系统辨识与自适应控制-最终版-2012.4.24更新

1、系统辨识与自适应控制System Identification and Adaptive Control夏琳琳程目的o掌握“系统辨识与自适应控制”的概念；o了解“系统辨识与自适应控制”应用场合、最新技术发展与实例；o进行系统仿真与设计；课程讲述分为“绪论篇”、“系统辨识篇”和“自适应控制篇”教材 teaching materialso系统辨识与自适应控制 杨承志 重庆大学出版社o系统辨识与建模 潘立登 化学工业出版社o自适应控制 吴士昌 机械工业出版社o自动控制原理 邹伯敏 机械工业出版社o线性系统理论 郑大钟 清华大学出版社o智能控制 刘金琨 电子工业出版社绪论篇I

2、ntroduction1 绪论o关于“系统辨识”；o系统辨识的应用与发展；o关于“自适应控制”；o自适应控制系统的应用与发展；关于系统辨识 什么是SI( System Identification)?人们在生产实践和科学实验中，对所研究的复杂对象通常要求通过观测和计算来定量地判断其内在规律，那么就必须建立所研究对象的数学模型（Mathematical Model），从而进行分析、设计、预测、控制的决策。 建立数学模型的方法有分析法和实验法。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，称为SI。 不论是现代控制理论还是最优控制，都假设系统数学模型已知，显然，对

3、于自动控制系统的设计研究者来说，建立对象的数学模型是不可少的。 关于系统辨识 例如：我们需要利用民航旅客数年份月的统计数据建立的数学模型，来预测未来行为；利用股市行情近期走势预测未来走势；在故障诊断方面，在生产过程中，例如反应堆、大型化工和动力装置等，希望经常监视和检测可能出现的故障，以便及时排除故障，这就意味着必须不断地从过程中搜集信息，推断过程动态特性的变化情况，进而根据特性的变化情况判断故障是否发生、何时发生、故障大小、故障位置等。 有的系统的数学模型可用理论分析方法（解析法）推导出来，例如飞行器运动的数学模型，一般可根据力学原理较准确地推导出来。但是，当考虑飞行器运动模型的参数随飞行高

4、度和飞行速度变化时，为了实现对飞行器运动的自适应控制，就要不断估计飞行器在飞行过程中的模型参数。 关于系统辨识 有些控制对象，如化学生产过程，由于其复杂性，很难用理论分析方法推导数学模型。只能知道数学模型的一般形式及其部分参数，有时甚至连数学模型的形式也不知道。因此提出怎样确定系统的数学模型及其参数的问题，即所谓的系统辨识问题。既然有的系统很难用理论分析方法推导出数学模型，只有求助于试验方法。关于系统辨识 在经典的控制理论中，为了确定闭环系统是否稳定，我们就需要数学模型。可以在已知系统微分方程的情况下，求取闭环传递函数，求解闭环特征方程，判断根是否都具有负实部，或利用劳斯判据（霍尔维茨判据），

5、确定是否所有极点位于S平面的左半平面；获得开环系统传递函数，绘制根轨迹，确定系统特征方程的根在S平面的分布情况；在没有获得系统数学模型的情况下，实验室的方法变得切实可行，利用开环系统的对数幅频特性曲线（Bode图）或者奈奎斯特曲线（奈氏图），判断闭环系统的稳定性。关于系统辨识 写出最小相位系统开环传递函数的过程就是一个辨识过程（是对数幅频渐近特性曲线绘制的逆问题）。关于系统辨识5111jjjkjG dBjG61lg202k求得开环对数幅频特性dBk6lg201lg20lg201 实际上，这个频率响应实验原理为： 首先，选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非饱和状态。在一定频率范围内，改

6、变输入正弦信号的频率，记录各频率点处系统输出信号的波形。由稳态段的输入输出的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线。关于系统辨识幅频响应实验原理系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内容： 二阶系统欠阻尼时的单位阶跃响应系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内容： 三阶I型系统的奈氏图系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内容： 二阶I型系统的波特图11 . 010jjjG关于系统辨识 那么，关于系统辨识的定义，有这样两种普遍认同的说法：o1962年，美国学者Zadeh提出：SI就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型中，确定一个与所测系统等价的模型1

7、；o1978年，瑞典著名学者L.Ljung提出：SI有三个要素：数据、模型类和准则，辨识就是按规定准则在一类模型中选择与数据拟合得最好的模型2；关于系统辨识 Zadeh简介： Lotfi A. Zadeh，美国自动控制专家，美国工程科学院院士，被誉为模糊系统理论的创始人、模糊数学之父。1921年2月生于苏联巴库，1949年获哥伦比亚大学电机工程博士，现任美国伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。 Lotfi Zadeh in his office at Berkeley. Sep.1994关于系统辨识 L.L

8、jung简介： L.Ljung教授现任瑞典皇家工程科学院院士、瑞典皇家科学院院士、IFAC顾问、IEEE Fellow及多家国际刊物编委等职，在国际上拥有很高的学术地位。L.Ljung教授在系统辨识领域的贡献是世界公认的，可以说他及他所领导的“控制小组(the Control Group)“在辨识方面所做的工作代表着系统辨识学科的前沿，尤其在辨识模型和辨识方法的一般性框架、快速辨识算法、辨识收敛性分析、可辨识性理论及闭环系统辨识等方面所作的贡献都是具有前瞻性和开创性的。 L.Ljung访问中国科学院访问中国科学院关于系统辨识 上述两个定义，Zadeh的定义较为严格，但要找出与一个实际的系统完全

