含参量反常积分

1、2021年年11月月10日日星期三星期三1一、一、 含参量反常积分的一致收敛性含参量反常积分的一致收敛性 二、含参量反常积分一致收敛性的判别二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质三、含参量反常积分的性质2021年年11月月10日星期三日星期三2本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对性。下面只对无穷限积分讨论无穷限积分讨论，无界函数的情无界函数的情况可类似处理。况可类似处理。)(,),(为瑕点bdxyxfba2021年年11月月10日星期三日星期三3定义在无界区域定义在无界区域设函

2、数设函数),(yxf,| ),( ycIxyxR反反常常积积分分若若对对于于每每一一个个固固定定的的, Ix cdyyxf),(),(,xIx记记这这个个函函数数为为的的函函数数则则它它是是都都收收敛敛IxdyyxfxIc ,),()(上上的的称称为为为为定定义义在在 I,的的无无穷穷限限反反常常积积分分含含参参量量 x简简称称.反反常常积积分分含含参参量量上上，2021年年11月月10日星期三日星期三4反反常常积积分分即即对对, Ix cdyyxfxI),()(都收敛，都收敛，,),(, 0cxN 即即 | )(),(|xIdyyxfMc其中其中 N 与与 x 有关有关. 无无关关的的如如果

3、果存存在在一一个个与与Ix ),( N使得该不等式成立，使得该不等式成立，一致收敛一致收敛.设反常积分设反常积分 cdyyxfxI),()(在在 I上上 收敛收敛,使得使得,NM 由反常积分收敛的定义，由反常积分收敛的定义，)(),(limxIdyyxfMcM 就称反常积分在就称反常积分在I上上2021年年11月月10日星期三日星期三5，都有，都有对对Ix | )(),(|xIdyyxfMc则则称称含含参参量量反反常常积积分分 cdyyxf),(.上上一一致致收收敛敛或或含含参参量量积积分分在在 I),(xII一一致致收收敛敛于于在在, 0cN 若若,时时当当NM 定义定义1 1.|),(|

4、Mdyyxf cdyyxfxI),()(所以定义中的不等式所以定义中的不等式由于由于也可表示为也可表示为2021年年11月月10日星期三日星期三6 上一致收敛上一致收敛在在含参量反常积分含参量反常积分Idyyxfc),(，cM , 0 ，都有，都有对对Ix |),(|21AAdyyxf首页首页19.7(定理一致收敛的柯西准则）时，时，使得当使得当MAA 21, 上一致收敛上一致收敛在在含参量反常积分含参量反常积分Idyyxfc),(. 0)(lim AFA.),(sup)(x AIdyyxfAF其中其中定理定理19.819.82021年年11月月10日星期三日星期三7但在但在）上一致收敛（其中

5、）上一致收敛（其中，在在),0 ）内不一致收敛。）内不一致收敛。，（ 0 |dsin|Ayyxy分析分析要证：要证：时，时，使得当使得当NAN , 0, 0 ，都有，都有对对), x0sin xydyy证明含参量反常积分例例1.首页首页2021年年11月月10日星期三日星期三8证证:令令 u = x y , 得得 AxAuuuyyxydsindsin其中其中 A 0. 由于由于 0dsinuuu收敛，故收敛，故时，时，当，当MAcM , 0 有有 |dsin|Auuu取取 ，MA 则当则当，NA时时 ，MN 首页首页 0sindyyxy），在在 所以所以一致收敛一致收敛. |dsin|dsin

6、|AxAuuuyyxy从而从而，对对) ，x ，MAAx 2021年年11月月10日星期三日星期三9首页首页. 0)(lim AFA从而从而.0）内不一致收敛）内不一致收敛，再证在（再证在（ AdyyxyAFsinsup)(),0(x Axduuusinsup),0(x 0sinduuu.2 .0sin0）内不一致收敛）内不一致收敛，在（在（ dyyxy2021年年11月月10日日星期三星期三10 .), 0(20)(),)1( 0内不一致收敛内不一致收敛）在）在（；其中其中上一致收敛上一致收敛在在试证试证 dyxexy练习1练习1AxAxyAxyeedyxe )1(证：证：AxxAxyxed

