空间曲线及其方程(15)课件

1、 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第三节第三节空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2 又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.

2、022222xayxyxazyxzao zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数t 的函数的函数: :称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .)(txx 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M 补充例补充例. . 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: :6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayx

3、yxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t 绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面即球面 ) 方程为方程为 又如又如, , xozxoz 面上的半圆周面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如形如),( t

4、sxx ),( tsyy ),( tszz 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC zyxC1o例如例如, ,在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1

5、() 1(1:222222zyxzyxC zxyo1C又如又如, ,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为: :上半球面上半球面和锥面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线二者交线.0, 122zyx所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 . 内容小结内容小结 空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或参数方程或参数方程 求投影曲线求投影曲线 (如如, 圆柱螺线圆柱螺线) P324 题题 1，2，7（展示空间图形展示空间图形） P324 题题1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案: : (3)zxyo oaoa222azx222ayx P324 题题2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何交线情况如何?,3时当b交线情况