复变函数绪论稿

1、1 2009, Henan Polytechnic University1 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域函数论是数学研究中的一个十分重要的领域. .其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数）, ,我们这门课就是介绍一下复变函数论我们这门课就是介绍一下复变函数论. .2 2009, Henan Polytechnic University2复变函数的产生和

2、发展简史：复变函数的产生和发展简史： 1545 1545 年，年， 意大利数学家怪杰卡意大利数学家怪杰卡丹诺在大术丹诺在大术（Ars MagnaArs Magna）中，介）中，介绍绍了解三次方程的方法了解三次方程的方法，首先研究了，首先研究了虚数，并进行了一些计算虚数，并进行了一些计算. . 1572 1572 年，年， 意大利数学家邦贝利意大利数学家邦贝利在代数（在代数（L LAlgebraAlgebra）一书中探）一书中探究了这类新数的运算法则，并进行了究了这类新数的运算法则，并进行了实际意义上的运算实际意义上的运算. . 解方程解方程 卡丹诺公式卡丹诺公式： 232333223223nn

3、mnnmx3.xmxn3 2009, Henan Polytechnic University3 1637 1637年，法国数学家笛卡尔正年，法国数学家笛卡尔正式开始使用式开始使用“实数实数”、“虚数虚数”这这两个名词两个名词. . 同一时期，德国数学家莱布尼茨和法同一时期，德国数学家莱布尼茨和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果到很多有价值的结果.4 2009, Henan Polytech

4、nic University4 1777 1777年，瑞士数学家欧拉系统地建立年，瑞士数学家欧拉系统地建立了复数理论了复数理论. 在几何方面：在几何方面：17971797年，挪威年，挪威数学家维塞尔最先数学家维塞尔最先提出提出复数复数的的几何解释几何解释. .实轴实轴虚轴虚轴Oa + bir= r (cos + i sin )5 2009, Henan Polytechnic University5 1831 1831年年, ,德国数学家高斯在德国数学家高斯在哥庭根学报上详细说明了复哥庭根学报上详细说明了复数数 a+bi表示成平面上的一个点表示成平面上的一个点( (a，b) )，从而明确了复平

5、面从而明确了复平面 的概念的概念, ,他又将表示平面点的直角坐标与他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合极坐标加以综合, ,统一于表示同一统一于表示同一复数的二种表示形式复数的二种表示形式复数的复数的代代 数形式及三角形式数形式及三角形式之中之中. .此外，高此外，高斯还给出了斯还给出了”复数复数”这个名称这个名称, ,由由于高斯的卓越贡献于高斯的卓越贡献, ,后人常称复数后人常称复数平面为高斯平面平面为高斯平面. .实轴实轴虚轴虚轴Oa + bir= r (cos + i sin )6 2009, Henan Polytechnic University6复变函数复变函数的引入的引入：

6、1748 1748 年，年，欧拉发现欧拉发现了了复复指指数函数数函数和三角函和三角函数数的的关关系系，并写并写出以下公式：出以下公式： 1777 1777年，在他的著作年，在他的著作微分公式微分公式中，首次使中，首次使用用i 来来表示表示虚数虚数. . 他他创立创立了了复变函数论复变函数论，并并把它把它们们应应用到水力用到水力学学、地图制图学地图制图学上上. . cossinixexix7 2009, Henan Polytechnic University7欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱. 1777 1777年年3 3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一月，欧拉向

7、彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：( ),( )( , )( , )f z dzf zu x yiv x y 其其中中满满足足方方程程,uvuvxyyx 其实比欧拉更早，法国数学家达朗其实比欧拉更早，法国数学家达朗贝尔在贝尔在17521752年关于流体力学论文中年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，故有的教科已经得到这两个方程，故有的教科书称这两个方程为书称这两个方程为达朗贝尔达朗贝尔- -欧拉欧拉方程方程. .到了十九世纪，上述两个方到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究

8、，所以这两个方作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做程也被叫做“柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程”。 8 2009, Henan Polytechnic University8 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支许多分支. .例如，著名的例如，著名的代数学基本定理代数学基本定理：101100 (0)nnnnazaza z aa （其中系数都是复数），在

9、复数域内恒有（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解个解. . 一元一元n次方程次方程柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者.9 2009, Henan Polytechnic University9 现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用有着广泛的应用. .比如，在复变函数理论最先得到成比如，在复变函数理论最先得到成功应用的功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几域中，复变函数方法已经发展成为