9、等价的模型是比较困难的。 而按L.Ljung 的观点，辨识的实质可理解为数据拟合的优化，比较切合实用。 我们用一幅图来说明建模辨识的思想：关于系统辨识 规定代价函数（或称等价准则）为 ，其为误差e的函数，系统原型G0和系统模型Gg在同一激励信号u的作用下，产生系统原型输出信号y和系统模型输出信号yg，二者误差为e。系统辨识的原理gyyJ,关于系统辨识 经等价准则（Equivalent Criterion）计算后，去修正模型参数，然后再反复进行，直到误差满足代价函数（Criterion Function）最小为止，其数学表述为： 其中， 为准则函数表达式，而辨识的目的为：找出一个模型 ，而 为给

10、定模型类，使之 ，则有Gg=G0。 此时，称系统被辨识。 efyyJg, efgGmin,gyyJ关于系统辨识o什么是数学模型；o系统辨识的基本方法；o系统辨识的基本内容；什么是数学模型 数学模型是对这个对象的特征和变化规律的一种表示或抽象，它不是对象本身，而是把对象本质的部分信息表达成有用的描述形式。 常用的数学模型有代数方程、微分方程、差分方程、偏微分方程和状态方程等。在系统辨识中，常用的有： a. 微分方程；b. 差分方程；c. 状态方程什么是数学模型 根据模型不同的基本特征，数学模型划分为：（1）静态模型与动态模型；（2）线性模型与非线性模型；（3）参数模型与非参数模型；（4）确定性模

11、型与随机性模型；（5）连续时间模型与离散时间模型；（6）时不变模型与时变模型；（7）时间域模型与频域模型；（8）集中参数模型与分布参数模型；SI的基本方法o机理建模 利用各个专业学科提出的物质和能量守恒定律或连续性原理等，建立描述系统的数学关系，这种建模方法称为“白箱问题（White-box）”。o系统辨识（实验建模） 这是一种在没有任何可利用的验前信息（即相关学科专业知识与相关数据）的情况下，应用所采集系统的输入和输出数据提取信息进行建模的方法。这是一种实验建模（Experiment Testing Method）的方法，称为“黑箱问题（Black-box）”。SI的基本方法o机理分析与系统

12、辨识相结合 这种方法适用于系统的运动机理不是完全未知的情况。首先，利用系统的运动机理和运行经验确定出模型的结构（如状态方程的维数或差分方程的阶次），或分析出部分参数的大小或可能的取值范围，再根据采集到的系统In-Out数据，由辨识的方法估计或修正模型中的参数，使其精确化。称之为“灰箱问题（Grey-box）”。 由于一般的“黑箱问题”无法解决，通常所指的SI就是“灰箱问题”。SI的基本内容和步骤o实验设计；o模型结构辨识；o模型参数辨识；o模型验证； 系统辨识的应用与发展 SI已经在系统建模与仿真（Simulation）、预测预报（Prediction）、故障诊断（Fault Diagnosi

13、s）、自适应控制、质量监控等方面得到成功地应用。 当今，SI已经成为系统理论中的一个重要分支。这其中，对于单变量线性的SI相关理论及方法取得了令人满意的效果，而对于多变量的系统辨识，尤其是结构辨识，还不很理想。 一方面，要借助其他理论加深对系统内在性质的理解，并提供新的估算方法；一方面，要根据实际观测提出新问题（如实验设计、准则函数选取、模型验证）。关于自适应控制 什么是自适应? 最初来源于生物系统，指生物变更自己的习性以适应新的环境的一种特征。人体的体温、血压等系统都是典型的自适应系统。 前苏联学者Tsypkin（茨普金 ）在学习系统的理论基础一书中引用了马克.吐温的一段话来说明自适应：“一

14、只猫在烧热的灶上烫了一次，这只猫再也不敢在灶上坐了，即使这只灶是冷的。”说明了自适应过程的机械性。关于自适应控制 什么是自适应控制 ( AC，Adaptive Control)?它与一般的反馈控制有什么不同？ 在控制系统的运行过程中，系统本身不断地识别实践被控系统的状态、性能或参数，而从“认识”或“掌握”系统当前的运行指标并与期望的指标相比较，进而做出决策，来改变控制器的结构、参数或根据适应性的规律来改变控制作用，以保证系统运行在某种意义下的最优或次优状态下，称之为“自适应控制”。关于自适应控制整个控制科学的发展过程经典控制经典控制现代控制现代控制智能控制智能控制关于自适应控制o最优控制；-“

15、没有最好，只有更好”o随机控制；o自适应控制；-“以变制变”o鲁棒控制；-“以静制动”o自学习控制；o智能控制；关于自适应控制 古典控制理论是将微分方程通过拉氏变换，变换到复频域进行分析，得到系统的传递函数，当闭环系统特征方程的根均位于S平面的左半平面时，系统稳定。特征方程的根取决于ai、bi。 而现代控制理论状态空间法是在时域进行分析。将微分方程转化为状态方程，求解状态方程的时域解-状态x(t)(n维)。当时间 时，状态x(t)是收敛的，则系统是稳定的，否则是不稳定的。 x(t)的性能仍取决于ai、bi。t关于自适应控制 讨论参数ai、bi是未知定常或慢时变情况，上述分析方法就不再适用了。必

