万有引力与航天(教师版)

1、万有引力与航天第1、2节行星运动、太阳与行星间的引力精讲精练知识精讲知识点1、开普勒行星运动定律（1）开普勒三定律开普勒中德国天文学家，他通过长期观察与研究，分析整理前人的观察资料和研究成果，提出了天体运动的三条基本规律开普勒三定律。第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等，即：，其中a为半长轴，T为公转周期，k是与太阳有关的常数，与行星质量无关。因为行星的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，所以在一般情况下，为了方便，经常把行

2、星的运动当做圆周运动来处理，这样中，R不圆周运动的半径，T为圆周运动的周期。（2）近日点与远日点：行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，行星在轨道上运动，在轨道上不同位置距该焦点距离不同，即距太阳的距离不同。距太阳最近的位置称近日点，距太阳最远的位置称远日点，无论是近日点还是远日点，其速度方向都垂直于行星与太阳的连线。由开普勒第二定律可知：行星在近日点速度快，在远日点速度慢，即行星从近日点到远日点的过程是减速过程，而从远日点到近日点的过程是行星的加速过程。说明：1、多数大行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段能够按圆处理，则：（1）多数大行星绕太阳运动做圆周运动，太阳处在圆心。（2）

3、对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的线速度大小不变，即行星做匀速圆周运动。（3）所有行星轨道半径的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等。注意：开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动。2、了解万有引力定律的发现过程、理解太阳与行星间引力大小与太阳质量、行星的质量成正比，与两者距离的平方成反比，太阳与行星的引力方向沿二者的连线。例1关于行星的运动，以下说法正确的是：A、 行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大。B、 行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大。C、 水星的半长轴最短，公转周期最大。D、 水星离太阳最近，绕太阳运动的公转周期最短。思路分析由可知，R越大，T越

4、大，故B、D正确，C错误；式中的T是公转周期而非自转周期，故A错。答案BD总结对公式中的各个量一定要把握其物理意义，对一些说法中的关键字要理解准确如R半长轴；T公转周期。变式训练1关于开普勒行星运动的公式，理解正确的是：A、 k是一个与行星无关的常量。B、 R是代表行星运动的轨道半径。C、 T代表行星运动的自转周期。D、 T代表行星绕太阳运动的公转周期。答案A、D3 万有引力定律精讲精析知识精讲知识点1、万有引力定律对万有引力定律的理解（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。（

5、2）公式表示：F=。（3）引力常量G：适用于任何两物体。意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体（可看成质点）相距1m时的相互作用力。G的通常取值为G=6。67×10-11Nm2/kg2。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。（4）适用条件：万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。（

6、此方法仅给学生提供一种思路）（5）万有引力具有以下三个特性：普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体（大到天体小到微观粒子）间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一。相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。1、 测定引力常量G的重要意义：（1）证明了万有引力的存在（2）“开创了测量弱力的新时代”英国物体学家玻印廷语。（3）使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天

7、体的质量、平均密度等，如根据地球表面的重力加速度可以测定地球的质量。例1设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。A、 物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=。B、 物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。D、物体离地面的高度为R时，则引力为F=答案D总结（1）矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。（2）F= 。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体表面间的距离。（3）F= 适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地

8、心处，显然地球已不能看为质点，故选项C的推理是错误的。4 万有引力理论的成就精讲精练知识精讲知识点1、万有引力和重力（1）重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不就是万有引力.（2）在地球两极上的物体所受重力等于地球对它的万有引力，mg=;（3）在地球赤道上随地球自转的物体所受的重力为mg= -; 上式中是物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力，由地球对物体m的万有引力的一个分力来提供。（4）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受重力mg等于地球对物体的引力，即：mg= 式中M为地球质量，R为地球半径。则：M=.若地球平均密度为，则：= =.若物体在离地高度为h处，设该处重力

