初中数学重点梳理：旋转

1、旋转.知识定位旋转在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，是解决平而几何中最重要的工具之一, 它的有关知识是今后我们学习综合题目重要基础。本节需要掌握旋转图形变换的特征：学会 运用旋转的特征进行图形的求解换。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中旋 转相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。1知识梳理1、旋转的定义在平面内，把一个图形绕着某一个点0旋转一个角度的图形变换叫做旋转。点0叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点 叫做对应点。注意：旋转是闱绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角

2、，且旋转 前后图形能够重合，这时判断旋转的关键.旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向.旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。2、旋转的基本特点（1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.（2）旋转三要素：旋转中心；旋转方向：旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.3、旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360,）后能与原图形重合，那么这 个图形就叫做旋转对称图形。常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.4、中心对称（1）中心对称的定义：把一

3、个图形绕着某个点旋转180；,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图 形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中 心的对称点。（2）中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. （3）中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这 个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是 指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相

4、同.（4）常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.5、关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x, y）关于原点。的对称点 是 P' （-x, -y）.（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平而直角坐标系中的应用， 它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的 坐标.（3）坐标与图形变化-旋转1）关于原点对称的点的坐标：P（X, y） =>P （-x, -y）2）旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度

5、和图形的特殊性质来求出 旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30； 45° , 60° , 90° , 180c .6、几种常见的变换（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等.两对应点连线段与给定的有向线段 平行（共线）且相等.（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于 对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分.（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条 线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线

6、；对应线段的比等于位似比的 绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方：不经过位似中心的对应线段平行，即一直线 变为与它平行的直线：任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心 为对应点：两对应圆相切时切点为位似中心【试题来源】 【题目】在AABC中，/C为等腰直角三角形，AB=BC, P为ABC内一点，若PA2+2PB2=PC?求ZAPB的大小【答案】135 【解析】解：作AABP R (B, 90° ) ACP' B, NAPB=NCP ' B, P ' C=PA, PB=P ' B , NPBP ' =ZRTAXVPA2+2

7、PB2=PC2，/APC二NAPNBP'C=900 +45° =135°【知识点】旋转【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设P为等边三角形ABC内一点，且PA=5, PB=4, PC=3,求此三角形的边长。【答案】【解析】 解：将AAPC绕C逆时旋转60°到BDC的位置，则ADPC是等边三角形。JBD=PA=5, PB=4, PD=PC=3 DPB是直角三角形，NDPC=90° o过B作CP的垂线，PB=4,则 BE=2, EP=2A ZBPE=180° -90° -60° =30°在直角

8、三角形BEC中,BC2= BE2+ EC2=22+ (2+3) 2=25+12.BC=【知识点】旋转【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】2006年北京初二数学竞赛试题 【题目】在ABC中AC=BC ZACB=90° D、E是边AB上的两点.AD=3.BE=4 ZDCE=45°则4ABC的面积是多少【答案】36 【解析】解：把4CAD绕c逆时针旋转90°得到4CBF则CADgZkCBF二 BF二AD二3 ZA=ZCBF=45°? ZCBA=45°ZEBF=90°VBE=4AEF=5AEi 而 ZEAEiADCEAFCE.DE=

9、EF=5ASaabc=-AB2=1(3 + 4 + 5)2 =36 44【知识点】旋转【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2012年北京市初二学生数学竞赛试题【题目】设P为等边ABC内一点，AP=3、BP=4、CP=5则四边形ABCP的而枳为多少【答案】6+46 【解析】 解：以B为旋转中心，将AABP顺时针旋转60°角到BQC的位置，连接PQ易知BPQ是等边三角形因为 PQ二BQ=BP=4, ZPQB=600又BQCZAPB，CQ=AP=3则。2 =52 = 32 +42 =CQ2+PQ2：.ZPQC=90°故 S 网变形 ABCP二S 四变形 PBQC二SPB

10、Q+SaPBQ=-x42 + x 4x3=6+47342【知识点】旋转【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】2011年数学周报杯全国初中数学竞赛试题【题目】如图已知正方形ABCD的边长为1, P、Q是其内两点，且NPAQ=NPCQ=45°,求SaPAB +S/.PCQ+S/.QAB【答案】1/2 【解析】 解：将AQD绕点A顺时针旋转90°至AQ/B.CQD绕点C逆时针旋转90°至CQB连接PQ/,PQ则APQ/gZAPQ, ACPQACPQ由NABQ+NCPQ =NADQ+NCD890°知Q/、B、Q三点共线且B(V=DQ/=BQ贝|J Sz

