十四章多元函数的极限与连续

1、 第十四章 多元函数的极限与连续 第一节 平面点集与多元函数在前面各章中，我们所讨论的函数都只限于一个自然变量的函数，简称一元函数，但是在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数.例如，矩形的面积描述了面积和长、宽这两个量之间的函数关系.又如，烧热的铁块中每一点的温度与该点的位置之间有着确定的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标表示时，温度由这三个变量所确定.如果进一步考虑上述铁块的冷却过程，那末温度还与时间有关，即的值由这四个变量所确定.这种两个、三个或四个自变量的函数，分别称为二元、三元或四元函数，一般统称为多元函数.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一

2、个增加到多个，产生了某些新的内容，读者对这些内容尤其要加以注意.对于多元函数，我们将着重讨论二元函数.在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去.一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域将是坐标平面上的点集.因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念.一、平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对与平面上所有的点之间建立了一一对应.因此，今后将把“数对”与“平面上的点”这两种说法看作是完全等同的.这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面.坐标平面上满足某种条件

3、的点的集合，称为平面点集，并记作 例如全平面上的点所组成的点集是 (1)平面上以原点为中心，为半径的圆内所有的点的集合是 (2)而集合 (3) 则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作平面点集 与 分别称为以点为中心的圆邻域与方邻域 （图14-1） 图14-1 由于点的任一圆领域可以包含在点的某一方领域之内（反之亦然），因此通常用“点的邻域”或“点的邻域”泛指这两种形状的邻域，并以记号或来表示.点的空心邻域是指 或 并用记号或来表示. 下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一： （i）内点若存在点的某邻域，使得则称点是点的内点；的

4、全体内点构成的集合称为的内部，记作. （ii）外点若存在点的某邻，使得则称是点集的外点. （iii）界点若在点的任邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称是集合的界点. 即对任何正数，恒有 且，其中是关于全平面的余集，的全体界点构成的边界，记作. 的内点必定属于；的外点必定不属于；的界点可能属于，也可能不属于. 点与点集的上述关系是按“点在E内或在外”来区分的.此外，还可按在点的近旁是否密集着中无穷多个点而构成另一类关系： （i）聚点-若在点的任何空心邻域内都含有中的点，则称是的聚点，聚点本身可能属于，也可能不属于. （ii）孤立点-若点，但不是的聚点，即存在某一正数，使得，则称点是的孤立

5、点. 显然，孤立点一定是界点；内点和非孤立的界点一定是聚点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点.例1 . 确定集的聚点集 （如图14-2）. 解 的聚点集.开集：若的每一个点都是的内点，即时，称为开集。闭集:若的聚点集，称为闭集。 例2 设平面点集 如图14-2 (4)满足的一切点都是的内点；满足的一切点是的界点，它们都属于；满足的一切点也是的界点，但它们都不属于；点集连同它外圆边界上的一切点都是的聚点. 根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集. 开集:若平面点集所属的每一点都是的内点（即)，则称为开集. 闭集:若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集.若点集没有聚点，这时也称

6、为闭集. 在前面列举的平面点集中，（2）所表示的点集是开集；（3）所表示的点集是闭集；（4）所表示的点集是非开集，又非闭集；而（1）所表示的点集既是开集又是闭集.此外，还约定空集既是开集又是闭集.可以证明，在一切平面点集中，只有与是即开又闭的点集.开域:若非空开集E具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称为开域（或称连通开集）.闭域:开域连同其边界所成的点集称为闭域.区域:开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域.在上述诸例中，（2）是开域，（3）是闭域，（1）既是开域又是闭域.又如 （5）虽然是开集，但因I、II

7、I象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域.有界点集对于平面点集，若存在某一正数，使得 ，其中是坐标原点（也可以是其他固定点），则称是有界点集.否则就是无界点集.上述（2）、（3）、（4）都是有界点集，（1）、（5）则是无界点集.为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域.点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集的直径，就是 其中表示与两点之间的距离，当的坐标分别为和时，则 于是，当且仅当为有限值时是有界点集. 根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对上任何三点和，皆有 二、上的完备性定理反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到，它们

