工程力学(运动学与动力学)-17A-动量定理和动量矩定理A

1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA U

2、NIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYvpmTSINGHUA UNIVERSITY 质点系中所有质点动量的矢量质点系中所有质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质和，称为质点系的动量，又称为质点系动量的主矢。即：点系动量的主矢。即： iiim vp 质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特

3、征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的基本特征之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。的投影形式。 ,xiixyiiyziiziiipmvpmvpmvTSINGHUA UNIVERSITY 注意到物理学中，质点系质注意到物理学中，质点系质心位矢公式对时间的一阶导数：心位矢公式对时间的一阶导数： rriiiCmmvviiiCmm 式中，式中，rC为质点系质心的位矢；为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；为质心的速度；m为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：为质点系的总质量。据此，质点系的动量可改写为： Cmvp TSINGHUA UNIVERSITY 这一结果表明，质点系的动

4、量等于质点系的总质量与质这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点心速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。的动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 Cmvp 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能动量所描述的并不是质点系整体运动全部，因为它不能描述质点系的转动效应。描述质点系的转动效应。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYei)(dd

5、iiiiimtFFFvTSINGHUA UNIVERSITYei)(ddiiiiimtFFFviiiiiiimtei)(ddFFved()dvFiiiiimtTSINGHUA UNIVERSITYed()dvFiiiiimteReddFFpiiteRFiieFTSINGHUA UNIVERSITYed()dvFiiiiimteReddFFpiitiiitteite1221dIFppTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYeReddFFpiitiiitteite1221dIFppeR0F 112CppTSINGHUA UNIVERSITYizizziyiyyi

6、xixxFFtpFFtpFFtpeReeReeRedddddde20,RxxFpCTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYiiicmmvvpeReddFFpiiteeRddddvpFFCiimttddvaCCteaFCiimTSINGHUA UNIVERSITYeaFCiimiizCiiyCiixCFzmFymFxmeee CCCzyx ,TSINGHUA UNIVERSITY 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不

7、同位置上，各作用一水平力位置上，各作用一水平力F和和F，使圆盘由静止开始运动，设，使圆盘由静止开始运动，设F = F，试问哪个圆盘的质心运动得快？，试问哪个圆盘的质心运动得快？FFABTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYeaFCiim0eeRiiFF0CavCC0Cv1Cr CTSINGHUA UNIVERSITYiizCiiyCiixCFzmFymFxmeee eeR0 xixiFF0Cxa2CxvCTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 图示系统中，三个重物的质量分别

8、图示系统中，三个重物的质量分别为为m1、m2、m3，由一绕过两个定滑轮，由一绕过两个定滑轮的绳子相连接，四棱柱体的质量为的绳子相连接，四棱柱体的质量为m4 。如略去一切摩擦和绳子的重量。如略去一切摩擦和绳子的重量。 3若将上述系统放在有凸起的地面若将上述系统放在有凸起的地面上，如图所示，当物块上，如图所示，当物块1下降下降s时，系统时，系统对凸起部分的水平压力。对凸起部分的水平压力。 求：求： 1系统动量的表达式；系统动量的表达式； 2系统初始静止，当物块系统初始静止，当物块1下降下降s时，时，假设物体相对四棱柱体的速度已知，假设物体相对四棱柱体的速度已知，四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面四棱

9、柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。的位移。TSINGHUA UNIVERSITY解解：1. 1. 确定系统的动量表达式。建立确定系统的动量表达式。建立坐标系如图示。根据坐标系如图示。根据jivp)()(iyiiixiiiiivmvmm 取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为取四棱柱为动系，四棱柱体的速度为v，各物块相对四棱柱体的速度为各物块相对四棱柱体的速度为vr，则，则 vmvmvvmvvmpx43r2r1)()cos(0)(0sin4r32r1mvmmvmpyjip)sin()cos()(31r214321mmvmmvmmmmTSINGHUA UNIVERSITY解解：2. 2. 确定四棱柱体