16、须采取其他的控制方法，如鲁棒控制、自适应控制等。 目前的自适应方法主要是参数自适应，即用调整上述微分方程参数ai、bi的方法，使控制系统的性能达到预期的性能。但在调整时，系统不再是线性的了。 可以用各种方法调整参数，当时间 时，调整ai、bi的方法不收敛，则系统一定是不稳定的（除混沌外）。当ai、bi收敛于某一常数值 、 时，则系统不一定是稳定，因为这些参数决定了系统的最终性能。tiaib关于自适应控制 如同上述分析定常系统模型的方法一样，在复域看它的特征根，当闭环系统特征方程的根均位于S平面的左半平面时，系统稳定。 在时域，看当时间 时，状态x(t)是收敛的，则系统是稳定的。 可见，自适应系

17、统的性能仍取决于参数。t关于自适应控制 自适应系统主要由控制器、被控对象、自适应器及反馈控制回路和自适应回路组成。自适应系统原理图关于自适应控制 自适应控制的划分形式多样，按照设计原理与结构不同，分为两种：o模型参考自适应控制（MRAC）； 这类自适应系统的突出特点就是本身附加一个参考模型，其体现人们对被控对象的要求，也就是说，参考模型的特性就是被控对象的理想特性，根据两者状态（或输出）之间的偏差，实时进行调整，使得在某种指标下，被控对性的动态特性与参考特性尽量接近。关于自适应控制 o自校正控制系统（STC, Self-Tuning Controller ）； 这是在实际应用较广的、与系统辨识

18、技术联系最为紧密的一类自适应控制系统，它将在线辨识技术与最优设计方法相结合。整个控制系统由两个环构成，内环是由被控对象和通常的反馈控制器组成，控制器的参数通过外环来调整。调整方法是通过在线递推估计 （即系统辨识）和控制器在线设计来实现。自适应控制系统的应用与发展 飞行器控制是最早应用自适应控制的领域。 例如，在工业方面，加热反应炉的升温自适应控制，可使升温图曲线尽量接近试验所确定的理想曲线。 现有的自适应控制系统主要遵循两个原则： 1、一般只假定系统是线性定常的； 2、设计从系统的稳定性出发；按照Lyapunov分析稳定性的观点，稳定性是保证如果系统的初始偏差在一定范围内，随着系统运行时间的加

19、大，偏差逐渐趋于零。 自适应控制系统的应用与发展 但是一个实际系统，只具备稳定性是不够的，还要具备一定的稳定速度，太慢了是没有意义的。 自适应控制所着力追求的是具有真正适应能力的系统，自适应是生命系统的一种基本能力，体现为系统的学习能力和智能水平。因此，自适应控制的进一步发展将借鉴人工智能（AI）的推动。系统辨识篇System Identification讲述内容oChapter1系统辨识理论、方法及应用；oChapter2系统辨识的经典方法；oChapter3系统辨识的脉冲响应法oChapter4智能技术在系统辨识中的应用；Chapter1 SI是研究如何利用系统试验或运行的、含有噪声的输入

20、输出数据来建立被研究对象数学模型的一种理论和方法3。 SI就是一种利用数学方法从输入输出数据序列中提取对象数学模型的方法4。Chapter1o系统辨识的基本原理；o系统描述的数学模型；o随机信号的描述与分析；o白噪声与伪随机码；系统辨识的基本原理 再来回顾一下两位著名学者对SI的定义，对于L.Ljung的理论，明确了系统辨识中的三大要素： 输入、输出数据（u，y，yg）； 模型类（Gg）； 等价准则（ ）； 数据是辨识的基础，准则是辨识的优化目标，模型类是寻找模型的范围。 SI的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所研究的实际过程的动态特性5 。 gyyJ,系统辨

21、识的基本原理 例如，一个工业炉加热过程中，若忽略其他因素，控制的主要目标是燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关系： 系统辨识的基本原理 燃料流量Q（输入）和炉膛温度T（输出）之间的关系： 欲建立T/Q模型，经观测得到一组输入-输出数据，记为 和 ，其中 为数据长度，同时，选定一组模型： lkkQ, 2 , 1, lkkT, 2 , 1, kenkQbkQbkQbnkTakTakTnn211211（A）l系统辨识的基本原理 （A）式相当于表达了 的关系，在这个关系式中，T表示量测温度，可表示为 表示了估计（计算）温度 ，可表示为 表示干扰噪声（量测误差），表达了量测温度等于估计温度和量

22、测误差之和。 keTT nkTakTakTTn11TnkQbkQbkQbTn2121 ke系统辨识的基本原理 再选定一个等价准则 而Q与T之间的数学描述就是T/Q的数学模型的辨识问题，即根据所观测的In-Out数据 和从模型类（A）式中寻找一个模型，也就是确定（A）式中的模型阶次n及未知参数 ，使准则J=min。 由于观测到的数据一般都含有噪声，辨识建模实际上是一种实验统计的方法，所获得的模型只不过是与实际过程外特性等价的一种近似描述6 。 lknnlklknkQbkQbkQbnkTakTakTTTkeJ122111212211 lkkT, 2 , 1, lkkQ, 2 , 1,nibaii,

