几何变换之对称

1、几何变换之对称轴对称图形等腰三角形【例 1】 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求三角形三个内角的度数【巩固】已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数【例 2】 (08年宣武初三一模考试)已知中，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）. 【巩固】在中，若过一个顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数【巩固】(08年大兴初三一模考试)已知菱形中，请设计两种不同的分法，将菱形分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标

2、出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.【例 3】 是一个钢架，在其内部添加一些钢管，添加的钢管长度都与相等当添加到第五根钢管时，求的度数假设、足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由如果不能，则最多能添加几根? 【巩固】(初二第届希望杯试)如图，中，是的平分线，是的平分线，是的平分线，求. 【例 4】 中，试比较与的大小【巩固】已知中，点、在上，且，求.【例 5】 中，试比较与的大小【巩固】已知中，点、在上，且，求.【例 6】 在正方形所在平面上找一点，使是等腰直角三角形，这样

3、的点你能发现几个?请作出这些点【巩固】如图，在正方形所在平面上找点,使、同时为等腰三角形，这样的点你能发现几个?请作出这些点【巩固】把正方形改成正三角形已知如图，在正所在平面上找点使、同时为等腰三角形，作出这些点【例 7】 如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点、之间存在着怎样的数量关系? 【巩固】如图，点为正三角形内任意一点，于点，于点，于点，于点、之间存在怎样的数量关系? 【例 8】 点为正三角形外的一点，且于点，于点，于点，于点此时、之间存在怎样的数量关系?【巩固】为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，如图，求证： 轴对称与折叠问题【例 9】 (0

4、9甘肃省兰州市)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是 ABCD【例10】 如图所示，为的中线，把沿对折，点落在点的位置，则和之间的数量关系为_【巩固】（2004南平）已知：如图，在ABC中，BC=8，AD是BC边上的高，D为垂足，将ABC折叠使点A与点D重合，则折痕EF的长为_【例11】 如图，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，如果，求的长【巩固】（09湖南衡阳）如图，矩形纸片中，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（ ）ABCD【例12】 如图，矩形纸片，沿对角线折叠（使和落在同一平面内），求和重叠部分的面积【例13】 （09浙江义乌）如图，在矩形中，

5、点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点、为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原 当，折痕的长为 ；当点与点重合时，折痕的长为 ； 求出当时四边形的周长；温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！ 【例14】 （09福建省莆田市）如图，把矩形沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处若、，请写出、之问的一个等量关系_ (09湖北荆门)如图，中，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则( ) ABCD（09河北）如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 几何证明中的轴对称【例15】 已知等腰直角中，是角平分线，交延长线于点求证

6、：【例16】 在中，平分，为垂足，为的中点，求证： 【例17】 在中，为边的中点，于点，交于点，求证： 【巩固】在中，是的平分线是上任意一点求证： 【巩固】如图所示，在中，是边上的高，点在内部，求证：. 【例18】 在中，为内部一点，求的度数. 【例19】 如图所示，在四边形中，求证：. 【巩固】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求三角形三个内角的度数【巩固】(08年宣武初三一模考试)已知中，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）. 【巩固】(2001年河南省中考题)在

7、中，平分，求：的值 【巩固】已知正方形的面积是，是正方形外一点，是等腰直角三角形，求.【例20】 (第24届澳大利亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，为三角形内一点，求证：.【例21】 （年学而思杯）如图：、三点在同一条直线上，三角形和三角形是顶角相等的等腰三角形，其中和为等腰三角形的底边，是的中点，是边的中点，是边的中点 求证：； 求证：【巩固】如图所示，已知在中，的平分线交于，求 之长【巩固】如图所示，在中，为的中点，是边上的点，求的面积与的面积的两倍的和【例22】 (2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角【例23】 如图

8、所示，为边上的一点，且，已知，试求的度数.【例24】 如图所示，在四边形中，求四边形的面积.【巩固】在凸四边形中，,.如果厘米，求四边形 的面积.【例25】 (第3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，、为的两条高，求证：.【例26】 (1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.【例27】 (2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设是凸四边形的边的中点，求证：.【例28】 (1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在四边形中，求证：(1) ；(2) .【例29】 如图所示，为边上的一点，且，已知，试求的度数.【巩固】如图，已知，线段、分别平分、，、为垂足，求证： 【例30】 已知在中，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：【例31】 如图，已知，求证：【例32】 如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：【例33】 如图，在中，的平分线交于，过作，垂