10、的速度和四棱柱确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。体相对地面的位移。 因不计一切摩擦，系统在水平方向因不计一切摩擦，系统在水平方向上动量守恒，即上动量守恒，即 1r2r34( cos)()0 xpm vvm vvm vm v123412r()(cos)0mmmm vmm v由此解得由此解得 r432121cosvmmmmmmvTSINGHUA UNIVERSITY2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体确定四棱柱体的速度和四棱柱体相对地面的位移。相对地面的位移。 又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，又因为系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分，得到四棱柱体的位移

11、。得到四棱柱体的位移。 r432121cosvmmmmmmvsmmmmmmx432121cosTSINGHUA UNIVERSITY解解：3.3.确定对凸起部分的作用力，可以确定对凸起部分的作用力，可以采用质心运动定理。采用质心运动定理。 设物块相对四棱柱体的加速度为设物块相对四棱柱体的加速度为a ar r，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，根据质心运动定理，并注意到根据质心运动定理，并注意到 aa re40aaiixcxmama得到得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力12coscxmam am aF故，四棱柱体的加速度

12、故，四棱柱体的加速度a a 极易由牛顿定律求出。极易由牛顿定律求出。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 电动机的外壳和定子的总质电动机的外壳和定子的总质量为量为 m1 ,质心质心C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为；转子质量为 m2 ，质心质心 O2 与转轴不重合与转轴不重合 ，偏心，偏心距距 O1O2 = e 。若转子以等角速。若转子以等角速度度 旋转旋转 求：求：电动机底座所受的水电动机底座所受的水平和铅垂约束力。平和铅垂约束力。TSINGHUA UNIVERSITY解：解：1、选择包括外壳、定、选择包括外壳、定子、转子的电动机作

13、为研子、转子的电动机作为研究对象。究对象。 2、系统所受的外力：、系统所受的外力：定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。FxFyMTSINGHUA UNIVERSITY 2、系统所受的外力、系统所受的外力定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g;底座所受约束力底座所受约束力 Fx、Fy、M。3、各刚体质心的加速度、各刚体质心的加速度aC1 aO1=0 ;aC2 aO2e 2(向心加速度向心加速度)FxFyMaO2TSINGHUA UNIVERSITY 3、各刚体质心的加速度、各刚体质心的加速度aC1=

14、aO1=0 ;aC2=aO2=e2(向心加速度向心加速度),eRxiCixiFameRyiCiyiFam 4、应用质心运动定理、应用质心运动定理FxFyMaO2xFtemmcos0221gmgmFtemmy21221sin0TSINGHUA UNIVERSITYxFtemmcos0221gmgmFtemmy21221sin0temFxcos22temgmgmFysin2221TSINGHUA UNIVERSITYtemFxcos22temgmgmFysin2221temFysin22dtemFxcos22dTSINGHUA UNIVERSITY 电动机的外壳和定子的总质量为电动机的外壳和定子的

15、总质量为 m1,质心质心 C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为转子质量为 m2 ，质心，质心 O2 与转轴不与转轴不重合重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e。转子以等。转子以等角速度角速度 旋转。旋转。如果如果底座与基础之底座与基础之间没有螺栓固定，初始条件为间没有螺栓固定，初始条件为 ：0，vO2x = 0, vO2y=e。电动机跳起的条件；电动机跳起的条件；外壳在水平方向的运动规律。外壳在水平方向的运动规律。TSINGHUA UNIVERSITY解：解：1、选择包括外、壳、定子、选择包括外、壳、定子、转子的电动机作为研究对象，分转子的电动机作为研究对象，分析系统的受力