10、解决有关问题的几种经典方法之一种经典方法之一. . 在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，等学科，对他们的发展有很大的影响对他们的发展有很大的影响. .复变函数的应用复变函数的应用 10 2009, Henan Polytechnic University10何为积分变换？何为积分变换？).()(),(Fdttftkba记记为为 所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函数变成另一个函数的一种变换函数变成另一个函数的一

11、种变换. .：变变量量，具具体体形形式式可可写写为为这这类类积积分分一一般般要要含含有有参参原原像像函函数数；是是要要变变换换的的函函数数，这这里里 )(tf像像函函数数；是是变变换换后后的的函函数数， )(F.),(积积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数， tk11 2009, Henan Polytechnic University11积分变换的产生积分变换的产生 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为 比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得 到原问题的解到原问题的解. .原原 问问 题题原问题的

12、解原问题的解直接求解困难直接求解困难变换变换较简单问题较简单问题变换后问题的解变换后问题的解求求 解解逆变换逆变换12 2009, Henan Polytechnic University12 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况思路都属于这种情况. . 基于这种思想，便产生了积分变换基于这种思想，便产生了

13、积分变换. .其主要体现在：其主要体现在： 数学上：数学上：求解方程的重要工具（微积分向代求解方程的重要工具（微积分向代数运算转化）；数运算转化）； 能实现卷积与普通乘积之间的能实现卷积与普通乘积之间的互相转化互相转化. . 工程上：工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具分析的重要工具. .13 2009, Henan Polytechnic University13 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具常有用的工具. .我们只研究我们只研究最重要的两种积分变换傅里最重要的两种积分变换傅里叶

14、变换和拉普拉斯变换叶变换和拉普拉斯变换. .其实由于不同应用的需要，还其实由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来斯变换转化而来. .14 2009, Henan Polytechnic University14 由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数傅里叶级数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合），（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合），而一个非周期函数可

15、以看成某个而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于周期函数其周期趋向于无穷大无穷大转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆变换变换.而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，这而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，这两种变换最基本应用就是两种变换最基本应用就是求解线性微分方程求解线性微分方程，将复杂，将复杂卷卷积积运算转化为简单运算转化为简单乘积乘积运算运算. 此外，傅里叶变换在此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处物理学、电子类学科、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、

16、结构动力结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱显示与频率对应的幅值大小，开创了显示与频率对应的幅值大小，开创了信号频谱分析的先信号频谱分析的先河河）. . 15 2009, Henan Polytechnic University15 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变引入拉普拉斯变换的一个主要优点是可采用传递函数（换的一个主要优

17、点是可采用传递函数（输出函数与输输出函数与输入函数的拉普拉斯变换函数的商入函数的拉普拉斯变换函数的商）代替微分方程来描）代替微分方程来描述系统的特性述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图信号流程图、动态结构图）、）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系统控制系统校正方法校正方法）提供了可能性）提供了可能性.16 2009, Henan Polytec

18、hnic University16 要想学好这门课，首先复习高数二元函数要想学好这门课，首先复习高数二元函数极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂级数，傅里叶级数等内容级数，傅里叶级数等内容. .怎样学好复变函数与积分变换这门课怎样学好复变函数与积分变换这门课17 2009, Henan Polytechnic University171.1.发挥主观能动性，克服意志无力；发挥主观能动性，克服意志无力；3.3.练！练！2.2.有的放矢有的放矢; ;其次在学习过程中，希望大家做到以下几点：其次在学习过程中，希望大家做到以下几点： 18 2009, H

19、enan Polytechnic University18 傅立叶傅立叶-法国数学家、物理学家，法国数学家、物理学家，17681768年年3 3月月2121日生日生于欧塞尔，于欧塞尔，18301830年年5 5月月1616日卒于巴黎日卒于巴黎. .主要贡献是在研究主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论热的传播时创立了一套数学理论.1807.1807年向巴黎科学院呈年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程（偏微交热的传播论文，推导出著名的热传导方程（偏微分方程）分方程） ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而

20、数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数三角函数的无穷级数. .傅立叶级数（即三角级数）、傅立傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始叶分析等理论均由此创始. . 另外，傅立叶积分变换的基另外，傅立叶积分变换的基本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪念念. .19 2009, Henan Polytechnic University19 拉普拉斯拉普拉斯-法国数学家、天文学家法国数学家、天文学家.1749.1749年年3 3月月2323日生于法国博蒙昂诺日，日生于法国博蒙昂诺日，18271827年年3 3月月5 5日卒于巴黎日卒于巴黎. .他是他