高等数学上册导学案

1、 高等数学(上)期末复习指导 09年12月目 录第一部分 常考题型与相关知识提要 1第二部分 理工大学0108级高等数学(上)期末试题集（8套题） 180108级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39模拟试题参考解答 46第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57第一部分 常考题型与相关知识提要 题型一 求极限的题型相关知识点提要须熟记下列极限:(1)基本的极限： 1）， 2）， 3） (2) 重要极限 1） 2）() 常见的等价无穷小 ， 其中 ()时，无穷大量的级别依次从小到大排列.求极限的方法:方法1、运用四则运算

2、法则运用四则运算法则求极限时要注意运算条件：1）所有极限存在.2）分母极限不为；3）有限成立.方法2、运用连续函数性质：如，则方法3、运用定理：有界量乘无穷小量仍是无穷小量方法4、运用两边夹法则方法5 利用左右极限方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素方法7、利用重要极限方法8、用等价无穷小替换要注意使用条件：只能代换极限式的分子或分母中的因子，而不能代换“项”.方法9、用罗比塔法则要注意条件：（1）、必须是标准型未定式 （2）、必须极限存在技巧：使用前先用下列方法化简（1）、使用变量代换（2）、使用无穷小代换 （3）、先将能定形的极限算出01-08年相关考题较基本的极限

3、：1（01、一（1）、）2= . （05、一（1）、3）3若,则= . （02、一（1）、3）4则 . （04、一（2）、3）5数列，则_（03、一（1）、3）6、在的某去心邻域内无界是的_条件. （03、一（2）、3）7.计算.（07.二.1.68.则 .（08一 、1、3）可用罗比塔法则或等价无穷小替换法计算的极限：9求（01、二(2)、5）10求 （03、二（1）、5）11（03、二（2）、5）型的极限12.= （05、一（2）、3）13极限（06、一（2）、3）14函数 （04、一（3）、3）15.,则 16. . （08一 、2、3）含有积分号的极限：17.（02、二（1）、5）18

4、求极限.（06、二（1）、6）19计算极限：（04、二（1）、6）20计算极限.（05、二（1）、6） 21.已知连续，求（08二、2 、7）题型二 求导数的题型相关知识点提要求导数方法：1）用定义2）用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.求导时要注意下列事项:(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;(2)表示;(3) 幂指函数要取对数才能求导;(4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:(5)给定点导数应先求导再代值.(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数

5、中不得含有求导对象后再用求导公式.01-08年相关考题求显函数的导数:1,求.（01、二（2）、5）2，求.（05、二（2）、6）3，其中可导，求.（02、二（2）、5. . （08一 、4、3）求隐函数的导数:5.求由方程所确定的隐函数的导数.（01、二（3）、5）6.设函数由方程确定，求.（05、二（3）、6）7.函数由方程确定，求.（06、二（3）、6）8设函数由方程确定，求.（07.二.3.6）求参数方程的导数9，求和（04、二（3）、6）10求由参数方程确定的函数的导数（06、二、2）11. 设求.（08二、1 、7）积分上限求导12.设则 （02、一（3）、3）13设，求（04、二

6、（8）、6）14.设可导，为正整数，证明：（07.五4）15设，求.（07.二2，6）16.设由方程所确定，则 . （08一 、7、3）求微分17存在, 求（03、二（3）、5）18. （01、一（2）、3）19.设，求 （04、二（2）、6）20.设，（），求.（02、二（3）、5）21设，可导，则 （07、一3.3）题型三 关于连续与可导概念的题型相关知识点提要 左右极限存在的间断点为第一类间断点, 左右极限相等的间断点为可去间断点. 左右极限存在但不相等的点为跳跃间断点，左右极限至少有一者不存在的间断点为第二类间断点01-08年相关考题 函数的连续性:1.函数,当= 时连续. （02、一

7、（2）、5）2，若在连续，则= （05、一（3）、3）3是函数的第 类间断点（04、一（4）、3）.4.使函数在处连续，应补充定义 .（06、一（1）、3）5是的可去间断点,则常数的取值范围是_（03、一（3）6.点是函数的第一类间断点中的 间断点（07.一2）7. 曲线上经过点的切线方程为 . （08一 、3、3）函数的可导性:8设为了使在连续可导函数，应取什么值？（05、三、8）9、设，在处可导，求.（03、三、5）10讨论为何值时，函数在处可导.（03、一（4）、8）11.函数在点处的导数为 （01、一（8）、3）（03、一（5）12、已知连续，（为常数），求（1）;（2）;（3）讨论在