16、：析系统的受力：定子所受重力定子所受重力m1g;转子所受重力转子所受重力m2g; 由于底座与基础之间没有螺栓由于底座与基础之间没有螺栓固定，所以没有水平方向约束力，固定，所以没有水平方向约束力，只有约束力只有约束力Fy、M。FyMTSINGHUA UNIVERSITYFyM 解：解： 2、分析运动，确定各个刚、分析运动，确定各个刚体质心的加速度体质心的加速度 定系定系Oxy固结于地面；固结于地面；xyOy1x1aO2外壳作平移，其质心加速度为外壳作平移，其质心加速度为aO1; 转子作平面运动，其质心加速转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成：度由两部分组成： ae=aO1 (牵连加速度，水平

17、方向牵连加速度，水平方向); ar=aO2=e2(相对加速度，指向相对加速度，指向O1)。aO1aO1 动系动系O1x1y1固结于外壳。固结于外壳。TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：3、应用质心运动定、应用质心运动定理确定约束力理确定约束力eRyiCiyiFamgmgmFtemmy21221sin0temgmgmFysin2221FyMxyOaO1aO1TSINGHUA UNIVERSITYtemgmgmFysin22212221emgmgmFy02221emgmgmFyemgmgm221TSINGHUA UNIVERSITY00ddeRCvmpFtpiCiixxx,TSINGH

18、UA UNIVERSITY02211xOxOvmvm1OvxvxO12Ov)(12r1ere2OOevOO方向垂直于,vvvvv0t)sin(21exmxm00ddeRCvmpFtpiCiixxx,TSINGHUA UNIVERSITY0)sin(21texmxm)d(sind02120ttmmemxtxtmmemxcos121211sinmmtemxTSINGHUA UNIVERSITYtmmemxcos1212212mmemx212mmemA0:t2 :tTSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHU

19、A UNIVERSITYeRddFpteRi)(ddFviimteReReRddddddzzyyxxFtpFtpFtp,TSINGHUA UNIVERSITY0或0或00eReReReRzyxFFF,F，eRddFpt0eRFTSINGHUA UNIVERSITYeRFaCmeReReRzCzyCyxCxFmaFmaFma,TSINGHUA UNIVERSITY0000eReReReRzyxFFF，或，或，FeRFaCmeRFaCm0eRFTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYFa meReddFFpiitpvviiCmmeRaFCmTSINGHUA UN

20、IVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 一辆大马力的汽车，在崎岖不平的山路上可以畅通无一辆大马力的汽车，在崎岖不平的山路上可以畅通无阻。一旦开到结冰的光滑河面上，它却寸步难行。同一辆阻。一旦开到结冰的光滑河面上，它却寸步难行。同一辆汽车，同样的发动机，为何有不同的结果？不要忘记在汽汽车，同样的发动机，为何有不同的结果？不要忘记在汽车的发动机中，气体的压力是汽车行驶的原动力啊。你能车的发动机中，气体的压力是汽车行驶的原动力啊。你能解释清楚吗？解释清楚吗？ TSINGHUA UNIVERSITY 为了某种工

21、程需要，人们想削去为了某种工程需要，人们想削去一座山头或想拆掉一座楼房而不一座山头或想拆掉一座楼房而不影响周围的建筑，往往采用定向影响周围的建筑，往往采用定向爆破。爆破。 定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建定向爆破时，为了确保周边一定范围以外区域内建筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地筑物以及人身安全，必须预先计算爆破飞石散落的地点。你知道爆破飞石散落的地点是根据什麽计算出来点。你知道爆破飞石散落的地点是根据什麽计算出来的吗？的吗？ TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVE

22、RSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 不可压缩的流体在变截面弯不可压缩的流体在变截面弯管中定常流动管中定常流动(流量不随时间而流量不随时间而变化变化)，如图所示。系统的边界，如图所示。系统的边界由截面由截面1和和2所确定。流体的重所确定。流体的重力为力为W，出口和入口两截面上，出口和入口两截面上分别受到相邻流体压力分别受到相邻流体压力F1和和F2的作用，管壁的总约束力为的作用，管壁的总约束力为FN 。 TSINGHUA UNIVERSITY 以截面以截面1和和2之间的流体为研究对之间的流体为研究对象。设在象