7、yxeAF ),),supsup)( .),0上一致收敛上一致收敛在在 xyxe.Ae , 0)(lim AFAAxxAxyxedyxeAF ),0(),0(supsup)()2(. 1 .), , 0(0上不一致收敛上不一致收敛在在 xyxe, 0)(lim AFA2021年年11月月10日星期三日星期三11关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理收敛之间的联系有下述定理. . 上一致收敛上一致收敛在在含参量反常积分含参量反常积分Idyyxfc),(定理定理19.919.9，其中其中的递增数列的递增数列对任一趋于对任一趋

8、于)(1cAAn 函数项级数函数项级数)(),(111xudyyxfnnnAAnn .上上一一致致收收敛敛在在I2021年年11月月10日星期三日星期三12M魏尔斯特拉斯判别法).,),(),( cyIxygyxf ccyyxfdyygd),(,)(则则收敛收敛若若使使得得设设有有函函数数),(yg.上上一一致致收收敛敛在在I2021年年11月月10日星期三日星期三13.),(上上一一致致收收敛敛在在 证证因为，有因为，有并且反常积分并且反常积分dxx 0211收敛收敛所以所以dxxxy 021cos.),(上上一一致致收收敛敛在在 2211|1cos|xxxy y证明含参量反常积分dxxxy

9、 021cos例例22021年年11月月10日日星期三星期三14 0.)0(dsin一致收敛一致收敛、试证、试证ycxxeyx练习2练习2.0 ,sin: xycexecxyx证证 0.,1d收敛收敛又又cxecx 0.)0(dsin一致收敛一致收敛ycxxeyx2021年年11月月10日星期三日星期三15Abel 判别法和判别法和Dirichlet判别法判别法(A-D判别法判别法）上一致收敛：上一致收敛：在在两个条件之一，则两个条件之一，则满足如下满足如下设含参量反常积分设含参量反常积分I dy x,ygx,yfIx x,ygx,yfcc)()()()dy()( ;),( 上一致收敛上一致收

10、敛在在Idyyxfc .),(上上一一致致有有界界单单调调，且且在在关关于于对对IyIxyxg ；单调，且一致收敛于单调，且一致收敛于关于关于对对0),(yIxyxg ;),(,上一致有界上一致有界在在含参量积分含参量积分IdyyxfcNNc （AbelAbel判别法）判别法） （DirichletDirichlet判别法）判别法） 2021年年11月月10日星期三日星期三16., 0上上一一致致收收敛敛在在d收敛，收敛，证证因为，反常积分因为，反常积分dxxx 0sin从而对于参量从而对于参量 y 它在它在 0, d 上一致收敛，上一致收敛，函数函数xyeyxg ),(对每个对每个 y 0,

11、 d ，关于变量，关于变量 x 0,0, 1| ),(| xdyeyxgxy单调减少，且单调减少，且 g (x,y)一致有界一致有界,即：即：故由阿贝尔判别法故由阿贝尔判别法，知，知dxxxxy 0sine在在 0, d 上一致收敛上一致收敛证明含参量反常积分dxxxxy 0sine例例 3首页首页2021年年11月月10日日星期三星期三17 )0(dcos1 为常数为常数证证pxxxepyx: :练习3练习3 .)0,上一致有界上一致有界在在0,)1()2(一致收敛于一致收敛于且对且对单减单减关于关于yxxxepyc .0上一致收敛上一致收敛在在 y 2sin1sin|dcos| , 1)1

12、(:1，证证 NxxNN.0)10( ppyxxxe由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法， dcos1 xxxepyx.0上一致收敛上一致收敛在在 y2021年年11月月10日星期三日星期三18 cdyyxfxI),()(三、含参量反常积分的性质三、含参量反常积分的性质),(yxf定理定理 19.10（连续性）（连续性） 设设在在), cI上连续，上连续，上上一一致致收收敛敛，在在I上上连连续续。在在则则IxI)(首页首页000lim( , )(, ) lim( , )ccxxcxxf x y dyf xy dyf x y dy注注: 此定理表明此定理表明, 在一致收敛的条件下极限运在一致收敛的条