8、处的连续性. （08五 、6） 13. 存在，则极限.（ 06、一（3）、3）14.则与之间的关系是 题型四 求函数的单调区间、凸凹区间与拐点的题型相关知识点提要由得到分界点将的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用的符号即可判别的单调性,从而得到函数的单调区间;由得到分界点将的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用的符号即可判别的凸凹性,从而得到函数的凸凹区间; 凸凹区间的分界点即为拐点.01-07年相关考题单调区间的考题1函数在内单调 . （ 04、一（5）、3）2函数的单调增加区间为 . （ 05、一（5）、3）凸凹区间与拐点的考题:3.当 时,点(1, 3)为的拐点. （ 02、一（5

9、）、3）4曲线在区间 上是凸的，在 上是凹的，拐点是 .（ 04、一（6）、3）5.曲线的拐点是_（ 06、一（5）、3）6曲线的拐点为 （ 05、一（6）、3） 7.设，试问点是否是曲线的拐点，为什么？（ 03、四、8）8.曲线的拐点坐标是 （07、一、5、3）题型五 求极值与最值的题型相关知识点提要1)对一元函数由得到”可疑点”,再用判别法一或判别法二(对驻点) 即可判别点是否为极值点;2) 对一元函数由得到”可疑点”,将其值与端点处的值比较即可得到闭区间上的最值.01-08年相关考题1.可导函数在点处取得极值的必要条件是_.（ 03、一（6）、3）2.的极值. （ 06、二（4）、6）3

10、.在1-4上的最小值为 . （ 02、一（10）、3）4.讨论在其定义域上的最大值与最小值. （ 01、七、6）5求函数在何处取得最小值（ 05、二（4）、6）6求的极值.（07、二、6）7.求函数的极值. （08三、1 、7）题型六 求（不）定积分的计算的题型相关知识点提要1)主要方法:直接积分法与换元法(特别式三角代换和根式代换)和分部积分法.2)记住16个积分公式及下列补充公式:, , , , 3)掌握下列常见凑微分的式子: 4) 掌握奇偶函数的积分方法其中 为偶函数，为奇函数5) 掌握形如的积分方法（1）（2）(3)6)掌握分段函数的积分法:逐段积分后再相加.01-08年相关考题可以直

11、接计算或用凑微分方法求解的积分1.求 （ 01、一（4）、3） 2.求（ 01、二（4）、5）3.求（ 02、二（4）、5） 5.求 （ 01、三（2）、5）6求 （02、三（1）、5） 7求（02、三（2）、5）8.计算定积分.（ 06、二（6）、6） 9.求 （ 04、二（4）、6）10计算（ 05、二（5）、6）11计算（ 02、三（3）、5）12计算不定积分（07、二、5、6）可以用换元法求解的积分13 （ 05、二（6）、6） 14. （ 04、二（6）、6）15.（ 01、二（5）、5） 16计算.（07、二、6、6）17. （08三、2 、7）可以用分部积分法求解的积分:18.

12、（ 04、二（5）、6） 19 （ 02、三（4）、5）20. （ 02、二（5）、5） 21. （ 06、二（5）、6）22. （08三、3 、7）奇偶函数的积分23.设在连续并且为偶函数,则 （ 01、一（3）、3）24设函数在上连续，则（04、一（7）25.（ 05、一（7）、3）26.用奇偶性计算定积分.（ 06、一（6）、3）27. . （ 02、一（7）、3）28. （ 01、三（1）、5） 29.求（02、二、（6）、5）30 （07.二、7、6）31.为常数） . （08一 、6、3）与积分概念有关的积分32.使公式成立的常数应满足的条件是 .（ 03、一（7）、3）33.设是

13、的一个原函数,则= （ 02、一（6）、3）34.设物体以速度做直线运动, 则上物体经过的路程是_（ 03、一（8）、3）35.设，在处可导，求.（03、三）、3）36定积分 （07、一、4、3）37设是的一个原函数，则 （07、一、6、3）38. 已知的一个原函数为，则 . （08一 、5、3）题型七 求广义积分的题型相关知识点提要 与正常积分的计算方法类似,但要注意到中间有瑕点时要在瑕点处分开计算.01-08年相关考题1= . （ 05、一（8）、3） 2当 时，反常积分收敛. （ 04、一（8）、3）3.计算反常积分=_.（ 06、一（7）、3）题型八 级数敛散性的判别的题型相关知识点提