23、 2 , 1,系统辨识的基本原理等价准则 在SI中，有一个很重要的概念，就是等价准则，它是用来衡量模型接近实际过程的标准。而通常被辨识对象和模型的等价性是通过引入评价函数来定义的，这个评价函数称为等价准则函数。 对于相同的输入u，若实际系统的输出为y，模型Gg的输出为yg，而被辨识对象和模型输出这两个输出量之间的偏离值（误差）e=y-yg ，采用的准则函数如下： 连续信号下，准则函数为 tTttTtggdttedttytyyyJ22,系统辨识的基本原理等价准则 离散信号下，准则函数为 在给定的模型类中，当Gg使准则函数最小时，定义Gg与对象等价。因此，辨识就是求使准则函数最小的模型Gg的优化问

24、题7。 我们发现，准则函数通常表示成误差e的函数，写作 ，而在具体表达中，平方误差准则用得最多，而根据误差的定义形式，又可分为输出误差、输入误差和广义误差形式。22,eyyyyJNkgg efyyJg, 2eef系统辨识的基本原理等价准则 我们回忆一下自控原理中，对误差的理解： 从输出端定义：系统输出量的希望值与实际值之差，但在实际中此差值信号常常无法测量，一般只有数学意义； 从输入端定义：系统的输入信号与主反馈信号之差。此信号在实际中可测量，所以具有一定的物理意义。闭环系统框图系统辨识的基本原理等价准则 输出误差：令输出误差为 输出误差通常是参数的非线性函数，这种参数辨识是一种复杂的非线性最

25、优化问题，当误差和参数的关系是一次函数时，称模型是关于参数线性的。 参数线性模型按照最小均方误差准则，采用最小二乘（LS，Least Square），可实现对参数辨识。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。 这里，系统线性和参数线性是不同的概念。gyye系统辨识的基本原理等价准则 输入误差：令输出误差为 其中， 为模型Gg的逆系统，其关系如图： tyGtutututeg11gG输入误差示意图1gG系统辨识的基本原理等价准则 广义误差：将输入、输出误差组合而成，定义为 其中， 和 称为广义模型。 广义误差示意图 tuGtyGteg111G12G系统描述的数学模型 前面我们已对数学模型做

26、过分析，对于SI过程，弄清各类模型的表达形式、相互转换及应用场合十分必要。 按施加信息的特征，分为连续型和离散型； 按系统分析定义，分为时间域和频率域； 动态系统按描述模型方式，划分为参数型和非参数型，参数型用模型的系数来描述系统，如微分方程和传递函数中的ai、bi系数，状态空间方程中的系数矩阵A，B。 非参数指模型用响应曲线来描述，如时域中的脉冲响应模型、频域中的频率响应模型。系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内容： 二阶系统欠阻尼时的单位阶跃响应系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内容： 三阶I型系统的奈氏图系统描述的数学模型 引入自动控制原理中，大家熟悉的内

27、容： 二阶I型系统的波特图11 . 010jjjG系统描述的数学模型 从发展上看，以往动态系统的设计和控制分析中，非参数模型曾得到了广泛的应用，目前也有很多应用。随着计算机的发展，参数模型已成为应用广泛的数学描述方法。 辨识技术为非参数模型转化为参数模型提供了手段。 非参数模型可通过实验获得，而参数模型又可从非参数模型得到。例如，可从脉冲响应或频率特性，用最小二乘法拟合的方法，得到传递函数。系统描述的数学模型-参数模型类 （一）连续系统的参数模型 一个线性连续动态系统可以分别用时域的微分方程和频域的传递函数来表示。连续时间、线性、定常系统，其动态特性可以用n阶微分方程来表示： SISO系统示意

28、图c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011 -n1 -n1 -nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011 -m1 -m1 -mmmmb（B）系统描述的数学模型-参数模型类 （一）连续系统的参数模型 微分系数 和 与系统阶次n和m，决定了系统的动态特性，是系统需要辨识的参数。 对（B）式进行Laplace（拉式）变换，在假定初始条件为零的条件下，写成复数域形式： niai, 2 , 1mjbj, 2 , 1R(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb) s (Ca) s (sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn 系

29、统描述的数学模型-参数模型类 Laplace变换: 设函数f(t)当 时有定义，积分 （s为复参量）在s平面的某一域内收敛，称 为函数f(t)的Laplace变换，记为 。F(s)称为f(t)的象函数。 将微分方程的 用复变量s替换，c(t)和r(t)就转换为相应的象函数C(s)和R(s)。 0t dtetfst0 dtetfsFst0 tfLsFdtd系统描述的数学模型-参数模型类 Laplace变换的重要性质: 时域微分 若 ，则 初值定理 若 ，且 存在，则 终值定理 若 ，且 所有极点均在s平面左半平面（稳定），则 sFtfL 0fssFtfL sFtfL ssFslim ssFfs

30、lim0 sFtfL ssF ssFfs0lim系统描述的数学模型-参数模型类 Laplace变换的重要性质: 卷积定理 在Fourier变换中，卷积定义为： 在Laplace变换中，当t0时，f1(t)=f2(t)=0，此时，卷积为 则卷积定理为 dtfftftf2121 dtfftftft02121 sFsFtftfL2121系统描述的数学模型-参数模型类 下面引入R-C电路，说明卷积的应用 由基尔霍夫电压定律，有 其中， ，即获得该电路的微分方程。现要求在已知ur (t)的条件下，求uc (t) ？ （1）直接解微分方程，求出两者的关系式； （2）将微分方程做拉式变换，得到 将ur(t)