11、xPBq/ =S,、PBQ故 SZ；PAB +S/,PCQ+SaQAB =SaPAQ +Sapbc+Saqcd1二一S H AftABCD2=£2【知识点】旋转【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，P是等边三角形ABC内一点，ZAPB, ZBPC, NCPA的大小之比为5： 6： 7, 则以PA, PB, PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）【答案】2： 3： 4【解析】 解：如图，将4APB绕A点逆时针旋转60。得APT,显然有AP'CgAAPB.连 PP',APGAP, NPAP=60。，.APT是等边三角形，PPJAP,P9=P

12、B,PCP的三边长分别为PA, PB, PC,V ZAPB+ZBPC+ZCPA=360% ZAPB： ZBPC： ZCPA=5： 6： 7, AZAPB=100°, ZBPC=120°, ZCPA=140%J NPP'C=/AP'C - ZAPT=ZAPB - NAPT=100° - 60°=40%ZPPC=ZAPC - NAPP'=140。- 60°=80°, NPCP'=180°- (40°+80°) =60%NPP'C ZPCPZ： NP'PC=2：

13、3： 4.【知识点】旋转【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，2ABC内，ZBAC=60", ZACB=40% P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分 别是NBAC, NABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP.【答案】如下解析【解析】 证明：延长AB到D,使BD=BP,连接PD.则ND=N5.TAP, BQ 分别是NBAC, NABC 的平分线，ZBAC=60°, ZACB=40°, ，N1=N2=3O°, ZABC=180°- 60° - 40°=80%Z3=Z4=40°=

14、ZC.，QB=QC, 又 ND+N5=N3+N4=80。， ，ND=400.在ZAPD 与 AAPC 中， AP=AP,N1=N2, ZD=ZC=40° AAAPDAAPC (AAS), AAD=AC.即 AB+BD=AQ+QC, ，AB+BP=BQ+AQ.21【知识点】旋转 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在梯形 ABCD 中，AD/7BC, ZD=90% BC=CD=12, NABE=45°,点 E 在 DC 上,AE、BC的延长线交于点F,若AE=10,则Smde+Sacef的值是.【答案】30或48【解析】 解：过B点作BG_LAD交D

15、A的延长线于G,得四边形BCDG为正方形, 又把RtaBCE绕点B顺时针旋转90。，得BGE，贝ij BE=BE 且 NEBEJ90。， ZABE=45°, AB=AB, ABE 名 ABE,AAE/=AE=10,设 CE=x,贝lj AG=10 - x, DE=12 - x, AD=DG - AG=x+2, 在 RtZkADE 中，由(12-x) 2+ (x+2) 2=102,得 x=4 或 x=6. ADCF, CEFs/WEA,也电 3)2=2：SDEA 比12 - x又 SaAde=xADxDE=1 (x+2) (12 - x),22S.CEF=；(x+22 (12- x)当

16、 x=4 时，Saade=24, Sacef=6,故 Se.ade+S£CEF=30,1【知识点】旋转【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，在4ABC中,ZBAC=120% P 是4ABC 内一点,则 PA、PB、PC、AB、AC 的关系【答案】AB+ACVAP+BP+CP 【解析】 解：把"PC绕A逆时针旋转60。得到AAPC,如图，NCAC=NPAP，=60。，AC=AC AP=AP, PC=PC.APP为等边三角形，PPJAP,VZBAC=120°,/. ZBAC=120°+60°=180%即B, A, C共线，B

17、CVBP+PP4PC,即 AB+ACVAP+BP+CP.【知识点】旋转 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3,则PC所能达到的最大值为是多少【答案】5【解析】解：把PA绕点A逆时针旋转60。，得 AD,则 DA=PA,连 CD. DP, CP,如图, V ABC为等边三角形ABC,A ZBAC=60°, AC=AB AZDAC=ZBAP.AADACAPAB,:.DC=PB,而 PB=3, PA=2,ADC=3>VPC<DP+DC,：.PC<5,所以PC所能达到的最大值为5A【知识点】旋转【适用

18、场合】当堂练习题【难度系数】4'演练【试题来源】【题目】）如图，4ABC是等腰三角形，ZC=90% 0是aABC内一点，点0到2ABC各边的距离等于1,将AABC绕点0顺时针旋转45。得到A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ.证明：AAKL, BMN, ZkCPQ都是等腰直角三角形.求证：AABC与AiBiCi公共部分的面积.【答案】如下解析【解析】 证明：连接oc、0C1，分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得NCOQ=45。.V点0到AC和BC的距离都等于1, ，OC是NACB的平分线.,: ZACB=90°A ZOCE=ZOCQ=45°同理 /