14、要常数项级数敛散性的判别方法是利用下列常见的级数的敛散性及判别程序进行判别.常见的级数的敛散性：等比级数 -级数 调和级数 是发散的. 级数收敛的判敛程序：任 是 用正 发散 用莱氏 收敛 意项级数 项级数判别法 准则 条件收敛 否 收敛 发散 发散 绝对收敛 发散其中：1）、正项级数的判敛程序： 比较法极限形式及等价无穷小判别法 比较法一般形式比值法根值法 是 否 发散 收敛 发散 其中特别要优先使用等价无穷小判别法：如的敛散性与的敛散性一样.2）、交错级数判敛法莱氏准则： 若交错级数满足条件，(n = 1,2,),则级数收敛，且和，余项的绝对值.01-08年相关考题：1、判别级数的敛散性（

15、 01、三（3）、5） 2、级数当 时发散.（ 02、一（9）、3）3、级数的敛散性为_（ 06、一（10）、3）4、判断级数的收敛性. （ 02、六、5）5、当 时，级数收敛.( 05、一（10）、3）（08、一、8、3） 6、正项级数的敛散性为 （ 07、一、9） 解答：1、解：故收敛. 2、解：1. 3、解：发散. 4、解：用比值法 ,故原级数收敛.5、解：. 6、解：收敛.题型九 求幂级数的收敛域与和函数的题型相关知识点提要 1）、幂级数的收敛域的求法先求收敛半径： 若 或 ，则收敛半径从而得收敛区间，再求端点处的敛散性即可到收敛域.特别要注意收敛域与收敛区间的区别.2）、幂级数的和先

16、在收敛域内通过逐项求导或逐项积分将幂级数化为常见函数展开式的形式，从而得到新级数的和函数，再对于得到的和函数作逆运算，即得原幂级数的和函数，收敛区间不变，但要注意端点处的收敛性可能会发生变化 需记住的基本展开式：1) ；2) ；3) ；01-08年相关考题：1、已知级数,则级数的和是 （ 01、一（6）、3）（08、一、8） 2、幂级数的收敛区间为 （ 07、一、10）3、求幂级数的收敛区间（ 01、三（4）、5） 4、求幂级数的收敛区间,并求和函数. （ 01、四、7） 5、求幂级数的收敛域,并求和函数. （ 05、四、8） 6、设幂级数1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域. （

17、02、七、8） 7、求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. （ 06、三、8） 8、设幂级数为，求（1）收敛半径及收敛区间；（2）和函数.（08、七、8）9、利用幂级数的展开式：(1)、写出的无穷级数展开式；(2)、再利用数的无穷级数的展开式，求数项级数的和. （ 07、四、9）10.已知，则 . （08、一、7）本题型解答：1、解：. 2、解：.3、解：，收敛区间为.4、解：令，收敛区间为（-1，1）.5、解：设， 则 =， .故=.当原级数为收敛的交错级数，收敛域为.6、解：1）一般项为；2），收敛半径,当时，幂级数为发散,时，幂级数为发散,故收敛域为（-1，1）.7、解：

18、由级数两端积分得: 为所求的和函数. 收敛区间为(-1,1)，时,原级数为,发散, 时,原级数为收敛,故收敛域为，8、解：（1），所以：；（2）.题型十 关于向量的代数运算的题型相关知识点提要若，则.方向余弦， ， 且与向量同方向的单位向量为 与的夹角为 arccos， ，其中之中有一个为“0”或两个为“0”时，如或，01-08年相关考题1.设点a,b,c的坐标分别为a(2,3,-1),b(1,1,1)及c(0,4,-3)求 及.（ 01、三（5）、5）2.设，则 （ 02、一（8）、3）3.向量且满足，则数（ 06、一（8）、3）4设，则（ 05、一（9）、3）5则 （04、一（9）、3）6

