dmmhmm2021-11-105标准差为标准差为体积的估计值为：体积的估计值为：( )0.0118( )0.0063s dmms hmm23(/2)806.8vdhmm2021-11-106在这一测量中主要的不确定度分量有：在这一测量中主要的不确定度分量有：a 直径的不确定度直径的不确定度b 高的

4、不确定度高的不确定度( )u d( )u h2021-11-107=0.0048mm=4.8m =0.0026mm=2.6m( )0.0118( )6s du dn( )0.0063( )6s hu hn2021-11-108.合成合成灵敏度系数：灵敏度系数：2210.5 3.14 10.010 10.080158.4143210.25 3.14 10.080159.5224dhvchddvcdh2()2dvh2021-11-109合成合成2221222222222( )( )( )( )( )158.41430.0048159.5220.00260.5782 0.17200.7502ncii

5、icfu yu xxvvu vu du hdh2021-11-1010圆柱体的体积为：圆柱体的体积为：0.75020.86842 0.86841.7368cuu333(806.8 1.8)806.8(1.8)(806.8 1.8806.8 1.8)0.95vmmvmmpvmm2021-11-1011练习：练习： 用三把数字显示式千分尺分别对立方体的长宽高用三把数字显示式千分尺分别对立方体的长宽高进行测量，反复对长宽高进行进行测量，反复对长宽高进行10次测量，用次测量，用10次次测量结果的均值作为长宽高的最终结果，并以此测量结果的均值作为长宽高的最终结果，并以此作为计算体积的依据，求出报出体积值

6、的不确定作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。度。vlbh2021-11-1012（二）一个（二）一个a类评定出的两个类评定出的两个b类评定出的三类评定出的三个独立分量的合成（个独立分量的合成（abb合成）合成）【例例3】用测长仪测量游泳池泳道长度】用测长仪测量游泳池泳道长度6次，次，测得数值如下：测得数值如下： 50.005 49.999 50.003 49.998 50.004 50.001（m)（测长仪的允差为（测长仪的允差为3mm，分辨力，分辨力为为1mm ）2021-11-1013算得：算得：61621150.001761()5( )0.001156iiiixxsxxsu l

7、2021-11-1014可算得可算得22222222220.003( )0.0017333( )( )( )( )0.001150.001730.00029cll aau alllu lu lu aula 2021-11-1015【例例4】测得炮弹的初速度为测得炮弹的初速度为3472.6m/秒，其秒，其不确定度为不确定度为0.8m/秒秒,可表示为：可表示为：（ab合成）合成）(3472.60.8)/vm s2021-11-1016检验炮弹的出口时的即时速度是用炮弹的出口时检验炮弹的出口时的即时速度是用炮弹的出口时3m的平均速度估计出的。其平均速度是用量程为的平均速度估计出的。其平均速度是用量程

8、为5m的高精密度长度仪和高精密度计时器测量得出的。的高精密度长度仪和高精密度计时器测量得出的。设高精密度长度仪和高精密度计时器带来的标准不确设高精密度长度仪和高精密度计时器带来的标准不确定度分量分别为（定度分量分别为（b类评定得出）：类评定得出）：99( )274 10( )187 10u lmu tslvt2021-11-1017对炮弹的在长度对炮弹的在长度l内的运行时间内的运行时间t不可能重复检不可能重复检测，所以对运行时间测，所以对运行时间t的不确定度分量只能的不确定度分量只能用用b类评定。类评定。2021-11-1018在一次实弹射击中检测：，得到数据在一次实弹射击中检测：，得到数据l

9、=3.000000012m，运行时间，运行时间t=0.000000096s。2222222222( )()( ) ()( )1( ) ()( )cvvu vu lu tltlu lu ttt 2021-11-1019（三）（三）b类评定出的两个独立分量的合成（类评定出的两个独立分量的合成（bb合成）合成）测量面粉中的水分含量，用两架精密天平分别对原样品和烘干测量面粉中的水分含量，用两架精密天平分别对原样品和烘干后分别称重。后分别称重。( (用同一架天平称有相关性）用同一架天平称有相关性）01100100%(1) 100%wwwpww2021-11-1020测量不确定度由多个分量组成。其中的一些

