初中经典几何证明练习题(含答案)

1、优秀学习资料欢迎下载初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、 E 是圆上的两点， CD AB ， EF AB ，EG CO求证： CD GF（初二）证明：过点G 作 GHAB 于 H，连接 OE EG CO， EF AB EGO=90 °， EFO=90 ° EGO+ EFO=180 ° E、 G、 O、 F 四点共圆 GEO= HFG EGO= FHG=90 ° EGO FHGEOGO=FGHG GH AB ，CD AB GH CD GO COHGCD EO COFGCD EO=CO CD=GF2、已知：如图，P 是正方形A

2、BCD 内部的一点，PAD PDA 15°。求证： PBC 是正三角形 （初二）证明：作正三角形ADM ，连接 MP MAD=60 °， PAD=15 ° MAP= MAD+ PAD=75 ° BAD=90 °， PAD=15 ° BAP= BAD- PAD=90 ° -15° =75 ° BAP= MAP MA=BA ， AP=AP MAP BAP BPA= MPA ，MP=BP同理 CPD= MPD ， MP=CP PAD PDA 15° PA=PD， BAP= CDP=75 °

3、BA=CD BAP CDP BPA= CPD BPA= MPA ， CPD= MPD MPA= MPD=75 ° BPC=360° -75°× 4=60° MP=BP ， MP=CP BP=CP BPC是正三角形优秀学习资料欢迎下载3、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC ，M 、N 分别是 AB 、 CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证： DEN F证明 :连接 AC ，取 AC 的中点 G,连接 NG 、 MG CN=DN ， CG=DG1 GN AD ，GN=AD2 DEN= GNM AM=BM ， AG=

4、CG GM BC， GM= 1 BC2 F=GMN AD=BC GN=GM GMN= GNM DEN= F经典题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点）， O 为外心，且OM BC 于 M （ 1）求证： AH 2OM ；（ 2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）证明：（ 1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OG AD 于 G OG AF AG=FG AB=AB F=ACB又 AD BC， BEAC BHD+ DBH=90 ° ACB+ DBH=90 ° ACB= BHD F=BHD BH=BF 又 AD BC DH=DF

5、 AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（ GH+DH ） =2GD又 AD BC， OM BC，OG AD四边形 OMDG 是矩形 OM=GD AH=2OM（ 2）连接 OB 、 OC BAC=60 BOC=120 ° OB=OC ， OM BC BOM= 1 BOC=60° OBM=30°2 BO=2OM由（ 1）知 AH=2OM AH=BO=AO优秀学习资料欢迎下载2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过O 作 OA MN 于 A ，自 A 引圆的两条割线交圆O 于 B、 C 及 D、 E，连接 CD 并延长交MN 于 Q，连

6、接 EB 并延长交MN 于 P.求证： AP AQ 证明：作点E 关于 AG 的对称点F，连接 AF 、 CF、 QF AG PQ PAG= QAG=90 °又 GAE= GAF PAG+ GAE= QAG+ GAF即 PAE= QAF E、 F、 C、D 四点共圆 AEF+ FCQ=180 ° EFAG ， PQ AG EFPQ PAF= AFE AF=AE AFE= AEF AEF= PAF PAF+ QAF=180 ° FCQ= QAFF、 C、A、Q 四点共圆 AFQ= ACQ又 AEP= ACQ AFQ= AEP在 AEP 和 AFQ 中 AFQ= AE

7、P AF=AE QAF= PAE AEP AFQ AP=AQ3、设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦 BC 、DE ，设 CD 、 EB 分别交 MN 于 P、Q求证： AP AQ （初二）证明：作 OF CD 于 F， OG BE 于 G，连接 OP、 OQ、 OA 、 AF、 AG C、 D、 B、 E 四点共圆 B= D ， E=C ABE ADC ABBE2BGBGADDC2FDDF ABG ADF AGB= AFD AGE= AFC AM=AN ， OA MN又 OGBE， OAQ+ OGQ=180 ° O、A 、 Q、 E 四点共圆 AOQ= AGE同理