19、.投影 则_（ 03、一（9）、3）7.与平行的充要条件是_（ 03、一（10）、3）8设，则 （07.一7.3）9. 设向量且与轴垂直，则 . （08一 、8、3）题型十一 求直线方程与平面(曲面)方程的题型相关知识点提要1） 平面方程及平面与平面的关系（1）点法式方程（2）一般式方程 （3）截距式方程 （4）平面间的关系设两平面 与(a) (b) (c)与的夹角 (d) 点到平面的距离 2）直线的方程及相互关系（1）对称式方程 （2）一般式方程 （3）参数式方程 （4）两点式方程（5）直线间的关系设两直线 与(a) (b) (c) 与之间的夹角.3）空间曲面方程(1) 旋转曲面的方程将yo

20、z面上的曲线绕y轴（或z轴）旋转一周所生成的旋转曲面方程为（或） (2) 二次曲面的方程（1）球面 其中为球心，r为半径.（2）椭球面 （3）园柱面 （4）抛物柱面 （5）椭园抛物面 （6）锥面 4 空间曲线方程(1) 一般式方程 (2) 参数式方程 (3) 空间曲线在三坐标面上的投影方程设空间曲线：， 从该方程组中消去z，得到一个母线平行于z轴的柱面方程，将与z = 0联立，即得在xoy平面上的投影方程 01-08年相关考题1.过点和的直线方程是 （ 01、一（5）、3）2.过点且与向量垂直的平面方程为 （ 04、一（10）、3）3.写出直线的参数方程并求此直线与平面的交点. （ 01、二（

21、8）、6）4.过点（4，-1，3）且平行于直线的直线方程是_（ 06、一（9）、3）5.求过点p(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程. （ 01、五、7）6.一直线过点（0，2，4）且与两平面和平行，求直线方程. （ 02、五、9） 7.求过点且与两平面平行的直线方程. （ 04、二（7）、6）8.求的对称式方程. （ 03、二（7）、5）9.求到的距离为1的动点轨迹. （ 03、二（8）、5）10、求过点且与两平面，平行的直线方程.（07、二、8、6）11经过点且与平面垂直的直线方程是 . （08一 、9、3）12、面上的曲线：绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 （07、一、8、3）13（1

22、）求过点且与直线垂直的平面方程.（2）求点到直线的距离. （08四、1 、9）题型十二 证明题题型相关知识点提要1）证明不定式的方法：若，若 2）方程根的存在性与唯一性的证明方法：由零点存在定理或罗尔定理先证明根的存在性，再由单调性证明根的唯一性.01-08年相关考题证明不等式的题型1.证明：当时（ 02、八、4） 2.证明：当时，不等式成立. （ 06、二（7）、3）3.设，证明：对于任意有（ 05、六、4） 方程根的存在性与唯一性的证明4.设在区间上可导，证明在的任意两个零点之间必有方程的实根. （ 04、五、5） 5.设且，试证：方程 在内有且只有一根.（6分）（ 03、六、6） 6.设

23、函数在区间0，1上连续，且，证明 在区间（0，1）内仅有唯一实根.（06、五、4） 第二部分 昆明理工大学0108级高等数学(上)期末试题集 2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、;2、;3、设在连续并且为偶函数,则;4、;5、过点和的直线方程是 ;、已知级数,则级数的和是 ;、.曲线在点处的曲率是 ;8、函数在点处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、 2、求.3、求由方程所确定的隐函数的导数.4、 5、三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、 2、判别级数的敛散性 、求幂级数的收敛区间5、设点a,b,c的坐标分别为a(2,3,-1),b

24、(1,1,1)及c(0,4,-3)求 及.、(7分)求幂级数的收敛区间,并求和函数.五、(7分)求过点p(2,0,-3)且与直线垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线及所围图形的面积.七、(6分)讨论在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分）1、若,则= .2、函数,当= 时连续.3、设则 .4、曲线在处的法线方程为 .5、当 时,点(1, 3)为的拐点.6、设是的一个原函数,则= .7、 .8、设，则 .、级数当 时发散.10、在1-4上的最小值为 .二、试解下列各题（5分×3=15分）1、.2、设，其中可导，求.3、设，

