幂级数PPT课件

1、一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .,120 xxxnn例如级数例如级数 前面讲过常数项级数前面讲过常数项级数, ,其各项均为一个常数其各项均为一个常数. .若讲各项改变为定义在区间若讲各项改变为定义在区间I I上的一个函数上的一个函数, ,便为便为函数项级数函数项级数。第1页/共45页22.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数

2、 10)(nnxu收敛收敛, ,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,第2页/共45页3)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是 数项级数的收敛问题数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: :

3、 )()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数 )( xs, , 称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. . (定义域是定义域是?),(xsn第3页/共45页4例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是它的发散域是或或.1x,)1,1(时当x有和函数有和函数 第4页/共45页5的收敛域求函数项级数例0!1nnxn. 0!0 xxnnn的收敛域为故级数时发散，在0!0 xxnnnxnxnxnxuxunnnnnnn) 1(lim!)

4、!1(lim)()(lim11有对收敛幂级数在解0.0 xx第5页/共45页例例如如 求级数求级数nnnxn)11()1(1 的收敛域的收敛域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x第6页/共45页7, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20

5、xx或或第7页/共45页81 1、定义、定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaannxxa)(0下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210的情形的情形, 即即第8页/共45页2 2、收敛性、收敛性,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收敛收敛时时当当 x;,1发散发散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 1 1,( 发散域发散域对于幂级数,要解决两个问题：(1) 如何求出它的收敛域

6、？(2) 如何求出收敛域内的和函数？ 从幂级数的形式不难看出从幂级数的形式不难看出, ,任何幂级数在任何幂级数在x=0处处总是收敛的总是收敛的. .而对的点处而对的点处, ,幂级数的敛散性如何呢幂级数的敛散性如何呢? ?先看下列定理先看下列定理. .第9页/共45页定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域第10页/共45页), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收

7、收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa第11页/共45页12,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域第12页/共45页13如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定

8、的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论第13页/共45页14, 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R收敛区间收敛区间0 x;收收敛敛区区间间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?(1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,),(RR开区间开区间 叫做幂级数叫做幂级数 的的收敛区间收敛区

9、间.nnnxa0定义定义: : 正数正数R称为幂级数称为幂级数 的的收敛半径收敛半径.nnnxa0),(RR收敛域可能是收敛域可能是收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。收敛区间是含在收敛域内的最大开区间。幂级数的收敛域？幂级数的收敛区间，第14页/共45页15 定理定理 2 2 对幂级数对幂级数 0nnnxa 设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 第15页/共45页1

10、6（1）由比值审敛法）由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径第16页/共45页17, 0)2( 如果如果, 0 x任意给定),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收敛半径收敛半径,)3( 如果如果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数. 0 R收

11、敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.第17页/共45页例例1 1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx故收敛区间是故收敛区间是1 , 1( .第18页/共45页nnna limnn lim, , R级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R收收敛敛区区间间),( .;)()2(1 nnnx

12、;!)3(1 nnnx第19页/共45页解解nnnuxxn 22(2 )!( )( !)级级数数的的一一般般项项为为缺少奇次幂的项缺少奇次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn 24,x级数收敛级数收敛,x 241,当当x 1| |,2即即例例2 求幂级数求幂级数的收敛半径。的收敛半径。220(2 )!( !)nnnxn级数发散级数发散,x 241,当当x 1| |,2即即收敛半径为收敛半径为R 12第20页/共45页另解另解221(2 )!( !)nnnyxyn令，所给级数变为21(1)1limlim(21)(22)4nnnnanRann收敛半径21(2 )

13、!11( !)44nnnyyyn故级数，当，收敛；当，发散22111144(2 )! 1(2 )!1( !)4( !)4nnnnyynnnn 当 或 ，级数分别为： 及 前者收敛前者收敛,后者发散后者发散第21页/共45页所以收敛半径为所以收敛半径为R=1/2,收敛区间为收敛区间为(0.5，0.5)21(2 )!11( !)44nnnyyn因此级数的收敛域为：2221414yxxx由于，所以当时，原级数收敛；当时，原级数发散。第22页/共45页练习练习 求幂级数求幂级数 1122nnnx的收敛区间的收敛区间. 解解 3523222xxx级数为级数为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝

14、贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x第23页/共45页, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2, 2( 第24页/共45页例例3 求幂级数求幂级数12) 1( nnnnx的收敛区间的收敛区间.解：解：令令 t = (x 1), 考虑考虑12 nnnnt) 1(2lim1nnn21r21即即 |x 1|2, 1 x

15、2时时, 原级数发散原级数发散在端点处在端点处, x = 1, x = 3, 1) 1( nnn收敛11 nn发散故收敛区间为故收敛区间为 1, 3)第25页/共45页另解另解 利用比值判别法利用比值判别法1( )1lim | |1|( )2nnnuxxux1|1| 1132xx 当，收敛1|1| 11,3213xxxx 当，可以验证当时收敛，时发散故收敛区间为故收敛区间为 1, 3)，收敛半径为，收敛半径为2第26页/共45页.21，（因此原级数的收敛域为nnnxn 0( 1)(23)21例例4 4求求的的收收敛敛半半径径、收收敛敛区区间间和和收收敛敛域域。0012) 1() 32(12)

16、1(, 32nnnnnntnxnxt则令解原级数收敛，时即当知,2123, 132, 1,xxt.2121），收敛区间为（收敛半径为R;12) 1(20nnnx交错级数时，原级数化为收敛的当.,12110发散时，原级数化为nnx1lim1nnnaa由于第27页/共45页三、幂级数的运算三、幂级数的运算1 1、代数运算性质、代数运算性质加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 第28页/共45页（2） 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 n

17、nnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx第29页/共45页（3） 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)第30页/共45页nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为,R但是但是nnnxa0n

18、xxx21其收敛半径只是其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11第31页/共45页2 2、幂级数的和函数的分析运算性质、幂级数的和函数的分析运算性质(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续.第32页/共45页(2) 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna即幂级数在其收敛区间内可以逐

19、项积分，并且积分即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. .第33页/共45页(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. .第34页/共45页注注 1、 若逐项求导或者积分后

20、的幂级数在若逐项求导或者积分后的幂级数在 x=R 或或 x=R 处也成立，则处也成立，则 11000( )( )1xnnnnnnaS xna xS x dxxn或xRxR 对或处也成立。2、 反复应用逐项求导可得：幂级数的和函数反复应用逐项求导可得：幂级数的和函数 S(x)在收在收敛域内具有任意阶导数。敛域内具有任意阶导数。 第35页/共45页001( 1)()( 11)1nnnnnxxxx 2021xaaxnn 20211)1(xxnnn )11(11120 xxxxxxnnn第36页/共45页例例 4 4 求级数求级数 11)1(nnnnx的和函数的和函数.解解,)1()(11 nnnnx

21、xs, 0)0( s显然显然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x)1ln()0()(xsxs 即即),1ln()(xxs ,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x第37页/共45页例例 5 5 求级数求级数11nnxn的和函数的和函数. 解解01( )( 11)1nns xxxn ，, 0)0( s显然显然10011( )()11nnnnxs xxxnx101( )1nnxs xxn在的两边求导数得：0 x对上式从 到 积分，得：01( )ln(1)1xxs xdxxx 第38页/共45页10( )ln(1)xs xxx 于是，当时，有1ln(1) 0 | 1( ) 1 0 xxs xxx从而1100000011( )111ln(1)1xnnnnxxnnxs xxxdxnnx dxdxxx 因为10( )ln(1)xs xxx 所以当时，有1ln(1) 0 | 1( ) 1 0