高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数2课件1北师大版必修

1、3.3 二倍角的三角函数(二)1.:两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin() sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan 2.2.二倍角公式二倍角公式22222sin2 2sincos ;cos2cossin12sin2cos12tantan21tan 这些公式是否还有其他的变形，请进入本节课的这些公式是否还有其他的变形，请进入本节课的学习！学习！1 1. .能够由倍角公式推导出半角公式能够由倍角公式推导出半角公式. .（重点）（重点）2 2. .能较熟练地运用半角公式进行化简、求值、证明能较熟练地运用半角公式进行化简、求值、证明, ,了解

2、公式的各种变形，并能够熟练应用了解公式的各种变形，并能够熟练应用. .（重点）（重点）3 3. .能够运用半角公式解决一些实际问题能够运用半角公式解决一些实际问题. .（难点）（难点）1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cos.sin 例例1 1 利用二倍角公式证明：利用二倍角公式证明：2222cos212sincos22cos1cos12sin;22cos2cos1;21cossin;221coscos;22 在在二二倍倍角角公公式式 中中，用用代代替替 得得 由由此此证证明明 得得 1costan.21cos用用上上面面两两个个公公式式两两边边分分别

3、别相相除除，可可得得： sinsin2cossin222tan21coscoscos2cos222sinsin2sin1cos222tan.2sincoscos2sin222 ；又根据正切函数的定义，可得：又根据正切函数的定义，可得：这样我们就得到另外两个公式：这样我们就得到另外两个公式：sintan21cos1costan.2sin ；以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，称之为称之为半角公式半角公式. .变式练习 化简下列各式：化简下列各式： (1)1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos ， 其中其中 32； (2)1cos

4、 cos 2cos 3cos2 sin2 2. 解 (1)32，2234. 1cos 2cos2 2cos 2， 1cos 2|sin 2| 2sin 2. 1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos 1sin 2cos 2sin 21sin 2sin 2cos 2 cos 2sin 22 2cos 2sin 2sin 2cos 222sin 2cos 2 2cos 2. (2)1cos cos 2cos 3cos2sin2 2 1cos 2cos2cos2cos21cos 2 2cos22cos 2cos 2cos2cos 122cos cos cos 22cos2cos 1

5、2 2cos cos 2cos212cos2acos 124cos . 122322.4（ ）左左边边角角是是右右边边角角的的一一半半. .（ ）左左边边是是的的三三角角函函数数一一次次式式，右右边边是是含含有有 的的三三角角函函数数的的根根式式. .（ ）根根号号前前面面的的符符号号由由所所在在象象限限相相应应的的三三角角函函数数值值的的符符号号确确定定，如如果果所所在在象象限限无无法法确确定定，则则应应保保留留根根号号前前面面的的正正、负负两两个个符符号号（ ）有有理理式式，余余弦弦和和式式在在分分母母，差差式式在在分分子子. . 1.1.半角公式的特征与记忆：半角公式的特征与记忆：总结提

6、升：总结提升：2.2.半角公式的作用：半角公式的作用：（1 1）半角公式的作用在于用单倍角的三角）半角公式的作用在于用单倍角的三角函数来表达半角的三角函数，它适用于单倍函数来表达半角的三角函数，它适用于单倍角与半角的三角函数之间的互化问题角与半角的三角函数之间的互化问题. .（2 2）半角公式是从二倍角公式中，将）半角公式是从二倍角公式中，将 用用 代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍代替推导出来的，记忆时可联想相应的二倍角公式角公式. .2 3 3、关于公式的几个说明：、关于公式的几个说明：（1 1）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均）正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立，对于正切的半角

7、公式成立，对于正切的半角公式 21().kkz 半半角角公公式式不不仅仅可可运运用用于于将将作作为为 的的半半角角的的情情况况，还还可可以以运运用用于于诸诸如如将将作作为为的的半半角角；将将 作作为为的的半半角角; ;将将作作为为的的半半角角；将将作作为为的的半半角角（等等情情况况）等等式式中中的的 “半半角角”的的意意义义是是相相对对的的，如如：. .2242334222 例例2 2已已知知，求求的的值值73cos,2252sin,cos,tan.222 33,2.224711cos325sin2225 因因为为，故故，运运用用半半角角公公式式，解解有有，711cos425cos22253s

8、in352tan.424cos25 点评：点评：看清角的取值范围，记住公式的结构形式看清角的取值范围，记住公式的结构形式. .解：(1)cos 22sin212sin22sin21； (2)1sin 2cos 21sin 2cos 2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2 sin cos cossin sin cos cos sin 2sin 2cos tan . 2221cossin,221coscos,221costan21cos 引申：公式变形：引申：公式变形：1.1.降幂升角公式降幂升角公式2.2.升幂降角公式升幂降角公式2221cos2sin,21cos

9、2cos,21costan.1cos2 22332,2224125cos2- 1sin 211313511cos2313tan.12sin2213 因因为为故故是是的的一一半半，运运用用半半角角公公式式，有有，所所以以解解 例例 已已知知，求求1232sin22,tan.132 例例3 3变式训练变式训练 已知已知 cos 435，232，求，求 cos 24的值；的值； 解 (1)232，34474. cos40，32474. sin4 1cos24 135245. cos 2sin(22)2sin4cos4 245352425， sin 2cos2212cos24 12352725. co

10、s2422cos 222sin 2 22242572531 250. =1=cos=acosb 1.1.设设向向量量（，）与与向向量量（-1,2cos )-1,2cos )垂垂直直， 则则2 2（ ）a. b. c. d. 221201c cb b53(),32()226666 b c. d.3663sin sina2.若，且，则 3.3.已知已知 ，则，则 （ ） a. b. c. a. b. c. d.d.2sin232cos ()413122316解解: :2211sin213cos ()4226所以所以21cos2()1cos(2)1sin242cos ()4222因为因为acos20

11、 cos40 cos60 cos80 ;sin10 sin30 sin50 sin70 .4 4. .化简：（化简：（1 1）（2 2）sin20 cos20 cos40 cos60 cos80sin201 sin40 cos40 cos60 cos802sin201 sin80 cos60 cos801sin160 cos604sin208sin20解解: :（1 1）原式）原式1 sin1601.16 sin2016sin10 cos10 cos20 sin30 cos40cos101 sin20 cos20 sin30 cos402cos101 sin40 sin30 cos404cos

12、101sin80 sin301.8cos1016（2 2）原式）原式2tan()3sin22cos.4 5 5. .已已知知：，求求 的的值值 解法解法1 1： tan()34因因为为 1tan,31tan 所所以以 1tan.2 解解得得 于于是是2sin22cossin2cos21 2222tan1tan11tan1tan4341.555 例4的结论2222sin22cossin2cos211tan ()2tan()4411tan ()1tan ()44192 341.19195 解法解法2 2： 333sin3 coscos3 sinsin4 .46 6. .求证：求证：所以，原式成立所以，原式成立. .22sin3 coscoscos3 sinsin1 cos21 cos2sin3 coscos3 sin221(sin3 coscos3 sin )21cos2 (sin3 coscos3 sin )2113sin4cos2 sin2sin4224证明证明: :左边左边右边右边,1 1公公式式的的特特点点：尤尤其其是是 “倍倍角角”与与 “半半角角”的的意意义义是是相相对对的的，如如： 是是的的半半角角2 2熟熟悉悉 “半半角角”与与 “二二次次”的的关关系系（升升角角降降次次，降降角角升升次次）3 3特特别别注注意意公公式式的的三三角角表表达