第4章里叶方法在信号与系统分析中的应用

1、本章要点本章要点就是从一个连续时间信号 中按照一定的时间间隔提取一系列离散样本值的过程；通过取样得到离散信号称为，记为 。n完成这种取样过程的： f t( )f t( )sft( )p t取样脉冲取样信号连续信号 sft回目录据此模型，取样信号可以表示为：（41）式中 为。 （42） sftf t p t p t sfjftf t p t12fjp j sskfjp kk sskp kfjk回目录 p t若取样脉冲 为单位冲激序列，即则由（41）有： （43） p t ssnf nttnt回目录由于冲击抽样下抽样脉冲的傅里叶变换仍然是一个周期冲击序列，应用，可以得到： (44)1sksfjkt

2、回目录在矩形脉冲取样的情况下，取样脉冲 是脉幅为e、脉宽为 、取样角频率为 的，它的为： p ts 221stjkttssp kp t edtt221stjkttseedtt2sskesat 回目录矩形脉冲取样情况下： (46) sft2ssskskefjsafjt 回目录频域取样的数学模型为（47）对式两端取傅里叶反变换，得：此式表明，若连续信号的频谱 被间隔为 频域冲击序列在频域中取样，则在时域等效于连续 时限信号 以 为周期等幅度的重复。 11ssftftfjft 1stsf tt1snsf tntfjs f tst回目录图44 频域冲击取样过程与所对应的时域信号波形时域 频域 周期信号

3、 周期为离散频谱离散间隔 ： 抽样信号抽样间隔 重复频谱重复周期 ：112t2sst1tst回目录周期信号被取样周期为抽样间隔为离散频谱被重复离散间隔为重复周期为1tst112t2sst：一频带受限的信号 ，其频谱在区间 以外为零，则该信号 可唯一地由其在等间隔 上的样点值 来表示。 f t,hh f tshtsf nt回目录上述定理表明：为了能够从取样信号 中恢复原信号 ，取样过程必须满足： 连续信号 必须是带限的，其频谱函数在 各处为零；取样间隔 不能过大，必须保证 （49） f t sfthst1122shhhttf f t回目录：在满足取样定理的条件下，可以将如下频 域矩形函数 与取样

4、信号的频谱 ，从频谱 中无失真的原信号的频谱 ，了 也就恢复了 。hjsfjsfjfjfj f tsfjhjfj回目录式中： 且 。 对式（410）两边作傅里叶变换，并应用卷积定理有： （411）0sccthjcs 11sf tfthjftfj回目录式中： （412）由式（43）有 （413） 112ccj tsfthjt edccsat 1sssnf tftfjf nttnt h t回目录将式（412）、（413）代入式（411）得： （414） sincssnctf tf nttnttsincssncstntf nttnt回目录式（414）也称为内扦定理。内插过程如下：。 回目录t回目录

5、：一个时间受限的信号 ，在持续时间区间 以外为零，则该信号的频谱 可唯一地由其在等间隔 上的样点值 来表示。 f t,hht tfj12shftssf nf回目录进行类似于式（414）那样的推导，可以得到的如下描述： （415）式中： sinhsnhhtnnfjfjttn12hstf回目录定义零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比为，并按习惯用 表示，即：hj00mkkdefknkkkbjyjhjfjaj回目录 或者： （416） yjhjfjyjhjfj回目录其过程如图47所示： 线性非时变系统( )f t( )fyt()fj()hj()yj*= =回目录22( )( )( )43 (

6、 )2 ( )d y tdy tdf ty tf tdtdtdt2( )e( )tf tu t2j2(j )(j )4(j )3hj2(j1)(j3)21(j )e( )j2tfftu t从而有，例：例：已知某系统已知某系统求激励为 时的零状态响应。解：根据定义可求出j2(j)(j)(j)(j1)(j2)(j3)yhf)()()()(3211tueejffttyttf图49给出了一个和的例子。 01( )g t2( )g t3( )g t2nt2ntntntt回目录n需要说明的：（1）多路取样器的确定 （418）（2）确定多路取样器取样周期t时的最大传送路数可按下式确定: (419)式中 是（

7、完成一次取样所需要的时间）。1minnttt1minnttninttt回目录一般情况下，系统的响应波形与激励波形不相同，即说明信号在传输过程中产生了失真。失真有和。不产生新的频率成分。回目录n所谓是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。这个概念可用公式表述如下： （420） 0y tkftt回目录对无失真传输系统的转移函数要求（即频域要求） （421） 即无失真传输应具备的。 djj thjkehje 回目录（1）为一常数，即： （422）（2）是一条过原点的负斜率的直线，即 ； （423） hjk dt ddtd 回目录n只要系统具有如图41

