八年级秋季班-第2讲：二次根式的运算-教师版

1、八年级秋季班本节主要讲解的内容包括两大部分，第一是最简二次根式和同类二次根式的 区分与化简，难点在化简二次根式与利用同类二次根式的性质进行求解综合题目 上；第二是二次根式的四则运算，难点是合并同类项及乘除运算的时候符号问 题.这节内容是二次根式的重点与难点.模块一：最简二次根式与同类二次根式1最简二次根式的概念：(1 )被开方数中各因式的指数都为1 ; ( 2)被开方数不含分母被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式：8a2 2

2、 .a + b(1) 1.5a ； (2) 8a2 + b2 ；(3)(a- b)3b2 ；(4)【难度】【答案】(1)不是； (2)是；(3)不是；(4)不是.【解析】(1)被开方数中各因式的指数都为1 ; (2)被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 所以(2)是最简二次根式.【总结】本题考查了最简二次根式的概念.【例2】将下列二次根式化成最简二次根式：(1；(2) J*x3y4(x3 0);(3)广 4x3y2(y> 0) ；(4) 4x2- 4xy+ y2(2x? y)【难度】2(3)2xy . x ；(4) 2x y .【答案】(1)；( 2) V

3、2x ；2【解析】(1)12a= 2 3a ；(2) Jx3y4 =牛亦；(3) . - 4x3y2 = - 2xy - x ；(4).4x2 - 4xy + y222x- y) = 2x- y .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.2 / 21【例3】化简:(a? 0, b°)；(2)x2- x- 12 x+ 3(x 3 4)；(3)x+ 3x2 厂x-12(x< 4).x2- x- 12x+ 3(x- 4)(x+ 3)(3)x+34 xi x 4 - x 4=4 x【难度】【答案】a4 x(1)肓；(2)x 4 ； (3) VV【总结】本题主要考查利用二次根式的

4、性质进行化简.【例4】判断下列二次根式是否为同类二次根式.(1) 1、8和 5 1 ；3 V3(3)2a和 2a2 ；【难度】【答案】(1)不是； (2)不是；(3)不是； (4)是.【解析】(1)T -V8 - 22 -42 , 5、卩迟,333V33 1 .8和5 1不是同类二次根式；33(2)t J2；.掐和不是同类二次根式；(3)t、. 2a22a ； 2a和. 2a2不是同类二次根式;【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断.【例5】将下列二次根式化成最简二次根式:3X 27.( X<0，a<0)；16a (a 10 血 1 .【总结本题主要考查利用二次根式的

5、性质进行变形，注意移入的数必须是非负数. + 32a2b2 ;a b / c、 ab ,b2+ a2(ab>0).【答案】x2 3b ；3ab2，(2)4a . a2 2b2 L L4a. a2 2b2 L L(3) ab. a b .【解析】(1)原式=3x31 X2 3bX2 3ba b . 3b = ab 3b = 3ab2(2)原式=J6a2 a2 2b24a a2 2b2 L L a4a a2 2b2 L L a(3)a2b2a迟幕【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例6将下列根号外的因式移到根号里面:(1)1 J (n <0);

6、(2)【答案(1)n <24m(x< y< 0);(x-(a-24；n ；( 2).3b x y .x y(3) a 1 ；(4) . a 1 .【解析】(J原式=./n ；(2)原式=32b x y2 2x y 1(3)ta 10 a2a 1 a2a【例7】若 4 2x +y和J7+X是冋类二一次根式，求x和 y的值【难度】【答案】x 5, y2 .x y 12x5【解析】由题意得：解得：2x y 7 x 'y2【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解.【例8】已知x+ x2- 1=2，求x- x2 - 1的值.【难度】【答

7、案】-.2【解析】x2 12 x， - x 14 4x x , 即卩 4x 5,5 . x 一4、51 521原式 =- .14 V 42【总结】本题主要考查二一次根式的化简求值.【例9】 分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1) 若最简二次根式.3a与-.8是同类二次根式；(2) 若二次根式 3a与-.8是同类二次根式.【难度】22 2【答案】(1) a ；(2) a n .33_ _ 2【解析】(1)：82 .一 2 , 3a 2 , a -；3(2)T 82 2 , 3a 2n2 n为正整数,- a ? n2 .3【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念.【例10】 将下

8、列式子化成最简二次根式:八年级秋季班d) . (x-1)2+ 4+(x+ 1)2 - 4(1 < x< 4)xx(2) x= 4- 23，求，-2的值.2x+ x【答案】（1） 2x ;(2)3.33【解析】（1）原式=x21-=xx1=2x ;x(2)原式=% 1 2x 4 2 3，二 x3 1原式=1 x 2丽 31 2.32.3 3 2 3 33【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例11】 将下列式子化成最简二次根式:若X、y为实数，且y丄，求.x+2+y-2+y 的值.2, y x . y x【难度】【答案】2.1 1【解析】由题意

9、得：x - ； y - 4 2 2 2 : 2 2x 2 y _ x 2xy y x 2xy y y x = , xy' xyx y xy【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例12】已知等式.x2 - 6x+ 9+x- 3(x- 3)2 = 0成立，求x的值.6 / 21【难度】【答案】x 2 .【解析】由题意得：x 3 0,当2【x 3 0 时，1 x 30，不存在，应舍去当x 3 0时，21 x 30 , x 3 1 或 x 31 , x 4 或 x 2又 x 3 ,x 2 .综上得x 2 .【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性