10、分量可测量不确定度由多个分量组成。其中的一些分量可用测量列结果的标准差表征。另一些分量可用基用测量列结果的标准差表征。另一些分量可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算。于经验或其他信息的假定概率分布估算。“经验经验的的”或或“假定概率的分布假定概率的分布”说明，不确定度评定说明，不确定度评定带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定度带有主观鉴别的成分。也就是说，测量不确定度评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关。评定与评定人员的理论知识和实践经验密切相关。所以，定义中使用了所以，定义中使用了“合理地合理地”一词。一词。2021-11-1021测量不确定度的结构测量不确定度的结构 a类评定

11、或类评定或 标准不确定度标准不确定度 合成标准不确定度合成标准不确定度 b类评定类评定 标准不确定度标准不确定度 u（当（当u无下角标时无下角标时,认为认为k=2)扩展不确定度扩展不确定度 up（p为置信概率）为置信概率） 2021-11-1022 第二节第二节 有相关关系的分量的合成有相关关系的分量的合成设设 且且有相关关系，有相关关系，则合成标准不确定度为：则合成标准不确定度为： 123( ,.)nyf x x xx123,.nx x xx2122111.( )( ) 2( ) ( ) ( , )6.9(22,24,25)nnnciijijiij iiijfffu yu xu x u x

12、r x xxxx2021-11-1023展开，令展开，令.3iifcnx3222222211223311122323132222221122331212121313132323232( ,)( ,)2( ,)( ,)(,)cjjjjuc uc uc uc c u u r x xc c u u r x xc uc uc uc c u u r x xc c u u r x xc c u u r x x2021-11-1024上述公式称为不确定度传播律上述公式称为不确定度传播律练习：练习： 展开，令展开，令.4iifcnx2021-11-1025其中其中 (6.9)1.( ,)( ,)( ) ()1

13、( ,)()()(1)( ,)(,)1( ,)1ijijijnijikijkjiijjiiju x xr x xu x u xu x xxxxxn nr x xr xxu x x2021-11-1026a类评定的不确度分量的相关系数的估计类评定的不确度分量的相关系数的估计12211()()( ,)()()1( ,)1nikijkjkijnnikijkjkkijxxxxr x xxxxxr x x 2021-11-1027（一）（一）aa相关相关【例例4】 ： 用一把数字显示式千分尺对圆柱体的高和直径进行用一把数字显示式千分尺对圆柱体的高和直径进行测量，反复对高和直径进行测量，反复对高和直径进行

14、6次测量，用次测量，用6次测量结次测量结果的均值作为高和直径的最终结果，并以此作为计果的均值作为高和直径的最终结果，并以此作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。（不考虑分辨力的不确定度分量）（不考虑分辨力的不确定度分量）（ 6.8 book 82）2()2dvh2021-11-1028用用步进量为步进量为1 1m=0.001mm的数字显示式千分的数字显示式千分尺尺在重复性条件下测量在重复性条件下测量6次，得到次，得到算得：算得：.,1,2,.6kkdhk 10.08010.010dmmhmm2021-11-1029用同一设备测量两个量，误差是同向

15、的（都用同一设备测量两个量，误差是同向的（都正或都负）；用同型号的不同设备测量两个正或都负）；用同型号的不同设备测量两个量，误差是有可能是不同向的（一正一负）；量，误差是有可能是不同向的（一正一负）；这样算出的结果更准确，其不确定度更小。这样算出的结果更准确，其不确定度更小。 (6.8)2021-11-1030标准差及相关系数为标准差及相关系数为12211( )0.0048( )0.0026()()( , )()()0.9615nkkknnkkkku dmmu hmmddhhr d hddhh2021-11-1031合成合成212211122222222( )( ) 2( ) ( ) ( ,)