23、。设在 t时间间隔内，流体由截时间间隔内，流体由截面面1和和2之间运动至之间运动至1 和和2 之间。在之间。在t瞬时，其动量为瞬时，其动量为p，在，在t t瞬时，瞬时，动量为动量为p ，则在，则在 t时间间隔内动量时间间隔内动量的改变量为的改变量为 1 21 21 22 21 11 2()()pppvvvvvviiiiiiiiiiiimmmmmmTSINGHUA UNIVERSITY注意到研究的是定常流动，故有注意到研究的是定常流动，故有 )()(211122212121iiiiiiiiiiiimmmmmmvvvvvvppp2121iiimmvvi又因由又因由1 1至和至和2 2至均是非常小的

24、质量微团，故有至均是非常小的质量微团，故有 212 21 1pvviiiimmm vv TSINGHUA UNIVERSITY将此式等号两侧同除以将此式等号两侧同除以 t t ，并对，并对 t t取极限，则有取极限，则有 212 21 1pvviiiimmm vv )(dd12vvpmqtTSINGHUA UNIVERSITY式中式中)(dd12vvpmqt为质量流量，表示单位时间内流入或流出的质量；为质量流量，表示单位时间内流入或流出的质量；2211vAvAqm 为流体的密度；为流体的密度；A1 和和A2分别为入口和出口处的横截面面分别为入口和出口处的横截面面积；积；v1 和和v2分别为入口

25、和出口处的速度。分别为入口和出口处的速度。 TSINGHUA UNIVERSITY)(dd12vvpmqt根据质点系动量定理微分形式的表达式，有根据质点系动量定理微分形式的表达式，有 N212FFFWFvv)(1mq这就是应用于定常流体的动量定理。解题时只要根据需要列出这就是应用于定常流体的动量定理。解题时只要根据需要列出投影方程即可。投影方程即可。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYBBAAmmvvpcos2sin2lxlyBATSINGHUA UNIVERSITYB

26、BAAmmvvpcos2sin2lxlyBAsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAATSINGHUA UNIVERSITYsin2sin2cos2cos2llxvllyvBBAAjipcos2sin2lmlm)cos(-sin2ji lmBBAAmmvvpTSINGHUA UNIVERSITY)cos(-sin2jip lmTSINGHUA UNIVERSITY 水流以体积流量水流以体积流量qV通过内径通过内径为为d1管道，由内径为管道，由内径为d2喷嘴喷喷嘴喷出，管道内的压力为出，管道内的压力为p1，水流，水流的密度为的密度为 。管道与喷嘴之间。管道与喷嘴之间通过法兰用通过法

27、兰用6个螺栓相连。个螺栓相连。 求：求：每个螺栓的受力。每个螺栓的受力。 解：解：分析以喷嘴的左右截面分析以喷嘴的左右截面(11和和22)为边界所包含的质为边界所包含的质量流根据体积流量与速度和管道横截面积的关系，有量流根据体积流量与速度和管道横截面积的关系，有442222112211dvdvAvAvqVqv1122TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：分析以喷嘴的左右截面分析以喷嘴的左右截面(11和和22)为边界所包含的质量流根据为边界所包含的质量流根据体积流量与速度和管道横截面积的体积流量与速度和管道横截面积的关系，有关系，有442222112211dvdvAvAvqV22221144dqvdqvVV,qv1122TSINGHUA UNIVERSITY 解：解：分析喷嘴内质量流的受力分析喷嘴内质量流的受力p1A1管道内的质量流对管道内的质量流对11截截 面的压力；面的压力；p2A2 喷嘴右侧大气对喷嘴右侧大气对22截面截面 的压力的压力p2A2 0；FN喷嘴内壁对质量流的约束喷嘴内壁对质量流的约束 力，沿着喷嘴的轴线方向。力，沿着喷嘴的轴线方向。FTFNTSINGHUA