8、 AOP= AFC AOQ= AOP又 OAQ= OAP=90 °， OA=OA OAQ OAP AP=AQ优秀学习资料欢迎下载4、如图 ,分别以 ABC 的 AB 和的中点， OP BC求证： BC=2OP （初二）证明：分别过F、A、 D 作直线AC BC为一边 ,在 ABC 的外侧作正方形的垂线，垂足分别是L、M、NABFG和正方形ACDE ，点 O是DF OF=OD ， DN OPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线 DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+ FBL=90 °又 BFL+ FBL=90 ° ABM= BFL又 FLB=

9、 BMA=90 °， BF=AB BFL ABM FL=BM同理 AMC CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DE AC ，AE AC ， AE 与 CD 相交于 F求证： CECF（初二）证明：连接BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EG AC 于 G ABCD 是正方形 BD AC 又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 ° ODEG 是矩形 EG=OD= 1 BD= 1 AC= 1 AE222 EAG=30 ° AC=AE ACE= A

10、EC=75 °又 AFD=90 ° -15° =75° CFE= AFD=75 °= AEC CE=CF优秀学习资料欢迎下载2、如图，四边形ABCD 为正方形，求证： AE AF （初二）证明：连接BD ，过点 E 作 EGAC ABCD 是正方形 BD AC ，又 EG AC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 °DE AC ，且 CE CA ，直线 EC 交 DA 延长线于F于 G CAE= CEA= 1 GCE=15 °2 ODEG 是矩形 EG=OD= 1BD= 1AC= 1CE222

11、GCE=30 ° AC=EC在 AFC 中 F =180° -FAC- ACF =180° -FAC- GCE =180° -135 °-30° =15 ° F= CEA AE=AF3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP ，CF 平分 DCE求证： PA PF（初二）证明：过点F 作 FG CE 于 G，FH CD 于 H CD CG HCGF 是矩形 HCF= GCF FH=FG HCGF 是正方形 CG=GF AP FP设 AB= x， BP=y， CG=z APB+ FPG=90 °

12、;z：y= （x-y+z ）： x APB+ BAP=90 °化简得（ x-y）· y=（ x-y）· z FPG= BAPx-y0又 FGP=PBAy=z FGP PBA即 BP=FG FG： PB=PG ：AB ABP PGF4、如图， PC 切圆 O 于 C， AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相交于 B 、 D求证： AB DC， BC AD （初三）证明：过点 E 作 EKBD，分别交 AC 、AF 于 M、K，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH 、EC EH=FH OH EF， PHO=90 °EM=

13、KM又 PCOC， POC=90 °EK BD P、 C、 H、 O 四点共圆 OBAOOD HCO= HPOEMAMKM又 EK BD ， HPO= HEKOB=OD HCM= HEM又 AO=COH、C、E、 M 四点共圆四边形 ABCD的对角 ECM= EHM线互相平分又 ECM= EFAABCD 是平行四边形 EHM= EFAAB=DC， BC=AD HM AC EH=FH优秀学习资料欢迎下载经典题 ( 四)1、已知： ABC 是正三角形， P 是三角形内一点， PA 3， PB 4， PC 5 A求 APB 的度数（初二）解：将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转60

14、6;得 BCQ ，连接 PQ则 BPQ 是正三角形 BQP=60 °， PQ=PB=3P在 PQC 中， PQ=4， CQ=AP=3 ，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90° BQC= BQP+ PQC=60 °+90 ° =150°B APB= BQC=150 °2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB（初二）A证明：过点 P 作 AD 的平行线，过点A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点 E，连接 BE PEAD ， AE PD ADPE 是平行四边形E PE=AD ，又

15、ABCD 是平行四边形 AD=BCB PE=BC又 PE AD ， AD BC又 ADP= ABP PEBC AEP= ABP BCPE 是平行四边形 A 、E、 B、 P 四点共圆 BEP= PCB BEP= PAB ADPE 是平行四边形 PAB= PCB ADP= AEP3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD AD ·BC AC · BD （初三）证明：在 BD 上去一点 E，使 BCE= ACDA CD =CD CAD= CBDCQDPCD BEC ADC BEBCEADAC AD · BC=BE · AC BCE= A