16、( )( ) 2( ) ( ) ( , )158.41430.0048159.5220.00262158.4143 159.522 0.004nnnciijijiij iiijfffu yu xu x u xr x xxxxvvvvu du hu d u h r d hdhdh 8 0.0026 0.96150.5782 0.1720 0.30321.05342021-11-1032扩展不确定度扩展不确定度1.05341.102621.10262.2052cuu2021-11-1033圆柱体的体积为：圆柱体的体积为：333(806.82.3)806.8(2.3)(806.82.3806.82.

17、3)0.95vmmvmmpvmm2021-11-1034练习：练习： 用一把数字显示式千分尺分别对立方体的长宽高用一把数字显示式千分尺分别对立方体的长宽高进行测量，反复对长宽高进行进行测量，反复对长宽高进行10次测量，用次测量，用10次次测量结果的均值作为长宽高的最终结果，并以此测量结果的均值作为长宽高的最终结果，并以此作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。度。（不考虑分辨力的不确定度分量）（不考虑分辨力的不确定度分量）vlbh2021-11-1035（二）（二）ab相关相关【例例5】 ： 用一把数字显示式千分尺对圆柱体的高和直径进用一把数字显

18、示式千分尺对圆柱体的高和直径进行测量，反复对高和直径进行行测量，反复对高和直径进行6次测量，用次测量，用6次测次测量结果的均值作为高和直径的最终结果，并以此量结果的均值作为高和直径的最终结果，并以此作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定作为计算体积的依据，求出报出体积值的不确定度。（度。（book 82）2()2dvh2021-11-1036分析不确定度分量和相关关系分析不确定度分量和相关关系1.测直径测直径2.测高测高3.分辨力分辨力4.测直径与测高的相关关系测直径与测高的相关关系5.测直径与分辨力的相关关系测直径与分辨力的相关关系6.测高与分辨力的相关关系测高与分辨力的相关关系2021

19、-11-1037用同一设备测量两个量，误差是同向的（都用同一设备测量两个量，误差是同向的（都正或都负）；用同型号的不同设备测量两个正或都负）；用同型号的不同设备测量两个量，误差是有可能是不同向的（一正一负）；量，误差是有可能是不同向的（一正一负）；这样算出的结果更准确，其不确定度更小。这样算出的结果更准确，其不确定度更小。 (6.8)2021-11-1038212211122222222( ,)( )2( , )2( , ) 2( , )nnnciijijiij iiijcdhdhdhfffuuu u r x xxxxvvvu vuuudhvvu u r d hdhvvvvu u r du u

20、 r hdh 2021-11-1039理论证明相关系数不大于理论证明相关系数不大于1。当不确定度分量是当不确定度分量是b类评定出来的。那么从经验上类评定出来的。那么从经验上判定，若从经验上判定认为无关，相关系数取判定，若从经验上判定认为无关，相关系数取0；若从经验上判定认为相关，相关系数取若从经验上判定认为相关，相关系数取1；2021-11-10402222222( )2( , )22cdhdhdhvvvu vuuudhv vu u r d hdhv vv vu uu udh2021-11-1041其中其中圆柱体的体积为：圆柱体的体积为：333(806.82.6)806.8(2.6)(806.