31、转换为Ur(s)，代入，求得Uc(s)，再拉式反变换。RC电路dtduCicrccuudtduRC sUsURCsrc1系统描述的数学模型-参数模型类 （3）利用卷积定理 求得 进行反变换，得到 由于 ，根据卷积定理，则 故 若已知ur=1(t)，则 11RCssUsUsGrc tRCeRCsGLtg111 sRsGsC trtgtc trrcdutgtutgtu0 tRCtRCtRCttRCtrcedeeRCdeRCdutgtu101010111系统描述的数学模型-参数模型类 （一）连续系统的参数模型 定义传递函数为输出的拉式变换与输入的拉式变换之比： s为拉式变换算子。 011n1nnn0

32、11m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s) sG微分方程（时域）系统系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj线性系统描述方式之间的关系系统描述的数学模型-参数模型类 （一）连续系统的参数模型 对于MIMO系统，考察一个m个输入和r个输出的MIMO， 记 ，则传递函数为 MIMO系统示意图 TmsUsUsUsU,21 TrsYsYsYsY,21 sUsYsG系统描述的数学模型-参数模型类 （一）连续系统的参数模型 展开,形式为： MIMO系统还可以用状态空间来描述，表示为 X(t)为n维状态向量； U(t)为m维输入向量； Y(t)为r维输出向量； A(t)为

33、nn阶系数矩阵； B(t)为nm阶控制矩阵； C(t)为rn阶输出矩阵； D(t)为rm阶前馈矩阵； sUsUsUsGsGsGsGsGsGsGsGsGsYsYsYmrmrrmmr2121222211121121 tUtDtXtCtYtUtBtXtAtX系统描述的数学模型-参数模型类 （二）离散系统的参数模型 若系统描述为一个或者多个变量仅在离散的瞬间改变它们的值，称之为离散时间系统。与连续系统对应，一个线性离散的动态系统可以用时域的差分方程和频域的Z变换传递函数来表示。 在单变量及不考虑系统干扰的情况下，其离散输入量u(k)及输出量y(k)之间的关系表示为如下差分方程形式： babnannnn

34、kuakubkubnkyakyakyba11101（C）系统描述的数学模型-参数模型类 （二）离散系统的参数模型 若引入后移算子 ，并定义 再用多项式表示 故（C）式可表示为 1q 11kykyqbbaannnnqaqbqbbqBqaqaqaqA221101221111 kuqBkyqA11系统描述的数学模型-参数模型类 （二）离散系统的参数模型 对（C）式进行Z变换，设初始条件为零（y(k)=u(k)=0,k0），则表示为 其中，z为傅里叶变换算子，则z传递函数定义为 即在离散系统中，差分方程可通过Z变换得到Z传递函数。 bannnnnnzUqaqbbzYzazazabbaa11022111

35、 aabbnnnnzazazaqaqbbzUzYzH22111101系统描述的数学模型-非参数模型类 非参数模型是指从系统的实验过程，直接或间接获得的响应，它不能表示为对象的有限参数模型。例如：所记录到的一个系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应都属于非参数模型，采用相关分析、频谱分析所得到的结果也属于非参数模型。对于这类模型，不需要选择其模型结构，也不必要估计模型参数，因此，适用于描述任意复杂的系统。 系统描述的数学模型-非参数模型类 脉冲信号-表示为一个持续时间极短的信号； 阶跃信号-表示为参考输入量的一个瞬间突变过程； 斜坡信号-表示信号由零值开始随时间t作线性增 长； 等加速度信号-是一种

36、抛物线函数，表示函数值随 时间以等加速度增长；o正弦信号-模拟海浪运动模型，船舶的消摆运动； 典型测试信号应具备三个条件：一是数学表达式简单，便于理论计算，二是易于在现场或实验室获得；三是控制系统在这种函数作用下的性能代表在实际工作条件下的性能；系统描述的数学模型-非参数模型类 回到我们学过的自动控制原理相关理论来分析。我们发现，任何输入激励信号u(t)可以分解为脉冲信号之和（或阶跃信号之和），而根据叠加原理，在所有起始条件均为零时，线性定常（时不变）系统的脉冲响应可以用输入激励信号u(t)和系统的输出脉冲响应（或称脉冲过渡）函数g(t)的卷积的积分来求解。 ttdtugdutgtutgty0

37、0 sUsGsY系统描述的数学模型-非参数模型类 如果输入u(t)等于 ，即当输入激励信号为单位脉冲函数时，则 那么，系统脉冲响应g(t)完全描述了系统的特性，因此，能辨识出系统的脉冲响应就是实现了系统的辨识。 我们在分析自控原理中的一阶系统时，得到过一个很重要的结论：一个输入信号导数的时域响应等于该输入信号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响应，等于该输入信号时域响应的积分。 t tgdutgtyt0系统描述的数学模型-非参数模型类 对于一阶系统（1）单位脉冲响应：（2）单位阶跃响应：（3）单位斜坡响应： TssG11 tTeTtgtc11 tTetc11 tTeTttc11系统描述的数