16、CDBC BCE+ ACE= ACD+ ACE即 BCA= ECD+得 AB ·CD+ AD · BC =DE ·AC+ BE · AC BC=BC , BAC= BDC=（ DE+BE ）·AC BAC EDC=BD · AC ABACDECD AB · CD=DE ·AC 优秀学习资料欢迎下载4、平行四边形ABCD 中，设 E、 F 分别是 BC 、 AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AE CF求证： DPA DPC（初二）证明：过点 D 作 DG AE 于 G，作 DH FC 于 H ，连接 D

17、F、DEAD11F SADE =2 AE · DG， SFDC=2 FC· DH1又 S ADE = S FDC=2 SABCD AE · DG=FC · DH又 AE=CF DG=DH点 D 在 APC 的角平分线上 DPA DPCGPHBEC经典题（五）1、设 P 是边长为1 的正 ABC 内任一点， L PA PB PC， 求证：证明：（ 1）将 BPC 绕 B 点顺时针旋转60°的 BEF ，连接 PE， BP=BE ， PBE=60 ° PBE 是正三角形。 PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

18、当 PA、 PE、 EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF 的值最小（如图）在 ABF 中， ABP=120 ° AF=3 L=PA+PB+PC 3（ 2）过点 P 作 BC 的平行线分别交AB 、 AC 于 D、 G则 ADG 是正三角形 ADP= AGP ，AG=DG APD AGP APD ADP AD PA又 BD+PD PBCG+PG PC + +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC PA+PB+PC=L AB=AC=1 L 2由（ 1）（ 2）可知：3 L 23 L2AGDPCBEF优秀学习资料欢迎下载

19、2、已知： P 是边长为1 的正方形 ABCD 内的一点，求PA PB PC 的最小值A解：将 BCP 绕点 B 顺时针旋转 60°得 BEF ，连接 PE，则 BPE 是正三角形 PE=PBPA PBPC=PA+PE+EFB要使 PA PB PC 最小，则 PA、 PE、 EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FG AB 的延长线于 G则 GBF=180 ° - ABF=180 ° -150°=30 °G13 GF=2， BG=222 AF=GF 2AG2=131 = 2322 PA PB PC 的最小值是

20、233、 P 为正方形 ABCD 内的一点，并且PA a，PB 2a， PC 3a，求正方形的边长证明：将 ABP 绕点 B 顺时针旋转A90°得 BCQ ，连接 PQ则 BPQ 是等腰直角三角形，P PQ=2 PB=2 × 2a=22 a又 QC=AP=aDPECFD QP2+QC2=(2 2 a)2+a2=9a2=PC2CB PQC 是直角三角形Q BQC=135° BC2 =BQ 2+CQ 2-2BQ ·CQ· cos BQC22·PAcos135 °=PB +PA -2PB222=4a +a -2× 2a&

21、#215;a× (-)2解得 BC=52 2 a正方形的边长为52 2 a优秀学习资料欢迎下载4、如图， ABC 中， ABC ACB 80°， D、 E 分别是 AB 、 AC 上的点， DCA 30°， EBA 20°，求 BED 的度数解：在 AB 上取一点 F，使 BCF=60° ， CF 交 BE 于 G，连接 EF、 DGA ABC=80 °， ABE=20 °， EBC=60 °，又 BCG=60 ° BCG 是正三角形 BG=BC ACB=80 °， BCG=60 °

22、FCA=20 ° EBA= FCA又 A= A ， AB=AC ABE ACF AE=AF1 AFE= AEF= 2（180°-A）=80°又 ABC=80 ° =AFE EF BC EFG= BCG=60 °FE EFG 是等边三角形 EF=EG ， FEG= EGF= EFG=60 ° ACB=80 °， DCA=30 ° BCD=50 °DG BDC=180 ° - BCD- ABC=180 ° -50° -80°=50 ° BCD= BDC BC=BD 前已证 BG=BC BD=BG1 BGD= BDG= 2 （ 180&