21、82.6806.82.6)0.95vmmvmmpvmmvvvdh2021-11-1042（三）（三） bb相关相关测量面粉中的水分含量，用一架精密天平分别对原样测量面粉中的水分含量，用一架精密天平分别对原样品和烘干后分别称重。品和烘干后分别称重。22222010101010101( )()()2()() (,)(,)1cppupuwuwwwppu wu wr w wwwr w w2021-11-1043当两个用当两个用b类方法评定出的不确定度时，如果研究相类方法评定出的不确定度时，如果研究相关关系很困难，其相关系数取关关系很困难，其相关系数取1。进行测量不确定度评定中除非确有必要，一般应尽进行

22、测量不确定度评定中除非确有必要，一般应尽可能避免处理相关性可能避免处理相关性。(认可规则认可规则 测量不确定度政测量不确定度政策策4.4.2)2021-11-1044由上述分析可知，被测量之值的测量结果的总不确由上述分析可知，被测量之值的测量结果的总不确定度，可以通过合成所有有贡献的分量的不确定定度，可以通过合成所有有贡献的分量的不确定度求出。因为每一次独立的仪器读数或测量值都度求出。因为每一次独立的仪器读数或测量值都可能受若干因素的影响，可能受若干因素的影响，因此，对检测因此，对检测/校准中所包含的每一项测量都要仔细校准中所包含的每一项测量都要仔细考虑，以识别出所有对不确定度有贡献的因素。考

23、虑，以识别出所有对不确定度有贡献的因素。这要求不确定度评定人员对测量原理、测量设备这要求不确定度评定人员对测量原理、测量设备和环境条件有良好的理解，这是不确定度评定至和环境条件有良好的理解，这是不确定度评定至关重要的第一步。关重要的第一步。 2021-11-1045 第三节第三节 计算最佳估值的两种方法：计算最佳估值的两种方法：所谓最佳估值是指被测量（输出量）所谓最佳估值是指被测量（输出量）y的估计值的估计值y。 如果被测量如果被测量y的估计值为的估计值为y，输入量，输入量xi的估计值的估计值为为xi，则有，则有: yf(x1，x2，xn) 可以用两种方法用输入量可以用两种方法用输入量x1，x

24、2，xn的估的估计值计值x1，x2，xn求取被测量求取被测量y的最佳估值的最佳估值y。 方法方法1）方法方法2）121111(,)nnkkknkkkyyyf xxxnn12( ,)nyf x xx2021-11-1046当当y是是xi的线性函数时，两种方法的结果相同。当的线性函数时，两种方法的结果相同。当y是是xi的非线性函数时，建议采用方法的非线性函数时，建议采用方法1）求取被测）求取被测量量y的最佳估值的最佳估值y。2021-11-1047第四节第四节 测量不确定度评定的步骤测量不确定度评定的步骤1 确定被测量和测量方法确定被测量和测量方法 包括测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量包括测

25、量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。程序和数据处理等。2 建立数学模型建立数学模型 确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对确定被测量与各输入量之间的函数关系。如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特别加以说明，如环境因素的影响。中，应特别加以说明，如环境因素的影响。3 求被测量的最佳估计值求被测量的最佳估计值 不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而不确定度评定是对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理解为被测量之值的最佳估计值。确测量结果应理解为被测量之值的最佳估计值。确定不确定度的各种来源。定不确定度的各种来

26、源。2021-11-10484 确定各输入量的标准不确定度确定各输入量的标准不确定度 包括不确定度的包括不确定度的a类评定和类评定和b类评定。类评定。5 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不确定度的贡献不确定度的贡献 由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应然后由输入量的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。的标准不确定度分量。6 求合成标准不确定度求合成标准不确定度 利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定

27、度分量进行合成。分量进行合成。2021-11-10497 求扩展不确定度求扩展不确定度 根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合成标准不确包含因子，由合成标准不确 定度计算扩展不确定度。定度计算扩展不确定度。8 报告测量结果的不确定度报告测量结果的不确定度2021-11-1050建立物理模型（确定测量方案）建立物理模型（确定测量方案） 评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物评定之前，评定人员首先应当对测量过程及其物理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道理模型有详尽和充分地了解。也就是说，要知道我们需要我们需要测量什么？如何测量？