25、（），求.三、求积分（5分×4=20分）1、 2、3、 4、9分设平面图由及x=2所围成，求：1）平面图形的面积a（要求作草图）;2）平面图形绕轴旋转的体积.五、9分一直线过点（0，2，4）且与两平面和平行，求直线方程.、5分判断级数的收敛性.、8分设幂级数1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.八、4分证明：当时2003级高等数学（上）期末试卷一、 填空题：（共10题，每题3分）1、 数列，则_.2、 在的某去心邻域内无界是的_条件.3、 是的可去间断点,则常数的取值范围是_.4、 可导, , 则曲线在点处的切线斜率是_.5、 则与之间的关系是_.6、 可导函数在点处取得极

26、值的必要条件是_.7、 使公式成立的常数应满足的条件是 .8、 设物体以速度做直线运动, 则上物体经过的路程是_.9、 投影 则_.10、与平行的充要条件是_.二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2、求 3、存在, 求 4、求5、求 6、求7、求的对称式方程.8、求到的距离为1的动点轨迹.三、设，在处可导，求.（8分）四、设，试问点是否是曲线的拐点，为什么？（8分）、设抛物线试确定之值，使抛物线与直线所围面积为，并且绕轴旋转的体积最小.（8分）六、设且，试证：方程 在内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、 填空题（每题3分，共30分）1、设则= .2、若则 .3、函数

27、.4、是函数的第 类间断点.5、函数在内单调 .6、曲线在区间 上是凸的，在 上是凹的，拐点是 .7、设函数在上连续，则 .8、当 时，反常积分收敛.9、则 .10、过点且与向量垂直的平面方程为 .二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限： 2、设，求3、设，求和 4、求 5、求 6、计算定积分7、求过点 且与两平面平行直线方程.8、设，求、（9分）设有位于曲线的下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论为何值时，函数在处可导.五、（5分）设在区间上可导，证明在的任意两个零

28、点之间必有方程的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、= .2、= .3、，若在连续，则= .4、曲线在点的切线方程为.5、函数的单调增加区间为 .6、曲线的拐点为 .7、.8、= .9、设，则.、当时，级数收敛.二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限. 2、，求.3、设函数由方程确定，求. 4、问函数在何处取得最小值.5、计算 6、计算 7、过点且与两平面垂直的平面方程.三、（8分）设 为了使在连续可导函数，应取什么值？ 、（8分）求幂级数的收敛域,并求和函数.、(8分)由直线及抛物线围成一个平面图形1求平面图形的面积a.2求平面图形绕轴旋转的

29、旋转体体积.六、(4分)设，证明：对于任意有 2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、使函数在处连续，应补充定义 .2、极限.3、 存在，则极限.4、线在点（1，e）处的切线方程为 .5、线的拐点是_.6、用奇偶性计算定积分.7、计算反常积分=_.8、向量且满足，则数.9、过点（4，-1，3）且平行于直线的直线方程是_.、级数的敛散性为_.二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分）1、求极限.2、求由参数方程确定的函数的导数.3、设函数由方程确定，求.4、的极值.5、计算不定积分.6、计算定积分.7、证明：当时，不等式成立.8、写出直线的参数方程并求此直线与平面的

30、交点.、（8分）求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数.、（8分）由曲线与直线及轴围成一个平面图形，1、求此平面图形的面积a；2、求此平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积.五、（4分）设函数在区间0，1上连续，且，证明 在区间（0，1）内仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、,则 2、点是函数的第一类间断点中的 间断点3、设，可导，则 4、定积分 5、曲线的拐点坐标是 6、设是的一个原函数，则 7、设，则 8、面上的曲线：绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 、正项级数的敛散性为 、幂级数的收敛区间为 二、计算下列各题：（每小题6分，共4

31、8分）1、计算极限.2、设，求.3、设函数由方程确定，求.4、求的极值.5、计算不定积分.6、计算.7、计算.8、求过点且与两平面，平行的直线方程.三 (9分)、(1)、求曲线在点处的切线方程；()、求曲线 与直线所围成平面图形的面积；()、求（2）中的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积. (9分)、利用幂级数的展开式：(2)、写出的无穷级数展开式；(3)、再利用数的无穷级数的展开式，求数项级数的和.五（4分）、设可导，为正整数，证明：. 2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分）1.则 . . 曲线上经过点的切线方程为 . . 已知的一个原函数为，则 .为常数） .7.设

32、由方程所确定，则 .8. 设向量且与轴垂直，则 .9.经过点且与平面垂直的直线方程是 . 设，则 .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设求. 2.已知连续，求三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数的极值. 2.3. .设求四、计算下列各题（每题9分，共18分）1（1）求过点且与直线垂直的平面方程，（2）求点到直线的距离.将已知正数分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知连续，（为常数）求（1）;（2）;（3）讨论在处的连续性. 六、（4分）设在上可微，且 证明：存在，使得 试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分