13、件下极限运 算与算与积分运算可以交换顺序积分运算可以交换顺序:2021年年11月月10日星期三日星期三19首页首页上上收收敛敛，在在若若IdyyxfxIc ),()(上上一一致致收收敛敛，在在Idyyxfcx ),( cxdyyxfxI),()(在在区区域域与与设设),(),(yxfyxfx定理定理 19.11注注: 最后结果表明在定理条件下，求导运算和最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换顺序积分运算可以交换顺序.), cI上上可可微微，且且在在则则IxI)(上连续，上连续，2021年年11月月10日星期三日星期三20且且 cbacbaxdyxfdydyyxfdx),(),(首

14、页首页 cdyyxfxI),()(定理定理 19.12（可积性）（可积性） ),),( cbayxf在在设设上连续，上连续，上上一一致致收收敛敛，在在,ba上上可可积积，在在则则,)(baxI注注: 此定理表明此定理表明, 在一致收敛的条件下积分可以交在一致收敛的条件下积分可以交换顺序。换顺序。2021年年11月月10日星期三日星期三2113.19定定理理.),),上连续上连续 ca在在设设),(yxf axyxfd),(上上一一致致收收敛敛，在在任任何何闭闭区区间间关关于于,dcy cayyxfdxd| ),(| cyyxfd),(上上一一致致收收敛敛，在在任任何何闭闭区区间间关关于于,ba

15、x积分积分与与 caxyxfdyd| ),(|中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且 cacaxyxfdyyyxfdxd),(d),(2021年年11月月10日日星期三星期三22sinsinbxaxxcos,baxydy0sinsin pxbxaxIedxx0cosbpxaexydy dx0cosbpxadxexydy解解2021年年11月月10日日星期三星期三23,M 根据判别法0cos , ,pxexydxa b知在上一致收敛cos0,) , ,pxexya b 由于在上连续0cosbpxaIdyexydx22bapdypyarctanarctan.bap

16、p0cospxpxpxexyeedx由于及反常积分收敛，于是，可交换积分顺序，于是，可交换积分顺序，2021年年11月月10日日星期三星期三240sinpxaxedxxarctan, (0)app( )F p ,:由阿贝尔判别法 可知( )0F pp在上连续,0sin(0)axdxFx0lim( )pF p0lim arctanpapsgn .2a解：解：在例在例4 4中令中令b= =0, ,则有则有 0.0dsin时一致收敛时一致收敛在在的反常积分的反常积分含参量含参量pxxaxeppx（狄利克雷积分）（狄利克雷积分）2sin0 xx2021年年11月月10日日星期三星期三25:解(,),:

17、r 有22cos,xxerxe20 xedx而收敛,20cos (,).xerx dxr 在内一致收敛20cos xrerxdx又(,),0,:rx 由于有22sinxxxerxxe20 xxedx而收敛,20sin (,).xx erx dxr 在内一致收敛20( )cos.xrerxdx计算例例6 0.dsin)(2xrxexx2021年年11月月10日日星期三星期三26( ) r20sin xx erx dx20limsin AxAx erx dx220011limsincos 22AAxxAerxrerx dx20cos 2xrerx dx ( )2rr :解方程( )( )2rrr

18、20(0) xedx224: ( ).2rre得20 2xedx此结论在第21章2021年年11月月10日日星期三星期三27 . 02dxxeeIxx 计算计算练习4练习4,d 212 texeetxxx因因解：解： dd 21 0 txeIxt .)dd( 210 xteIxt 故故上连续，上连续，在在又因又因), 02 , 1 xte , xxtee . 1 0 dxex.2 , 1 d0上一致收敛上一致收敛在在关于关于txetx d121 tt 210dttetx. 2ln 2021年年11月月10日星期三日星期三28含参量无界函数非正常积分含参量无界函数非正常积分设设),(yxf,dcba 在在上有定义上有定义. 若对若对 x