9、加速度为g1，则：m g1= ， g1= .例1已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用以上各量表示地球质量M= 。思路分析本题考查的是地面上的物体重力mg近似等于地球对它的万有引力，即：mg= 所以M=答案M=总结在中学中能与地球质量或密度相联系的应先想到万有引力定律。变式训练1若取地球表面处的重力加速度g=9。8m/s2，地球半径取R=6。4×106m，根据万有引力定律计算地球的平均密度。答案=5。48×103kg/m3知识点2、计算中心天体的质量解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心

10、天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的质量,a为运动天体的向心加速度,为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天体的轨道半径.(1)天体质量的估算通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运动.根据万有引力提供向心力,有,得注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积,进而还可求得天体的密度.如

11、果卫星在天体表面运行,则r=R,则上式可简化为规律总结: 掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来提供的. 物体在天体表面受到的重力也等于万有引力. 注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球表面运行,运行半径等于星球半径.(2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律研究行星（或卫星）运动的一般方法为：把行星（或卫星）运动当做匀速圆周运动，向心力来源于万有引力，即：根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体表面所受的万有引力等于重力，即（3）利用万有引力定律发现海王星和冥王星例2已知月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求（1）

12、地球的质量？（2）地球的平均密度？思路分析（1） 设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，则： ，（2）地球平均密度为答案： ； 总结：已知运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。第5节 宇宙航行 经典力学局限精讲精析知识精讲知识点1：人造卫星1. 应用万有引力定律分析天体运动的基本方法.把天体的运动看作是匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。2. 人造卫星：饶地球飞行的物体卫星的绕行速度、角速度、周期与R的关系：注意：也可以说重力提供向心力，因而由此能否说r越大，

13、v越大呢？与矛盾，这是因为g并非不变，它随r变化，有g=GM/r2，所以是正确的。G为卫星所在轨道位置的加速度。（4）人造卫星的加速度 在处理这几个量时，要注意变量与不变量的关系，如当R变化时，v、T、都会发生变化。注意：有关人造卫星的几个问题1. 人造卫星的轨道卫星绕地球做匀速圆周运动时靠地球对它的万有引力充当向心力，次求对卫星的万有引力指向地心，因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与心地重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道（赤道卫星）和通过两极点上空的极地轨道（极地）卫星，当然也存在着与赤道平面成一定角度的圆轨道，只要圆周的圆心在地心，就可能为卫星绕地球运行的轨道

14、。2. 人造卫星的发射速度和运行速度所谓发射速度是指在地面的附近离开发射装置（火箭）时的初速度（牛顿人造卫星原理图中平抛的初速度就是发射速度）。要发射一颗人造卫星，若发射速度等于第一宇宙速度，则卫星只能“贴着”地面做匀速圆周运动。如发射速度大于第一宇宙速度，则卫星将沿着椭圆轨道运行。第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速度。所谓运行速度是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。只有以第一宇宙速度发射的人造卫星绕地球表面运行时，运行速度才与发射速度相等，而对于在离地比较高的轨道上运行的卫星，其运行时的速度与地面发射速度并不相等，由于卫星发射后在达到预定轨道的过程中要不断地克

15、服地球的引力作用，因而到达预定轨道后其运行速度要比发射速度小。由，求得的指的是人造卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但我们又知道要想将卫星发射到更高的轨道，在地面发射时需要提供给卫星更大的速度，这与在越高轨道上运行速度越小并不矛盾，因为其中一个纸运行速度，一个指发射速度。3. 卫星运行过程中的轨道改变当人造卫星在某一轨道上以某一速度运动，万有引力与向心力相等时，卫星在该轨道上做匀速圆周运动，如果卫星线速度变大，导致万有引力不足以提供向心力，卫星就要做离心运动而偏离原来的轨道，运行半径将变大（轨道为椭圆）。反之，人造卫星将偏离原来的轨道向圆心方向漂移，在卫星回收时，选择恰当的