38、学模型-非参数模型类 上述性质，对二阶和高阶系统仍然适用，因此，在以后的讨论中，都主要研究系统的单位阶跃响应。 只要讨论了一种典型信号，就可以推知其他。也就是说，当我们获得了系统的数学模型后，如果想进一步探讨系统的动态特性时，经常采用阶跃激励。 而在系统辨识中，求出系统的脉冲响应就是实现了系统的辨识。 （后续，我们再来探讨如何应用脉冲响应求取数学模型-传递函数-进一步转化为微分方程。）系统描述的数学模型-非参数模型类 （二）离散系统的非参数模型 对于离散系统，受到一个单位脉冲（Delta）函数激励后的系统响应。这种形式表示为加权序列K(nT)（即脉冲响应的离散化）。回忆一下连续系统：微分方程

39、脉冲响应g(t)（脉冲过渡函数） G(s) 若输入 ttr sGLsRsGLsCLtg111系统描述的数学模型-非参数模型类 对于离散系统：差分方程 加权序列K(nT) G(z)（脉冲传递函数） 输入脉冲值分别为 、 、 即 （表明差分方程中的系数 ai、bi与权序列之间的关系） nTr0 TnTr1 nnznTKzG0 mkkkmkkkzazbzRzCzG101 TnTr22随机信号的描述与分析 为了达到辨识的目的，待测系统必须产生一个满足辨识条件的动态过程。可以利用系统本身存在或人为干预进行动态激励。 通常采用外加激励信号使系统产生扰动而形成动态激励，而所施加信号按性质可分为脉冲信号、阶跃

40、信号、斜坡信号及白噪声信号（工业测试用伪随机信号）。 一般认为具有可调频带且能量均匀分布在频带上的准白噪声信号-伪随机信号是较理想的辨识扰动信号，其已广泛应用为经典辨识方法和现代辨识方法中的扰动信号。随机信号的描述与分析 扰动信号分类随机信号的描述与分析 由于实际系统中总存在一些不确定的因素（或随机因素），即在实际问题中，常要涉及在实验过程中随时间不断变化的随机变量，其不能用已知时间函数描述。但这些随机变量会影响状态变量及输出变量，因而无法使结果确切地被计算出来，而只能计算出“该过程或过程在一组可能的情况下出现某一种情况”的概率（只能获得一些统计特性，如均值、方差、功率谱密度）。此时，就要用一

41、个随机模型来描述这样的系统随机过程(Stochastic Process)或随机函数。随机信号的描述与分析随机过程的概念及数学描述；平稳随机过程与各态历经性；随机过程的谱分解与谱密度函数；随机过程的概念 在一给定（特定）的时间，一个城市的电力负荷是一个随机变量，而在一段时间内，负荷（随机变量）就为时间的函数。某电话交换台第n天的电话呼唤xn是一个随机变量，而长期的记录x1,x2,就为一簇无穷多个随机变量构成的时间常数。 一般像测量系统、控制系统等一些连续工作的系统，当分析系统的品质时，就必须考虑各种随机干扰的影响，这些随机干扰本身所引起的系统的响应都是随时间变化的随机变量。随机过程的概念 通常

42、，把依赖于参数 的随机变量族 称为随机过程，参数集T通常是指时间常数。Tt Tttx,随机过程的概念例如，在涤纶抽丝的生产过程中，涤纶丝的直径总是随时间变化的，但并不确切地知道它如何变化，当然也就不能用一个确切的时间函数来描述。它的变化是随机性质的。如右图。随机过程的概念 表示一条涤纶丝直径随时间随机变化的曲线，是一个随机信号1 。 同理，有n条同时抽出的涤纶丝，其直径随时间随机变化的曲线 也都是随机信号。它们的集合就称为随机信号的总体2。 随机信号在每一时刻的数值都是一个随机变量3 ,而随机变量又是时间的函数，可称为随机过程4 。 把依赖于参数 的随机变量族 称为随机过程5 。参数集T通常是

43、指时间参数。 tx1 txtxtxn,32Tt Tttx,随机过程的概念 对于随机过程的研究，可以在完全相同的条件下进行多次测试，这样就能得到很多的样本，但它们的变化过程互不相同。样本具有偶然性，但它们总体却往往具有统计意义上的规律性。 按照严格的定义，所谓“随机过程”就是大量x1(t) ，x2(t) ，所构成的总体6 。即随机函数是一簇无穷多个随机变量，这无穷多个互相有关的随机变量的集合记为 ，其中，T是一个无穷集合。 Tttx,随机过程的概念 一个随机过程 ，实际上是两个变量的二元函数，其中一个变量为样本空间 中的 （基本事件），另一个是参数集T中的t。 当t固定为ti时， 为随机变量；

44、当 固定为 时， 为时间t的函数（非随机）； 由于固定 ，表示某一次实验，故称为随机过程的一个样本函数（一个现实）。 因此，随机过程兼有随机变量和函数的双重特点。 Tttx,itxiitx,itx,随机过程的概念 例如，考察一个最简单的标量线性系统其中 为正态随机变量，且 。容易解此微分方程，得 。对于每一个t值（ ），x(t)是零均值和方差为t2的正态随机变量。因此， x(t)表示具有参数t的随机变量族，因此它是随机过程。 有四种解释： 为确定数值； 为随机变量； 为时间函数； 为随机过程；iittx,ttxii,ttx, 00 xtx且1 , 0N ttx0tiiiittx,随机过程的概念

