专题复习——数列(基础篇)

1、我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯1专题复习专题复习数列（基础篇）数列（基础篇） 一、知识点导读1. 等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，成等差数列2Axy前n项和11122nnaann nSnad性质： na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列仍为等差数列，232nnnnnSSSSS， 仍为等差 12212,nnnaaa数列，公差为；dn2（3）若三个成等差数列，可设为adaad，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5） na为等差数列2nS

2、anbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出 na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值. 当100ad，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值. (6)项数为偶数的等差数列 na，有n2),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS，.ndSS奇偶1nnaaSS偶奇我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯2（7）项数为奇数的等差数列 na，有12 n，)() 12(12为中间项nnnaanS ，.naSS偶奇1n

3、nSS偶奇2. 等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q ），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy .前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意！）性质： na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS， 仍为等比数列,公比为.nq注意注意：由nS求na时应注意什么？1n 时，11aS；2n 时，1nnnaSS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na，12211125222nnaaan ，求na解解 1n 时，112 1 52a ，114a 2n 时，1212111121 522

4、2nnaaan 得：122nna ，12nna，114(1)2(2)nnnan（2）叠乘法我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯3 如：数列 na中，1131nnanaan，求na解解 321211 212 3nnaaanaaan ，11naan又13a ，3nan.（3）等差型递推公式由110( )nnaaf naa，求na，用迭加法2n 时，21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)( )naafff n 0(2)(3)( )naafff n （4）等比型递推公式1nnacad（cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数

5、列，设111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法如：11212nnnaaaa，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa1na为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna ，21nan附：我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯4公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比1(2)1(1)nnSSnS nna或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、1nnapaq1( )nnapaf n换元

6、法4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： na是公差为d的等差数列，求111nkkka a解：解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa 11111ndaa（2）错位相减法若 na为等差数列， nb为等比数列，求数列nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为 nb的公比. 如：2311234nnSxxxnx 23412341nnnx Sxxxxnxnx 2111nnnx Sxxxnx 1x 时，2111n

7、nnxnxSxx，1x 时，11232nn nSn （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121nnnnnnSaaaaSaaaa 相加 12112nnnnSaaaaaaa.用倒序相加法求数列的前 n 项和我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯5如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序

8、相加法”。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前 n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前 n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求

9、数列的前 n 项和迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前 n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前 n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和

10、。二、经典例题1.已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a = （ ）A. 21 B. 22 C. 2 D.2 2.已知为等差数列，则等于（ ）A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项, 832S ,则10S 等于（ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4 设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7S等于（ ）我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯6A13 B35 C49 D 63 5.已知 na为等差数列，且7a24a

11、1, 3a0,则公差 d（ ）（A）2 （B）12 （C）12 （D）26.等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10 项之和是（ ） A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907. 等差数列9,27,39,963741前则数列中nnaaaaaaaa项的和9S等于（ ） A66 B99 C144 D2978. 在公比为整数的等比数列 na中，如果,12,183241aaaa那么该数列的前8项之和为（ ）A513 B512 C510 D82259.等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m （ ）（A）38 （

12、B）20 （C）10 （D）9 . 10.设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a 成等比数列，则 na的前n项和nS=（ ） A2744nn B2533nn C2324nn D2nn11.等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前 10 项之和是（ ） A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 12、等比数列 na的各项均为正数，且564718a aa a，则3132310loglog.logaaa（ ）A12 B10 C31 log 5 D32log 5我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯

13、习惯7 二、填空题二、填空题1 设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 2. 已知数列 na是等差数列，若471017aaa,45612131477aaaaaa且13ka ,则k _。3.在等差数列na中,6, 7253aaa,则_6a.4.等比数列na的公比0q , 已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S= . 5、数列是等差数列，则_na47a 7s 6、在正项等比数列 na中，153537225a aa aa a，则35aa_。7、若等差数列 na中，37101148,4,aaaaa则13_.S三、解答题1成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数

14、之积为40，求这四个数。2在等差数列 na中, , 1 . 3, 3 . 0125aa求2221201918aaaaa的值。3、已知数列 na的前n项和nnS23，求na4、在等比数列，已知，求. na51a100109aa18a我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯85、在等比数列，已知，求. na51a100109aa18a6、设an是等差数列，1( )2nanb ，已知 b1+b2+b3=821，b1b2b3=81，求等差数列的通项 an.7、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数： na（1）求 n 及； （2）151,5,66nadS na12,15,10,nndnaaS 求及8、已知数列bn前 n 项和为 Sn，且 b11，bn1 Sn.13(1)求 b2，b3，b4的值；(2)求bn的通项公式；(3)求 b2b4b6b2n的值我们致力于培养孩子一辈子的能力我们致力于培养孩子一辈子的能力习惯习惯99、已知 na是首项为 19，公差为-2 的等差数列，nS为 na的前n项和.（）求通项na及nS；（）设nnba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb的通项公式及其前n项和nT.10、已知等差数列 na满足：37a ，5726aa， na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=