8、3所示的幅度频率特性和相位频率特性，则该系统对于 来说，就是无失真传输系统 f t回目录n对式（421）作傅里叶变换，可得出： （424） 0h tktt 1122sinsinf tetet回目录为不产生相位失真，应使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，即应有：因此满足如下关系：12112 常 数1121212回目录通过无失真传输系统后的输出为 可见，为了使信号传输时不产生相位失真和幅度失真，信号通过线性系统时n谐波的相移必须与其频率成正比，即相位特性应该是一经过原点的直线；n谐波的幅度必须是频率无关的常数。回目录是一种具有矩形幅度特性和线性相位特性的“理想化”的系统模型，其示于图414。 回目

9、录可写为： （426）n式中： （427） （428） jhjhje 0dj tce其它 0dct 其它10chj其它回目录对式（426）两端求傅里叶变换，得为： （429） 其波形示于图415 1h tfthjccdsatt( )h t0dtdctdctct回目录n随着 时，理想低通滤波器就愈趋于无失真传输系统，这一点亦可由如下关系得以确认： （430）c 1lim2cdccjt tdttedlimcccdsatt回目录n有任意输入信号 ，其为 ；为 ，相应的为 ，该信号通过理想低通滤波器后的为 ，其为 ，则有： f tfj h thj y tyjyjfjhj0ccfj回目录从时域看，这个结

10、论也是十分明显的： （431） 012ccjt tfjed 12j ty tfjhjed回目录n设理想低通滤波器的阶跃响应为 ，它可以写成 与单位阶跃函数的卷积积分，即： g t h t g tu thdsintcdccdtdt 回目录则 （433 ）这种积分称为，常以符号 表示： （434） 1sincxxg tdxx001sin1sincxxdxdxxx 0sinyixsydxx isy回目录注意到 是偶函数，有： （435）故有： （436）从式（434）可以得到 （437）sin xx00sinsin2xxdxdxxx 011sin2cxxg tdxx112icdstt gth t回目

11、录n如果我们定义，由输出由最小值到最大值所需时间为系统的 （438）式中： （439）2ccbfrt2112rccctfb回目录则借用式（437）很容易得到理想低通滤波器对矩形脉冲信号的响应： （440） y tg tg t1icdicdsttstt回目录n波形如图417 t()f t10dt2dtdtt()yt1212c回目录如果一个系统是的，则要求该系统的冲激响应 满足因果性约束，即 （441） 这样的系统称 h t 0h t 0t 回目录n如果一个因果系统的频率响应的n则它的必定满足如下关系： （442） 式（442）就是，它是系统可实现的必要条件2hjd 22ln1hjd 回目录n使用

12、符号函数 ，和之间的关系可表示为 sgn t 0sgnehth tt 0sgneh thtt回目录 式（443）的傅里叶变换为： （443） （444）这就是在4.8中将要讨论的11irhjhj 1rhjd 11rihjhj 1ihd回目录 （445） （446） 22rihjhjhj 1irhjtghj 回目录 回目录 0012x jg j ( )f t( )x t( )g t0012g jg j 回目录是一个由已调信号 恢复原信号 的过程。它是解调的逆过程，其原理方框图示于423。 图中： （448） x t f t 011cos 222f tf tt 00cosftx tt回目录n为了在

13、接收端省去载波，可考虑在发射信号中加入一定强度的，这时发射端的合成信号为： （449） 0cosx taf tt 0af t f t x t回目录n4.7 频分复用频分复用的理论基础是傅里叶变换中的调制性质。频分复用系统的原理性框图示于图425。回目录 1( )g t1cost2( )g t2cost.( )ngtcosnt.( )f t至信道传输回目录 .t012345回目录是指信号满足如下因果条件的信号： （450） 可将其表示为： （451）作傅里叶变换可推得 0f t 0t f tf t u t 11irid 11rird回目录为了方便，记信号 的希尔伯特变换为 ，即： （456）对式（451）两端作傅里叶变换，得： （457） 1hftf tt 1hf tftt sgnhfjfjj00jfjjfj f t hft回目录n式中， （458）n对可以写出： （459）n式中： （460） 2sgnjhje2200jjejej sgnhfjfjjhfjhj 2sgnjhje2200jjejej 回目录信号 与其希尔伯特变换 是具有相同的振幅谱。信号 与它的希尔伯特变换 是正交的，即： （461） f t hft 0hf t ft dt f t hft回目录希尔伯特变换的希尔伯特变换是原信号的反号，即： （462） h hftf t 1212hhftftf