8、同样是二元函数极限理论的基础.为此，先给出平面点列的收敛性概念.定义14-1 设为平面点列，为一固定点.若对任给的正数，存在正整数，使得当时，有，则称点列收敛于点，记作 或在坐标平面中，以与分别表示与时，显然等价于.同样的，当以表示点与之距离时，也就等价于.由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.定理14-1（柯西准则） 平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正数，使得当时，对一切正整数，都有 < (6)证 必要性 设，则由三角不等式 及点列收敛定义，对所给，存在正整数，当（也有）时，恒有 .应用三角不等式，立刻得到（6）式. 充分性 当（6）式

9、成立时，则同时有 这说明数列都满足柯西收敛准则，所以它们都收敛，设.从而由点列收敛概念推得收敛于点定理14-2（闭域套定理）设是中的闭域列，它满足: 则存在惟一的点 证 任取点列.由于，因此，从而有（图14-3） 图14-3 由定理14-1知道存在,使得 任意取定，对任意正整数有 再令，由于是闭域，从而必定是闭集，因此作为的聚点必定属于，即 最后证明 的唯一性，若含有 闭域套定理显然是中闭区间套定理的直接推广. 定理14-3（聚点定理）设为有界无限点集，则中至少有一个聚点. 证 现用闭域套定理来证明，由于是平面有界集合，因此存在一个闭正方形包含它.连接正方形对边中点，把分成四个小的闭正方形，则

10、在这四个小闭正方形中，至少有一个正方形含有中无限多个点，记这个小闭正方形为.再对正方形如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个小闭正方形含有的无限多个点，如此下去得到一个闭正方形序列（图14-4） 图14-4 容易看到这个闭正方形序列的边长随着趋向于无限而趋向于零，于是由闭域套定理，存在一点 现在证明就是的聚点，任取,当充分大之后，正方形的边长可小于，既有,又由的取法知道中含有的无限多个点，这就表明的聚点. 推论 有界无限点列必存在收敛子列 证明略. 定理14-4（有限覆盖定理）设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖了 本定理的证明与中的有限覆盖定理相仿

11、，在此从略. 在更一般的情况下，可将定理14-4中的改设为有界闭集，而为一族开集，此时定理结论依然成立. 三、 二元函数 函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系.实数集到实数集的映射是一元函数，现在定义二元函数.定义14-2 设平面点集,若按照某对应法则，中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的二元函数（或称的一个映射），记作 (7)且称为的定义域；所对应的为在点的函数值，记作或；全体函数值的集合为的值域，记作.通常还把的坐标称为的自变量，而把称为因变量. 在映射意义下，上述称为的象，的原象，当把和它所对应的象一起组成三维数组时，三维欧氏空间中的点集 便是二元函数的图象.

12、通常的图象是一空间曲面，的定义域便是该曲面在平面上的投影 为方便起见，由（7)式所确定的二元函数也记作 且当它的定义域不会被误解的情况下，也简单地说“函数”或“函数”.例3 函数的图象是中一个平面，其定义域是,值域是.例4 函数的定义域是平面上的单位圆域，值域为区间0,1,它的图象是以原点为中心的单位球面上的上半部分（图14-5） 图14-5例5 是定义在整个平面上的函数，它的图象是过原点的双曲抛物面（图14-6） 图14-6 例6 是定义在上的函数，值域是全体非负整数(如图14-7)所示: 图14-7 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数，如例3中的函数；若值域是无界数集，则称该

13、函数为无界函数，如例2，4，5中的函数.四 、 元函数 所有个有序实数组的全体称为维向量空间，简称维空间，记作.其中每个有序实数组中的一个点；个实数是这个点的坐标 设中的点集，若有某个对应法则，使中每一点，都有唯一的一个实数与之对应，则称为定义在上的元函数（或称的一个映射），记作 也常把元函数简写成 或 对于后一种被称为“点函数”的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题；同时还可把二元函数的某些论断推广到元函数。 第二节 二元函数的极限一、二元函数极限 定义14-3 设为定义在上的二元函数，的一个聚点，是一个确定的实数，若对任给正数

14、，总存在某正数，使得当时，都有 则称在上当时，以为极限，记作 (1)在对于不致产生误解时，也可简单地写作 当分别用坐标表示时，式也常写作 例1 依定义验证. 证 因为 先限制在点的的方邻域 内讨论，于是有 所以 设为任给的正数，取，则当时，就有 例2 设 证明 证 对函数的自变量作极坐标变换等价于对任何由于 因此，对任何，只须取时，不管 下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则（而且证明方法也相似），读者可通过它们进一步认识定义1中“”所包含的意义. 定理14-5 的充要条件是：对于的任一子集，只要是的聚点，有 推论1 设 推论2 设是它们的聚点，若存在极限 但.

