等比数列的前n项和(第1课时)正式版

1、等比数列的前n 项和（第 1 课时）教学设计福建省晋江市平山中学谢立炳（教学内容源自人教a 版高中数学必修5 第二章第 5 节）一、教材分析1. 从在教材中的地位与作用来看等比数列的前n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养2. 从学生认知角度看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着

2、本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错3. 学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨4. 重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点二、目标分析知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特

3、点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点三、过程分析学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：1 .创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要

4、求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64格.国王令宫廷数学家计 算，结果出来后，国王大吃一惊.为什么呢？设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学 习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总 数1+ 2+22 +23 +263 .带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和.这时我对他们的这种思路给予肯定.设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生 去做

5、所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认 知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马 上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍.同时，形成繁难的情境激起了学 生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2 .师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：1, 2, 22,，263是什么数列？有何特征？ 应归结为+2+2争闿题呢?- +263探讨1:设S64 = 1 + 2 + 22 +23 +263记为（1）式，注意观察每一项的特征， 有何联系

6、？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2:如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2则 有2s64 = 2 + 22 + 23 +,，认为63（+264式.比较（1） （2）两式，你有什么发现？设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n项和的公式推导关键是 变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思 议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良 好契机.经过比较、研究，学生发现：（1）、（ 2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的 项就消去了，得到：.老嘲出26位就是错位相减法，并要求学生纵观

7、全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以 2呢？设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太 简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学 的兴趣和学好数学的信心.3 .类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列an,首项为a1,公比为q,如何求前n项和sn?这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学 生进行指导.设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入， 让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感.n对不能HIIF/能和问1：?岬feq师般eq撷=1? q：=1时是什么数列？此时

8、 sn=?（这里引导学生对 q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础.）再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构， 另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高 分析、类比和综合的能力.这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅 几句话，然而却有画龙点睛之妙用.4 .讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道，那么我们sn=春+ aiq+ad+q俳aiqn1却ai

9、+q阳i+aiq叫|件=相概用的定义又有 吐=%=上=|=*=q,能否联想到等比定理从而求出Sn呢？ai a2 asan-i设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sn=a+qSn，这其实就是关于&的 一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳 资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5 .变式训练，深化认识例1:求等比数列1!1鼻，前8项和;2 4 8 161、等比数列1二，1，1前多少项的和是63? 2 4 8 16642、等比数列1,1,8，春求第刖到第10项的和.3、

10、卷般通仲典蛋生,总醐蟀项悔踹械病幽9灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生册出 13名设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直 接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新 的数学认知结构的形成.通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生 的参与意识和竞争意识.6 .例题讲解，形成技能例2：求和 1+ a+a2+a3+Hl + an-1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学 生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想.7 .总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答

11、，然后老师再 从知识点及数学思想方法两方面总结.设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力.8 .故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84 X1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺.设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极 思维.9 .课后作业，分层练习必做：P129练习1、2、3、4选作： 思考题(1):求和 x+ 2x2+3x 3 + Hl + nxn.(2) “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八

12、十一，请问尖头几盏灯？” 这首中国古诗的答案是多少？设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生 有思考的空间.四、教法分析对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系.在教学中，我采用“问题一一探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率五、评价分析本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推

13、思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合 作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： “今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。 ”说着，苏格拉底示范做了一遍， “从今天开始，每天做 300

14、 下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300 下，哪个同学坚持了，有 90的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山

15、。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲： “锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。 ”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，

16、之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够

17、得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面” ，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找

18、到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会

19、让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采

20、取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然

21、后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习 习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历 程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简