16、时机使做圆周运动的卫星速度突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星。4. 人造卫星中的“超重”和“失重”现象（1）发射卫星时，卫星尚未进入轨道时的加速过程中，由于具有竖直向上的加速度（或竖直方向的分加速度），卫星内的物体处于超重状态。（2）卫星进入轨道后，在正常运行过程中，卫星的加速度等于轨道处的重力加速度，卫星中物体处于完全失重状态，凡是工作原理与重力有关的仪器（如天平、水银气压计、摆钟等），在卫星中不能正常使用。（3）卫星返回地球过程中，在落回靠近地面阶段，由于做减速下降运动具有竖直向上加速度（或有竖直向上的分加速度），卫星内的物体处于超

17、重状态。例1 A 和B是绕地球做匀速圆周运动的卫星，已知，轨道半径，则B与A的（ ）A .加速度之比为 B .周期之比为C .线速度之比为 D .角速度之比为思路分析：地球对卫星的引力等于卫星运行所需的向心力，由此可得： 答案：B总结：(1) 向心力的公式有几种不同的表达式，如，快速计算上述物理量时应选用响应的公式。 （2）以上分析过程可以看出，人造地球卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度均与卫星的质量无关，只与轨道半径有关，也就是说，轨道半径一确定，这些物理量也就确定了。作业1如图3所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星

18、轨道的交点已知A、B、C绕地心运动的周期相同下列说法正确的是()图3A相对于地心，卫星C的运行速率等于物体A的速率B相对于地心，卫星C的运行速率大于物体A的速率C卫星B在P点的运行加速度等于卫星C在该点的运行加速度D卫星B在P点的运行加速度大于卫星C在该点的运行加速度解析由于C和A周期相同，即角速度相同，由vr知，vC>vA，A错、B对卫星B和C的加速度都是由万有引力提供的，由牛顿第二定律可得ma，故aBaC，C对、D错答案BC5、绕太阳运行的行星的椭圆轨道半长轴与它的周期关系是 =k1，卫星绕地球做椭圆轨道运行时，其轨道的半长轴与它的周期关系是 =k2，则k1与k2的关系是：A、k1&

19、gt;k2 B、k1<k2 C、k1=k2 D、无法确定6、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：A、 所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动。B、 行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处。C、 离太阳越近的行星运动周期越长。D、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。7、关于开普勒第三定律的公式=k，下列说法正确的是：A、 公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星。B、 公式只适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星（或卫星）C、 式中的k值，对所有行星或卫星都相等。D、围绕不同星球运行的行星（或卫星），其k值不同。8、从天文望远镜中观察到银河系中有两颗行星绕某恒星运行

20、，两行星的轨道均为椭圆，观察测量到它们的运转周期之比为8：1，则它们椭圆轨道的半长轴之比为：C、 2：1 B、4：1 C、8：1 D、1：45、A 6、D 7、BD 8、B 1、已知引力常数G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，利用这三个数据，可以估算出的物理量有：A、月球的质量 B、地球的质量C、地球的半径 D、月球绕地球运行速度的大小。BD6地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为2；地球的同步卫星所受的向心力

21、为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()AF1F2>F3 Ba1a2g>a3Cv1v2v>v3 D13<2解析地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即13，根据关系式vr和a2r可知，v1<v3，a1<a3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即Gm2rma可得v 、aG、 ，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3、a2>a3、2>3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星的线速度就是第一宇宙

22、速度，即v2v，其向心加速度等于重力加速度，即a2g；所以vv2>v3>v1，ga2>a3>a1，2>31，又因为Fma，所以F2>F3>F1.由以上分析可见，选项A、B、C错误，D正确答案D8、一组太空人乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105 m的圆形轨道上的哈勃太空 望远镜H，机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处.如图所示， 设G为引力常量而M为地球质量(已知地球半径为6.4×106 m)。（1）在进入轨道的穿梭机内，一质量为70 kg的太空人的视重是多少?（2）计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期.（3）穿梭机须首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远