【高中数学】平面向量数量积的物理背景及其含义(优质课)

1、平面向量数量积的物理背景及其含义 高一数学组高一数学组 主主 讲：蒲东风讲：蒲东风三维目标三维目标1.1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；其物理意义；2.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；的运算和判断；3.3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。推理论证的能力。教学重

2、点：教学重点： 平面向量的数量积定义平面向量的数量积定义教学难点：教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用解和平面向量数量积的应用 问题问题1:1: 我们研究了向量的哪些运算？我们研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？这些运算的结果是什么？活动一：创设问题情景，激发学习兴趣活动一：创设问题情景，激发学习兴趣 问题问题2: 2: 我们是怎样引入向量的加法运算的？我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？物理模型物理模型概念概念性质性质运算律运算律应用应用问题问题

3、3:3:如图所示，一物体在力如图所示，一物体在力f f的作用下产生位移的作用下产生位移s s，（）（）力力f f所做的功所做的功w= 。 （）（） 请同学们分析这个公式的特点：请同学们分析这个公式的特点： w（功功）是是 量，量， f f（力力）是是 量，量， s s（位移）是（位移）是 量量( (各个量是各个量是矢量矢量还是还是标量标量？) )sffscos标量标量矢量矢量矢量矢量活动二活动二: :探究数量积的含义探究数量积的含义、概念的抽象、概念的抽象问题问题4 4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗你能用文字语言来表述功的计算公式吗? ?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果如

4、果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？又该如何表述？功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 定定 义义 ：2 2、数量积的定义、数量积的定义 问题：问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：cosbaba-+0、研究数量积的几何意义、研究数量积的几何意义向量投影的概念向量投影的概念问题：问题：数量积的几何意义是什么？数量积的几

5、何意义是什么？a bcos b1bo4、研究数量积的物理意义、研究数量积的物理意义问题问题: :功的数学本质是什么功的数学本质是什么？活动三：探究数量积的运算性质活动三：探究数量积的运算性质数量积的性质_;) 1 (baba、_;)2(baba同向时，与、当_;baba反向时，与当都是非零向量，则与设向量ba_;_;aaa或特别地，)(_)3(比较二者的大小、bababaaa0ba-2a重点掌握重点掌握活动四：探究数量积的运算律活动四：探究数量积的运算律1、运算律的发现 问题问题: : 我们学过了我们学过了实数乘法实数乘法的那些运算律？的那些运算律？这些运算律对向量是否也适用呢？这些运算律对向

6、量是否也适用呢？ 2、运算律已知向量 和实数，则：cba,abba )1(bababa(2)cbcacba(3)3、运算律的证明学生独立证明运算律（学生独立证明运算律（2 2）证明提示：证明提示：bababa(2)）时：（口述是否成立？特别的的夹角？与的夹角？、与时：的夹角？与的夹角？、与时：问：的夹角是与设000bababababa活动五活动五: :应用与提高应用与提高 于哪种实数运算？并思考此运算过程类似，求的夹角为与，、已知 .326046 babababa例例1 1 22222 )2(2 (1) babababbaababa是否有以下结论：，对任意向量例2、互相垂直？与向量为何值时，不

7、共线，与，、已知bkabkakbaba43 例3例3cbcabaababa则，若有则对任一非零向量若正确，并说明理由、判断下列各命题是否,0)2(0, 0)1 (1的形状。时，试判断或当中，、已知abcbababacaababc00,2随堂练习活动六：活动六： 课堂小结与作业布置课堂小结与作业布置1 1、本节课我们学习的主要内容是什么？本节课我们学习的主要内容是什么？2 2、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？质的探究？3 3、在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？、在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？ 4 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？积？返回拓展与提高：拓展与提高： 已知已知 与与 都是非零向量，且都是非零向量，且 与与 垂直，垂直， 与与 垂直，求垂直，求 与与