33、）1.0; 2.; 3. ; 4.； 5.； 6.；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、解：.2、解： .3、解：.4、解：.5、 解：令，.三.计算下列各题(每小题5分,共25分)1、解：.2、解：.3、解：故收敛.4、解：，收敛区间为.5、解，四、解：令，收敛区间为（-1，1）.五、解：平面法向量， 平面法向量 .取所求平面的法向量 .由点法式方程可得所求平面方程为 ,即.六、解：曲线及所围图形为无界区域，其面积为 .七、解：的定义域为，令得驻点，当 时，当时，故在其定义域上的最小值为，无最大值.2002级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共

34、24分）1 ；21；3；4；5；6；70；812；91；10二、试解下列各题(每小题5分,共15分)1解：原式.2解： .3解：取对数 ，两边关于求导得 ， 故 .三、求积分(每小题5分,共20分)1、解：原式.2、解：原式= .3、解：令,原式.4、解：原式. .四、解：1）.2）.五、解：设求直线的方向向量为,由于且，则,故直线方程为 .六、解:用比值法 ,故原级数收敛.七、解：1）一般项为.2），收敛半径,当时，幂级数为发散,时，幂级数为发散,故收敛域为（-1，1）.八、证明：设，故当时，即时 单增，故当时，从而，.2003级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1

35、、 ； 2、必要； 3、； 4、 ； 5、6、 ； 7、； 8、； 9、； 10、.二、计算题（共8题，每题5分）1、因为, （2分）故原式= （5分）2、原式= （2分） = （5分）3、 （2分） （5分）4、原式 = （2分）= （5分）5、原式 = （2分） = （5分）6、因为 （2分） （4分）故原式 （5分）7、直线过点 （2分）其方向向量 （4分）故所求的对称式方程为 （5分）8、解法一：由于动点平行于平面，故可设所求的动点轨迹方程为 （2分）又过点，故有 （3分）动点轨迹方程为 （5分）解法二：动点到平面，即 （3分）故动点轨迹方程为 （5分） 三、解： （2分）， （4分）

36、 （6分） （8分）四、解： （2分） （4分） （6分）凹，凸，故是的拐点. (8分)五、解： （4分） （6分）,所以最小.故. （8分）六、证明：存在性：令，则，由零点存在定理，在内有存在零点; （3分）唯一性：如若在内必有两个零点，由罗尔定理，存在,使得,此与题设矛盾.因此在内仅有一零点. （3分）2004级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1.; 2.; 3.; 4. 二; 5.减少; 6.; 7. 0 ; 8. 9.30; 10.二、计算下列各题（每题6分，共48分）1原式=. 2.，所以.3.； 4.原式=5.原式=6令当，.7.取,所求直线方程为.8.

37、令,当,当,.三、解：.(1)、,设为切点,切线方程为:,切线过原点得:, 切线方程为: ,即.(2)、面积.(3)、体积.四、解：由连续性，又,由.五、证明：令，设为的任意两个零点.即则 在上连续，在内可导，且由rolle定理可知至少存在一点使得，即，因此，在的任意两个零点之间必须有方程的实根.2005级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1; 2. 3. ; 4. , 5; 6.;7.; 8. ;9. ; 10.二、计算下列各题（每题6分，共42分）1.解：原式=.2.解： 3.解：两边对求导得 ,解得4.解：，令 得驻点,当时，当时，故为极小点,极小值为.5.解：

38、=6.解：令原式：=2.7.解：所求直线的方向向量垂直于两已知平面的法向量 ,故取=所求直线方程为： .三（8分）解： ，, 故当 时， 在 处连续.又 故当时，存在,即当 时，在 处连续可导.四（8分）解：当,即时原级数收敛，当,即时原级数发散,故收敛半径，当原级数为收敛的交错级数，收敛域为.设 =故 =.五(8分)解：求交点得1a=.2.六(4分)证明：不妨设，分别在区间上使用拉格朗日中值定理存在,使： 因为,又,故单调减，所以,故即 .2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则一、 填空题：（每小题3分，共30分）1. 2/3; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. 1; 8. 2; 9.