15、推论3 极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件，它所对应的函数列都收敛.下面两个例子是它们的应用. 例3 讨论时是否存在极限 解当动点时，由于此时 这一结果说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在. 例4 求. 解 . 下面我们再给出当（非正常极限）的定义. 定义14-4 设为二元函数的定义域，是的一个聚点.若对任给正数,总存在点的一个邻域，使得当时，都有,则称时，存在非正常极限，记作 或 仿此可类似地定义： . 例5 设.证明 证 因为，对任给正数，取 就有 由此推得 即 这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图14-8）p96图14-8 二元函数极

16、限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法则相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出. 二 、累次极限 在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于，这种极限也称为重极限，在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于的极限，这种极限称为累次极限. 定义14-5 设的聚点，的聚点，二元函数上有定义，若对每一个，存在极限，由于此极限一般与有关，因此记作 而且进一步存在极限 则称此极限为二元函数先对的累次极限，并记作 或简记作 类似地可以定义先对后对的累次极限 累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系.下面三个例子说明这一点. 例6 设

17、，由例3已经通过的重极限不存在，但当时有 . 从而有 .同理可得 .即的两个累次极限都存在而且相等.例7 设，它关于原点的两个累次极限分别为 与 当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同.因此该函数的重极限不存在（下面的定理14-6将告诉我们，这时一个必然的结果）例8 设它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何当时的第二项不存在极限.同理，对任何当时的第二项也不存在极限.但是由于 故按二元函数极限的定义知道的重极限存在，且下述定理告诉我们：重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理14-6 若在点存在重极限 与累次极限 则它们必相等.证 设 ，则对任给的正数，总存在正数，使得当

18、时，有 . （2）另由存在累次极限之假设，对任意满足不等式 （3）的，存在极限 . （4）回到不等式（2），让其中由（4）可得 故由（3），（5）证得即 =由这个定理可导出如下两个便于应用的推论.推论1 若累次极限 ，和重极限 都存在，则三者相等.推论2 若累次极限 与存在但不相等，则重极限 必不存在.请注意，定理14-6保证了在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等.但它们对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论.推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件；推论2可被用来否定重极限的存在性. 第三节 二元函数的连续性 一、二元函数的连续性概念定义14-6 （用“”定义二元函数连续） 设函

19、数为定义在点集上的二元函数，（它或者是D的聚点，或者是D的孤立点），若对任给的正数，总存在相应的正数，使得当 时，都有 则称关于集合D在点连续，简称点连续。若函数上任何点都连续，则称上的连续函数。由连续定义，若是D的孤立点，则必定是关于集合D的连续点；若是D的聚点，则关于集合D在连续等价于 如果是D的聚点，而上式不成立，则称关于集合D在不连续（或间断点）.特别 时，称是的可去间断点.例1 其中 是固定实数.在直线上 因此在原点沿着任意直线 是连续的.定义14-7（全增量） 设 ，则称为函数在点的全增量.如果在全增量中取 ，则称相应的函数增量为偏增量.记作定义14-8 （用增量定义连续性） 设函

20、数为定义在点集上的二元函数，当 时，都有 则称在点连续. 例2 证明函数在点沿任何方向都连续, 但并不连续.证 当 时， 时，取 时 因此函数在点沿任何方向都连续.但显然函数在点极限不存在，所以不连续. 二元连续与单元连续的关系: 二元连续则对任意单元连续，反之不然.zyyx1比如函数（如图14-9） 在原点处显然不连续，但因此在原点处对分别都连续. 图14-9 1.连续函数的性质: 和一元函数一样，二元函数也有下面性质：四则运算性质； （请仿照一元函数给出叙述）局部有界性；局部保号性.定理14-7（复合函数连续性） 设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并且在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并且在连续，其中，则复合函数在点连续.证明 由函数在连续，对任意，存在，当，时，有 又由 在连续，对上述