45、 关于T的解释：（1）（2） （3） 这里，T一般表示时间，当T为（3）时，为随机过程（参数集取某个区间），记为 ；而T为（1）和（2）两种情况时，称之为随机序列7 （参数集取离散值），记为 ； 在实际应用中，无法获得随机过程的全部样本，引入既能刻画随机过程的基本特性，又能便于实际测量的数字特性-均值、均方值、方差、自相关函数、协方差函数、互相关函数、互协方差函数。 , 2 , 1 , 0T, 2, 1, 0TbabaT, Tttx, Tkkx,随机过程的数字特征 均值 当分析一个动态信号时，常使用的方法是将信号视为静态信号（即不随时间变化的分量）和动态信号（即波动分量）的和。其中，静态分量可

46、用均值表示。 回忆自动控制原理中，也有对误差信号的探讨。动态响应也包含有瞬态分量和稳态分量。如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷时，误差信号中的瞬态分量必趋近于零，剩下的只有稳态分量，称控制系统误差信号的稳态分量为稳态误差。随机过程的数字特征 补充内容： 若给定随机过程 ，对于每一个 ，则 为随机变量，其分布函数定义为： 相应的密度函数 称 F(x,t)为随机过程 的一维分布。 一维分布不足以描述随机过程，它不能回答随机过程 在不同t时的相关性问题。当参数t取t1，t2时，就有两个随机变量x(t1)和x(t2)，需考虑它们的联合分布： Tttx,Tt tx Tttx, TtxtxPt

47、xF,xtxFtxf, TttxtxxtxPttxxF2122112121, Tttx,随机过程的数字特征 均值 若给定随机过程 ，固定 ，则是一随机变量，均值一般与t有关，记为 其中， 是随机过程 的均值函数； 为随机过程的一维密度函数； 对于随机序列有 称m为随机序列 的均值函数。 Tttx,Tt tx dxtxptxtxEtx,1 tx Tttx,txp,1 kkkxpkxkxEm, Tkkx,随机过程的数字特征 均方值 均方值是为随机信号提供有关强度，它是时间历程平方值的简单平均值，又称为随机变量的二阶原点矩，记为 对于随机序列有 、 分别称为随机过程和随机序列的均方值函数。 dxtx

48、ptxtxEtx,1222 kkxpkxkxEkkx,222 tx2 kx2随机过程的数字特征 方差 方差在表达方式上等于均方值减去均值的平方，它表示随机过程在该时刻对于均值的平均偏离程度，又称之为随机变量的二阶中心矩。记为 方差 有时也记作- 对于随机序列，则 和 分别称作随机过程和随机序列的方差函数。 tdxtxptxttxEtxxx212222, t2 txVar kx2 kx2 212222,mkkxpkxmkxEkkx随机过程的数字特征 自相关函数 随机过程的相关函数是描述两个信号数值间的依存关系的。考察两个信号x(t)和y(t)，他们都是时间的函数，若其中一个信号的数值总是以某种方

49、式依存于另一个信号的数值，则称这两个信号是相关的。 自相关函数是描述信号x(t1) 的某一时刻值与另一时刻值 x(t2) 间的依存程度，这样就有两个随机变量了，若设它们的二维密度函数为 ，则自相关函数记为21212,ttxxp 2121212212121,dxdxttxxpxxtxtxEttRx随机过程的数字特征 自相关函数 1t2t随机过程的数字特征 练习1： 设 为随机过程，其中， 和 为随机变量， ， ， ，求 x(t)的均值函数和自相关函数。 Tttx, ttx 0EE 212E 222EE随机过程的数字特征 练习1： 设 为随机过程，其中， 和 为随机变量， ， ， ，求 x(t)的

50、均值函数和自相关函数。 Tttx, ttx 0EE 212E 222EE 0tEEtEtxEtx 21222121212212212212212121,t tttt tEttEEt tttEttEtxtxEttRx随机过程的数字特征 协方差函数 随机过程 对任意两个时刻t1、t2的协方差函数记为其中， 。描述过程在任意两个不同时刻t1、t2所对应的两个随机变量x(t1)和x(t2)的相关性。当t1=t2=t时， 协方差就转化为方差。所以方差是特例，不作为随机过程的基本特征量。 21212122211221121,dxdxttxxpttxttxttxttxEttCxxxxx txEtx 22,x

51、xxttxEttC Tttx,随机过程的数字特征 练习2： 证明均值函数、相关函数与协方差函数具有如下关系： ttRtxx,2 tttRtttxxxxx2222, 212121,ttttRttCxxxx随机过程的数字特征 练习3： 设 为随机过程， 和 为随机变量，其一、二阶矩存在 ，试求 和 的均值函数和自相关函数。这里，一阶矩和二阶矩分别指代均值和均方值； BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ随机过程的数字特征 练习3： 设 为随机过程， 和 为随机变量，其一、二阶矩存在 ，试求 和 的均值函数和自相关函数。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ

