华坛无痕数学讲堂第一讲A

1、         华坛无痕数学讲堂八年级第一讲A                                  全等三角形（普课）    

2、;              学习建议：建议拥有初一数学知识再来学习此课。在数学中，有很多相等的量，比如说一对线段的长度而在图形中，最基础的，也非常特殊的一种相等，就为三角形相等。在数学上的最标准的读法为两三角形完全相等，我们简称为三角形全等。那么，什么是全等三角形呢？其定义是什么呢？如图1，a的对角为，b的对角为，c的对角为，a'的对角为'，b'的对角为'，c'的对角为'，其中a=a'，b=b

3、9;，c=c'，=，='，='，那么我们就称这两个三角形全等，其中a，b，c分别与a'，b'，c'为对应边，分别于'，'，'为对应角。                                 

4、;    图1一般的，三角形全等有如下定义：1、对应边相等2、对应角相等3、面积相等4、周长相等5、对应角平分线，中线，垂线相等6、外切圆，内接圆半径相等若ABC与DEF全等，我们一般用（全等）号来相连接表示，即ABCDEF。如果要证明三角形全等，至少需要多少个条件呢？我们先从最少的开始研究。已知一边相等或一角相等，其另外的边和角无法确定，只有一个条件不能证明三角形全等已知两边相等，夹角与其夹角对边不确定；两角相等，三角形边长不确定；一角一边相等，无法确定另两角角度与另两边长度。从如上我们可以得知，证明三角形全等至少需要三个或三个以上的条件，才可证明得出其结论。那

5、么，在已知三个条件的情况下，究竟已知哪一些条件可以证明三角形全等呢？假设已知两三角形对应边相等，由三角形的稳定性可以得知，已知三边可以确定一个三角形形状，由边可确定大小，那么三个对应角也必然相等。由三边三角相等，我们可以得知，三角形全等。那么我们可以得到一个定理：已知两三角形三个对应边相等，则三角形全等。用字母简写作SSS，读作边边边假设已知两三角形对应角相等，由于边长可以随意变换，则三角形不等。假设已知两三角形两边与其夹角相等，由稳定性可知，夹角的对应边也必然相等，由全等三角形SSS定理，可知，这两个三角形全等。那么我们又可得一个定理：已知两三角形两个对应边相等，其夹角相等，则三角形全等。用

6、字母简写作SAS，读作边角边假设已知两三角形两角一边相等，那么我们可以由三角形内角和180°求出第三个角的角度，由三个角，我们可以确定三角形的形状，由这个边，可得知三角形的大小。那么两三角形大小，形状相等，其他两边必然相等，则两三角形全等。那么我们得到的定理为：已知两三角形两个对应角和一个任意边，则三角形全等，用字母简写作ASA或AAS，读作角边角与角角边，其中角边角是在此边是两角的夹边时简写情况。现在我们只剩下边边角没有证明了！那么边边角符合三角形全等的条件吗？我们发现已知边边角的三角形其角的对边不具有稳定性，这会影响到证明三角形全等吗？如图2、3、4、5，我们发现，在图2中，已知

7、两边非夹角，会有两解出现；在图3中，没有解；在图4中，有1解；在图5中，有1解。为什么会出现这样的情况呢？                                       图2  

8、0;                              图3                    &

9、#160;             图4                                  图5我们发现，其角的对边由于没有

10、稳定性，可旋转一周，圆与直线相交有两个交点，而这两个交点恰好在已知角顶点处的同一方向时会出现2解，当异向时或1交点与顶点相交时有1解，当圆和直线没有交点时无解；当有1个交点时，即形成全等三角形的定理HL，有唯一解。那么我们假设此角为，此角已知的邻边为a，此角的对边为b，可知，当ba时，三角形有唯一解，则可证明全等。当90°时，由大边对大角定理，也可得ba则已知两边一非夹角时，对边大于已知邻边，可证明全等；此角角度90°，可证明全等。其余情况不能证明全等。上面我们总结了当已知三个条件时可证明两三角形全等的条件，其中都与角和边有关。当已知三角形四个条件时，三角形必然全等，所以在

11、题目中一般只会给出条件可以经过推理找出三个三角形全等需要具备的条件。如果我们讨论的范围扩大，变为一般两三角形对应边，角，面积，周长之间相等对其证明全等的关系，那么又需要哪些条件呢？经过试验，利用三角形性质，各种定理，我们可以得出以下的定理（具体证明详看困难型版本）已知三角形面积，一组对应边长，一组对应角角度相等，两三角形全等已知三角形面积，两组对应角角度相等，两三角形全等已知三角形面积，周长，一组对应边边长相等，两三角形全等已知三角形周长，两组对应边长相等，两三角形全等已知三角形周长，一组对应边长，一组非已知对应角角度相等，两三角形全等已知三角形周长，两组对应角角度相等，两三角形全等。由这些定

12、理，我们就可以由题目的已知进行证明三角形全等了。例1：如图6，ABCD为筝形（对角线垂直，有两组或两组以上邻边相等），现在以AB为半径作一圆，圆心为A，以AB,AD,BC,CD为边长向外分别作正方形ABEF，正方形ADGH，正方形BCIJ，正方形CDKL，连接IF,HK,IE,GK。求证：IFEGKH。E,B,D,G四点共圆。                      

13、0;      图6证明：ABCD为筝形AB=AD,BC=CD,ABC=ADCABEF,ADGH,BCIJ,CDKL都为正方形，边长分别为AB,AD,BC,CDFBI=360°-90°-90°-ABCHDK=360°-90°-90°-ADCAE=EF=BF=AB=AD=AG=GH=DHBC=BI=IJ=CJ=CD=CL=DK=KLFBI=HDK，BF=DH，BI=DKBFIDHKIFB=DHK，IF=HKIFE=360°-90°-IFB，GHK=360°-90°-DHKIFE=GHKEF=GHIFEGKHEA=AB=AD=AGE,B,D,G四点共圆在证明全等三角形时，可以用我们学过的一些定理，例如同位角相等，两直线平行，对顶角相等等等。题目中一般不会直接完全给出可证明三角形全等的条件，这时我们就需要用到这些定理，抓住等量关系进行证明。课后习题：（第一个作对3花，余下作对2花）如图7，ABCD为菱形，2AE=BE,2BG=CG,2CH=DH,2FD=AF,CJ=AI，求证：四