空间向量运算的坐标表(2)课件

1、123单位正交基底：单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为直，且大小都为1 1，那么这个基底叫做单位正交，那么这个基底叫做单位正交基底，常用基底，常用 来表示来表示. . , ,i j k i k j 下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系4 在空间选定一点在空间选定一点O O和一个单位正交基底和一个单位正交基底 以点以点O O为原为原点，分别以点，分别以 的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，轴，这样就建立了一个空间直角坐标系这样就建立了一个空间直角坐标系O xyz . . x 轴、

2、轴、y 轴、轴、z 轴，都叫轴，都叫做做叫做坐标轴叫做坐标轴, ,点点O 叫做叫做原点原点，向量向量 都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过通过每两个坐标轴的平面叫做每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面. ,i j k ,ij k ,ij k 123(,)A a a aa xyzOkij 对空间任一向量对空间任一向量 , ,由空间由空间向量基本定理，存在唯一的有序实向量基本定理，存在唯一的有序实数组数组 , ,使使a 123( ,)a a a123.a a i a j a k 空间直角坐标系空间直角坐标系5坐标化规律坐标化规律思考思考2 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O x y z 中，对空间

3、任一点中，对空间任一点A, 对应一个向量对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使使 (如图如图).OA OAxiy jzk 显然显然, 向量向量 的坐标，就是点的坐标，就是点A在此空间直角在此空间直角坐标系中的坐标坐标系中的坐标(x,y,z).OA xyzOA(x,y,z)ijk 也就是说也就是说,以以O为起点的有向为起点的有向线段线段 (向量向量)的坐标可以和点的坐的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系标建立起一一对应的关系,从而互从而互相转化相转化. 我们说我们说,点点A的坐标为的坐标为(x,y,z),记作记作A(x,y,z)，其中，其中x叫叫

4、做点做点A的的横坐标横坐标,y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标,z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.6空间向量运算的坐标规律空间向量运算的坐标规律: :, 则则设设123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab 112233(,)ab ab ab 112233(,)ab ab ab 123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b 112233,()ab ab abR 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量7练习练习1:1:已知已知 求求),4, 1 , 3(),5 , 3, 2(babaababa,8 ,(2

5、, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)29a b 解解: :8结论：若结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减

6、去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标. . 如果知道有向线段的起点和终点的坐标如果知道有向线段的起点和终点的坐标,那么有向线段表示的向量坐标怎样求那么有向线段表示的向量坐标怎样求?9继续继续F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例5如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E

7、11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBEDFBEDF 1011小结：小结：1、空间向量的坐标运算；、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：系的关键： 首先要选定单位正交基底，进而确定各向首先要选定单位正交基底，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。系。1213O xyz以以 建立

8、空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyzi k j xyz( , , )P x y z 若若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则则 AB = OB - - OA=( (x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )141516171答案答案2答案答案A1D1C1B1ACBDFE18证明证明: 设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证19a b c 201.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。