28、为什么这样测量？测量什么？如何测量？为什么这样测量？ 不确定度评定最重要的观念之一是，要对测量不确定度评定最重要的观念之一是，要对测量过程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了过程，从而对测量不确定度主要来源有详尽的了解。对不确定度来源的识别，要从仔细分析测量解。对不确定度来源的识别，要从仔细分析测量过程开始。这要求测量系统的设计人员和试验人过程开始。这要求测量系统的设计人员和试验人员，需要采用各种方法对测量程序和测量系统做员，需要采用各种方法对测量程序和测量系统做详细研究。详细研究。2021-11-1051这些方法包括测量流程图、计算机模拟、重复测量这些方法包括测量流程图、计算机模拟、重复测

29、量或交替测量，与其他方法比较等等。这意味着，或交替测量，与其他方法比较等等。这意味着，测量系统的设计人员或熟练操作人员是最适合进测量系统的设计人员或熟练操作人员是最适合进行不确定度评定实践的。行不确定度评定实践的。2021-11-1052建立数学模型建立数学模型所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型（测量方案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。模型化，以确定被测量与有关量之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要一个被测量可能依赖若干个有关量，为此

30、，先要识别出所识别出所 有被测的输入量，然后通过数学模型有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（函数关系），用所有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。只有评定了所有各输入量的（最终的待测量）。只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确不确定度，才能给出被测量值（输出量）的不确定度。定度。 建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的不确定度主要来源。出了被测量值的不确定度主要来源。 2021-11-1053在多数情况下，被测量在多数情况下，被测量y y（输出量）不能直接测得，（输出

31、量）不能直接测得，而是由而是由n n个其他量个其他量x x1 1，x x2 2，x xn n通过函数关系通过函数关系f f来来确定：确定： y=f(xy=f(x1 1，x x2 2，x xn n) )式中式中x xi i是对是对y y的测量结果的测量结果y y产生影响的影响量（即输产生影响的影响量（即输入量）。上式称为测量模型或数学模型，或称为入量）。上式称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。输出量测量过程数学模型。输出量y y的输入量的输入量x x1 1，x x2 2，x xn n本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正

32、值，从而可能导出一个包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数十分复杂的函数关系式，以至函数f f不能用显式表不能用显式表示。示。y y也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出。上式也可能简单到程给出。上式也可能简单到y=xy=x1 1+x+x2 2，甚至，甚至y=xy=x。 2021-11-1054数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、数学模型往往不是惟一的，通常取决于测量方法、测量仪器、环境条件等。测量仪器、环境条件等。 数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长数学模型在建立之初，可能不够完善，通过长期测量实践，

33、可对数学模型进行修正，使其不断期测量实践，可对数学模型进行修正，使其不断完善。完善。 2021-11-1055对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入分对于初学者，通过对测量过程和测量系统的深入分析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：析研究，列出不确定度评定所需的信息，包括：首先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。首先必须确定你需要测量什么，如何进行测量。也就是说，确定被测量和描述测量过程：也就是说，确定被测量和描述测量过程：给出测量原理框图，明确测量参数；给出测量原理框图，明确测量参数；给出测量仪器给出测量仪器/测量标准技术指标，并列出其计量测量标准技术指标，并列出其计量特性；特性；

34、描述被测物品技术指标；描述被测物品技术指标；2021-11-1056列出测量依据的技术标准列出测量依据的技术标准/规范规范/规程；规程；描述测量方法；描述测量方法；说明测量过程和环境；说明测量过程和环境；不确定度评定中需要说明的其他信息。不确定度评定中需要说明的其他信息。2021-11-1057表表3.1 测量误差与测量不确定度的主要区别测量误差与测量不确定度的主要区别 序号序号测量误差测量误差测量不确定度测量不确定度 1测量结果减去被测量的真值，是测量结果减去被测量的真值，是具有正号和负号的量值。具有正号和负号的量值。用标准偏差或其倍数的半宽度用标准偏差或其倍数的半宽度(置置信区间信区间)表示，并需要说明置信概表示，并需要说明置信概率。无符号参数（或取正号）。率。无符号参数（或取正号）。 2