19、OC1 D= N OG N=45。:.ZOEC=ZODCi=90°:.ZCQP= ZCPQ= Z C! PN= ZC i NP=450.CPQ和CiNP都是等腰直角三角形.AZBNM=ZCiNP=45°ZAiQK=ZCQP=45°,VZB=45°ZAi=45%.BMN和AANQ都是等腰直角三角形. AZBiML=ZBMN=90% ZAKL=ZAiKQ=90° AZBi=45°ZA=450和AAKL也都是等腰直角三角形.在 RtAODCi 和 RtAOEC 中，VOD=OE=h ZCOCi=45°AOC=OCi=V2ACD=C

20、iE=V2- 1Z. PQ=NP=2(V2- 1)=272 - 2, CQ=CP=CiP=CiN=V2(V2- I) =2-a/2一CPqA义 9-a)2=3 - 2M 乙延长CO交AB于HCO 平分NACB,且 AC=BCACHI AB,ACH=CO+OH=V2+1/.AC=BC=AiCi =BiCi =V2(V2+D =2+V2>A(2+收 2= 3+2 6，乙VAiQ=BN= (2+V2)- (272-2) - (2-6)=2,AKQ=MN=-=a/2>V2；，SABH=2 (迎)二1'VAK=(2+V2)- (2-V2)-V2=V2>A SAAKL 4 X (

21、迎)之斗 S多边形KLMNPQ=SaaBC 一 $ACPQ - 2ABW - SaAKL=(3+2VI)- (3- 2*)-1-1二蚯- 2【知识点】旋转 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5【试题来源】【题目】已知，直角三角形ABC中，ZC=90%点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6.（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=时，四边 形BCDP是矩形；（2）将点B绕点E逆时针旋转.如图2,旋转到点F处，连接AF、BF、EF.设NBEF=a。，求证：4ABF是直 角三角形：如图3,旋转到点G处，连接DG、EG.已知NBEG=90。，求4DEG的面积.【答案】

22、如下解析【解析】解：（1）四边形BCDF是矩形，.DP=BC=6,.点D、E分别是边AC、AB的中点，:.DE/BC=3, :. EP=6 - 3=3,2故答案为：3；（2）丁点E是边AB的中点，AE=BE,:根据旋转的性质可得，BE=EF,，BE=EF=AE,在4BEF 中，ZBEF=a%可得NEBF=NBFE(180° - a°) =90° -工°,22在4AEF 中，可得 NEAF=/AFE'NFEB=la。，22，ZBFE+ZAFE=90° -工。工。=90。，2 2.ABF是直角三角形：过点E作EKJ_BC,垂足为点K,过点G

23、作GM_LDE交DE延长线于M,点D、E分别是边AC、AB的中点，DEBC V ZC=90%:.ZEDC=90%V ZC=90% EK1BC, GM IDE,AZM=ZEKB90% EKDC,AZMEK=ZEDC=90°,AZMEB+ZBEK=90%VEG1AB, A ZGEB=90°,，ZGEM+ZMEB=90% AZGEM=ZBEK, ,将点B绕点E逆时针旋转到G,EG=BE, ZM=ZEKB在aGME 和 ABKE 中 9： ZGEM=ZBEK ,EG 二 BE AAGMEABKE (AAS), ，GM=BK, / ZC=ZEKC=ZEDC=90%,四边形DCKE是矩

24、形，DE=CK=3, AGM=BK=6 - 3=3, 二DEG的面积为1dExGMjx3x3一222【知识点】旋转【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD, NBAD=60°, NBCD=120°那么AC BC+CD.（填或/或=）【答案】相等【解析】 解：将4ABC绕点A逆时针旋转60。到4ADE, 则有4ABC与4ADE全等. ，AC=AE, ZABC=ZADE./ Z BAD=60°, Z BCD=I 20°.J Z ADC+ Z ADE= Z ADC+ Z ABC= 180°.

25、AC. D、E三点共线. ABC+CD=DE+DC=CE.又丁/CAE等于旋转角，即NCAE=60。， .,ACE为等边三角形.AAC=BC+CD.【知识点】旋转【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中NC=9（T,NB=NE=30。.（1）如图2,固定AABC,将aDEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，设aBDC的而积为Si, ZiAEC的而积为S2,那么S1与S2的数量关系是；图1图21（2）当ADEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S2的数量关系仍 然成立，并尝试分别作出了 ABDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）如图4, NABC=60。，点D在其角平分线上，BD=CD=6, DEAB交BC于点E,若 点F在射线BA上，并且S,、,dcf=Sabde，请直接写出相应的BF的长.图4【答