《二重积分的定义》

1、整理课件1定积分中会求平行截面面积为已知的定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始先从曲顶柱体的体积开始. .而曲顶柱体的体积的计算问题而曲顶柱体的体积的计算问题, ,一般立体的体积可分成一些比较简单的一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想回想立体的体积、立体的体积、 旋转体的体积旋转体的体积. .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积. .二重积分的一个模型二重积分的一个模型. .可作为可作为第九章第九章 重积分重积分第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质整理课件2),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积 =特点特点1. 曲顶柱

2、体的体积曲顶柱体的体积D困难困难曲顶柱体曲顶柱体0),( yxf),(yxfz 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).oyxz曲顶曲顶顶是曲的顶是曲的整理课件3柱体体积柱体体积 = 特点特点分析分析曲边梯形面积是如何求曲边梯形面积是如何求以直代曲、以直代曲、如何创造条件使如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与回忆回忆思想是思想是分割、分割、平顶平顶平平曲曲这对矛盾互相转化这对矛盾互相转化与与以不变代变以不变代变. .曲边梯形面积曲边梯

3、形面积的求法类似的求法类似取近似、取近似、 求和、求和、 取极限取极限. . 底面积底面积高高整理课件4步骤如下步骤如下用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和和D),(yxfz 先任意分割曲顶柱体的底，先任意分割曲顶柱体的底， V曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积并任取小区域并任取小区域，近似表示近似表示曲顶柱体的体积，曲顶柱体的体积，iiniif ),(10lim xzyO),(ii ),(iif i 整理课件5(1) 分割分割相应地此曲顶相应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2) 取近似取近似iii ),(第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式

4、 iVn ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积) .i 将域将域D 任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(整理课件6(3) 求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限取极限)趋于零趋于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记作记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积上述和式的极限即为曲顶柱体体积整理课件72. 非均匀平面薄片的质量非均匀

5、平面薄片的质量(1) 将薄片分割成将薄片分割成n个小块，个小块，看作均匀薄片看作均匀薄片. iM(2) M(3) M(4)近似近似 任取小块任取小块 i 设有一平面薄片设有一平面薄片,),(yx Dyx在在假假定定),( 求平面薄片的质量求平面薄片的质量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim xyO),(ii i 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为上连续上连续,整理课件8二重积分的定义二重积分的定义),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使

6、nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理课件9DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理课

7、件10 2. 在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D, , Dyxf d),(二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中1. 重积分与定积分的区别重积分与定积分的区别: :重积分中重积分中, 0d xd可正可负可正可负. .yxdd Dyxf),(则面积元素为则面积元素为Oxy.ddxdy整理课件11 二重积分的存在定理二重积分的存在定理 设设 f (x, y)是有界闭区域是有界闭区域D上的连续函数上的连续函数 Dyxf d),(存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注今后的讨论中今后的讨论中,积分区域内总是连续的积分区域内总

8、是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时, 则则都假定被积函数在相应的都假定被积函数在相应的整理课件12(2)二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3) (1)在在D上的二重积分就等于上的二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的这些部分区域上的柱体体积的代数和柱体体积的代数和.那末那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积的负值; ;柱体体积柱体体积; ;在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当整理课件13例例 设设D为圆

9、域为圆域222Ryx 二重积分二重积分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述积分等于上述积分等于 DyxR d222332R 由二重积分的几何意义可知，由二重积分的几何意义可知，是上半球面是上半球面上半球体的体积：上半球体的体积：RyxzOD整理课件14性质性质1为常数为常数, ,则则( (二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质) )二重积分的性质二重积分的性质 Dyxgyxf d),(),( 、设设 DDyxgyxf d),(d),(根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义, ,确定积分值确定积分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 为为其中其中ba

10、2 332a 整理课件15以以1为高的为高的 性质性质2 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域 Dyxf d),(性质性质3 若若 为为D的面积的面积)(21DDD D1D2 注注 D d既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积. 对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是又可看成是D的面积的面积.yxOD1与与D2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.整理课件16 Dyxf d),(特殊地特殊地性质性质4 (比较性质比较性质),(),(yxgyxf 设设 ,),(Dyx 则则 Dyxg d),(

11、Dyxf d),( Dyxf d),( 例例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值的值= ( ).(A) 为正为正(B) 为负为负(C) 等于等于0(D) 不能确定不能确定为负为负B整理课件17 DMyxfm d),(几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的两个为高的两个证证 D d再用性质再用性质1和性质和性质3, 性质性质5 (估值性质估值性质)则则,),(Myxfm 设设为为D的面积的面积,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体的体积介于以的体积介于以D为底为底,平顶柱体体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕. D d D d整理课件

12、18性质性质6 (二重积分中值定理二重积分中值定理),( Dyxf d),(体积等于体积等于),( f以以 显然显然 DMyxfm d),(几何意义几何意义证证在在闭闭区区域域设设),(yxfD上连续上连续,为为D的面积的面积, 则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体以以D为底为底 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将性质将性质5中不等式各除以中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0 , 有有整理课件19 DMyxfm d),(1的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的. Dyxf d),(1由闭区

13、域上连续函数的介值定理由闭区域上连续函数的介值定理. Dyxf d),(1两端各乘以两端各乘以 ),( 点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数),(yxf在在D上至少存在一点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该),( f 与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即, 整理课件20 以任意方式将区域以任意方式将区域 D分割成分割成二重积分的几何背景二重积分的几何背景曲顶柱体的母线平行于曲顶柱体的母线平行于Oz 轴，轴，下底是下底是xOy平面上的区域平面上的区域 D,上顶是曲面上顶是曲面 S : z = f(x,y) .其中其中 f(x,y) 0 .求这

14、个曲顶柱体的体积。求这个曲顶柱体的体积。解解nDDD ,21n ,21表示它们的面积。表示它们的面积。任取一个小区域任取一个小区域 Di ，将以将以 Di 为底，曲面为底，曲面S为顶的曲顶柱体为顶的曲顶柱体于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。于是整个曲顶柱体就被分成若干小的曲顶柱体。并且在并且在 Di内内任取一点任取一点 Pi ， 上页 下页 返回 结束 机动若干小区域若干小区域地看作是以地看作是以 Di 为底，高度等于为底，高度等于 f(Pi) 柱体。柱体。整理课件21因此这个小柱体的体积近似地等于因此这个小柱体的体积近似地等于iiiPfV )(各个小柱体的体积之和各个小柱体的体积之和

15、 )(iPfV)(iDd 表示表示 Di的直径的直径(i=1,2,n)时时当当0)(max iDd如果这个和式存在极限如果这个和式存在极限: )(limiPf那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。那么这个极限值就是曲顶柱体的体积。这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。这个方法的意义不仅在于求曲顶柱体的体积。而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。而是给出了求连续变量之和的一种普遍的方法。 上页 下页 返回 结束 机动就是整个柱体体积的近似值：就是整个柱体体积的近似值：整理课件22 上页 下页 返回 结束 机动n ,21二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。二重积分背景之二：质量非均匀分布的薄板的质量。设设xOy平面上有一块薄板平面上有一块薄板,用用 D表示薄板所占据的平面区域表示薄板所占据的平面区域 .假设薄板上任一点假设薄板上任一点(x,y)处处方法：方法：以任意方式将区域以任意方式将区域 D分割成若干小区域分割成若干小区域nDDD ,21它们的面积表示为它们的面积表示为任取一个小区域任取一个小区域 Di ，并且在并且在 Di内内任取一点任取一点 Pi ， Di的平均质量密度近似的等于的平均质量密度近似的等于 m(Pi) .于是可以将