52、 BEAEttBEttAEtdBEtdAEtdBAEtdxEtdxtEtYEtttttty212111111200000随机过程的数字特征 练习3： 设 为随机过程， 和 为随机变量，其一、二阶矩存在 ，试求 和 的均值函数和自相关函数。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ 241,221212221002121212001212210021212121121212BEttABEt tAEEBddt tABEddt tAEddBABAEt ttYtYEttRtttttty 随机过程的数字特征 练习3： 设 为随机过程， 和 为随机变量，其一、二阶矩存在 ，试求 和 的均

53、值函数和自相关函数。 BAttxAB ttx, dxttYt01 dttdxtZ AtxdttdxtZ AEtZEtZ ,22121AEtZEtZEttRZ随机过程的数字特征 练习4： 设 为随机过程，a为常数，设 ，试以x(t)的自相关函数表示y(t)的自相关函数。 )()(txatxty ttx,随机过程的数字特征 练习4： 设 为随机过程，a为常数，设 ，试以x(t)的自相关函数表示y(t)的自相关函数。y(t)的自相关函数为 )()(txatxty ttx, 212121212121212122112121,ttRattRtatRatatRtxtxEatxtxEtxatxEatxatx

54、EtxatxtxatxEtytyEttRxxxxy随机过程的数字特征 练习5： 设 为随机过程，且其中，x是在(0,1)上服从均匀分布的随机变量，求y(t)的均值函数，自相关函数。 tty, xtety随机过程的数字特征 练习5： 设 为随机过程，且其中，x是在(0,1)上服从均匀分布的随机变量，求y(t)的均值函数，自相关函数。 由题设条件，知x的概率密度为y(t)的均值函数为 tty, xtety 其他0101xxf tedxedxxfeeEtyEttxtxtxty110随机过程的数字特征 练习5： 设 为随机过程，且其中，x是在(0,1)上服从均匀分布的随机变量，求y(t)的均值函数，自

55、相关函数。 y(t)的自相关函数为 tty, xtety 10212121212121211,ttedxedxxfeeeEtytyEttRttxttxttxtxty随机过程的数字特征 互相关函数 若有两个随机过程x(t)和y(t)需同时考虑时，有 互协方差函数 定义为变量x(t1)和y(t2)的相关矩，记作 两者也有如下关系： 2121,tytxEttRxyTtt21, 212122112121,ttttRttyttxEtytxCovttCyxxyyxxy 212121,ttttRttCyxxyyx平稳随机过程与各态历经性 平稳随机过程与宽平稳随机过程：如果一个随机过程 的统计性质不随时间而改

56、变，则称之为平稳随机过程。 若对于任意n和任意选定t1t2tn, tk T，k=1, 2, , n，及为任意值，且x1, x2, ,xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+, t2+ , , tn+) 则称x(t) ,tT为平稳随机过程。 Tttx,式（1）平稳随机过程与各态历经性 该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布, 则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有 f1(x1, t1)=f1(x1) （一维分布）和 f2(x1, x2; t1, t2)

57、=f2(x1, x2;) （二维分布） 以上两式可由式（1）分别令n=1和n=2, 并取=-t1得证。于是平稳随机过程 的均值为 常数 Tttx,adxxfxdxtxfxtxEtx11111111111)(),()()(adxxfxdxtxfxtxEtx11111211122)(),()()(平稳随机过程与各态历经性 这说明，平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。 121112112111121122112)()(),()()()(tdxxftxtdxtxftxttxEtxxxx 22111222

58、2121122222222)()(),()()()(tdxxftxtdxtxftxttxEtxxxx平稳随机过程与各态历经性 而平稳随机过程x(t) ,tT的自相关函数: 表明仅是时间间隔=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。以上表明，随机过程x(t) ,tT具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关（均值不变）；它的自相关函数只与时间间隔有关，即 )();,(,21212211121xxRdxdxxxfxxtxtxEttR xxxxRttRttRttR124321,平稳随机过程与各态历经性 仅仅由一个随机过程的均值是常数，自相关函数是的函数还不能充分说明它符合平稳条件，为此引入另

59、一种平稳随机过程的定义： 当均值不随时间改变，即 ，自相关函数 ，则称这个平稳随机过程称为宽（广义）平稳随机过程。 我们所谈的平稳随机过程就是指宽平稳随机过程（）。 xxxtt21 xxxxRttRttRttR124321,平稳随机过程与各态历经性 设 为平稳随机过程 的相关函数，则 Tttx, xR txtxERx随机过程的数字特征 练习6： 设 为随机过程，且其中，x是在0,2上服从均匀分布的随机变量，证明： 不是平稳随机过程。 tty, xttysin tty,随机过程的数字特征 练习6： 设 为随机过程，且其中，x是在0,2上服从均匀分布的随机变量，证明： 不是平稳随机过程。 不是常数

60、，故 不是平稳随机过程。 tty, xttysin tty, ttdxtxtxEtyE22cos121sinsin tty,随机过程的数字特征 练习7： 随机振幅正弦波 其中，X和Y都是随机变量，且EX=EY=0，DX=DY=1(方差)，EXY=0.证明Z(t)是平稳随机过程。 tYtXtZ2sin2cos随机过程的数字特征 练习7： 随机振幅正弦波 其中，X和Y都是随机变量，且EX=EY=0，DX=DY=1(方差)，EXY=0.证明Z(t)是平稳随机过程。 由已知条件，知则 tYtXtZ2sin2cos122YEXE 02sin2cos2sin2cosYEtXEttYtXEtZE随机过程的数