10、质进行化简，注意被开方数的各因式的符号.【例13】 化简：5+ 2 6 -4- .12 .【难度】【答案】2 1 .【解析】原式=32.4 2 3323 12 1 .注意相应方法【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质化简复合二次根式, 的归纳总结.师生总结1、满足最简二次根式的条件是什么?2、满足同类二次根式的条件是什么？八年级秋季班1、二次根式的加减运算：把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）2、二次根式的乘除运算：（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变;（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.例题解析【难度】【答案】0.【解析】原式=211,

11、22 20 .【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【例15】化简:171+a9a骣®(2)1 x . 4x + 624x2.X.【难度】【答案】(1) 3a a a 2 . ab ;( 2)x x .【解析】（1）原式=迢3.2 6a厘b涯2. aa3aba=2a a 6 . ab 2 ab a . a=3a a 4 - ab ;(2)原式=-x 2 x 6x X 4x2X2 3x=x x 2x . x 4x . x=x jx -【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并.【例16】化简：(1)18bc3 ；(2)層缸325x3 6a/67 ；(3

12、)2、肩?(b3/aE).2【难度】【答案】(21) 3bc2 ； (2) 8 ;(3) 3ab(3) 原式=2b ab.2532诙】原式=1'18bCa abC = 3T 2 ；(2)原式=攀313 5x. x6x612x 6.x45x . x6b ab3ab22【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【例17】已知 x+ y= - 5 , xy= 4 求 +【例18】0 , b> 0).5 2542 .x、y两数的符号，然后【难度】【答案】5 .2【难度】【总结】本题主要考查二次根式的化简，综合性较强，要注意判断 利用整体代入的思想求值.【答案】

13、9a 1【例20已知长方形的长A= 2 32，B=3 18，(1) 求该长方形的周长； (2 )若另一个正方形，其面积与该长方形面积相等，试计算该正方形的周长.【难度b , ab .【解析】原式=2ab 3a . ab abb23 a=2/abTab -3a=2Tab=3a2b2邑亘ab=9a b.ab .【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.化简:nx+ (m-2、- 9x +'-£(x< 0)；【例19(1)(2)【难度【答案(1) 7. x ；( 2)2n31x(y2n31 -x(y0)0)【解析(1)原式=2 x(2)原式=nxX

14、、xy =2n31x(y0)2n31x(y0)【总结本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.八年级秋季班【答案】(1) 6 2 ;( 2) &. 2【解析】(1) C 2 A B32.18 = 4.22、2 = 6迁；3(2) S长2 224 ,正边形的边长为2,周长为8.【总结】本题主要考查二.次根式的运算以及求值.)?a- b【例21】计算：山+_脣_bVa + Jb Jab - b【难度】【答案】2 ab -掐b va 寸b【解析】原式=Vba、b b、a1a ba . bb a . b、aba . bbTabyaba b . b7a/bVaVbb.ab a

15、b . a . ba b 7ba bb=2 , ab .【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意先化简后合并，注意方法的选择.【例22】解下列不等式（1）12x+ 48> 27x+ 3 ； 【难度】【答案】（1）x 3 ；11 / 21八年级秋季班【解析】(1) 2 3x 3.3x 34 3，二,3x 3 3，二 x 3 ；(2)解： 2 .52 5x , 2 5-x ,/ x -.5 5 6【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式.【例23】2+ .3 , y= 2- . 3 .化简求值：(x+2+y+一)？x- y+1，其中 x4x+ yjyy/x- yyVx【难度】【答

16、案】【解析】原式=(Xxy匸=(仮5)(x y 1)xxyX、.勺x yx y 1x yx y 1x y扌巴x= 2 +3 ,y = 2-3代入，得：原式=3 12【总结】本题主要考查了二次根式的化简和分母有理化.【例 24】 若等式 (3x+ 1)(2 - x) =3x+ 1?2x 成立，化简：x- 4 + J9x2 + 6x+ 1 + x- 2 .【难度】【答案】7 x .3x 1 01【解析】由题意得：c c，解得：- X 2 .2x03原式=X 4 3x 1x2=4x3x12x = 7x .【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值.【例25】当x=上_1994时，求多项式(4x

17、3 - 1997x- 1994)2001的值2 '【难度】【答案】1 .【解析】 x原式=1、1994222x 11994 .2 24x 4x 1993 x 4x 4x200119951200111.另一方面考查了利用将【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简求值运算,次思想以及整体代入思想进行求值.随堂检测【习题1】下列各式中，最简二次根式的个数有（1.2 ;xy2 ; . m2 - n2 ; x ; - x2 - 10x + 25 ； 6x .3【难度】【答案】D.【解析】 12 ; . xy2 ; x2- 10x+ 25 ；不是最简二次根式;最简二次根式.【总结】本题考

18、查了最简二次根式的概念.【习题2】下列二次根式中，与 .5不是同类二次根式的为（A.0.5B.C.20D .【难度】【答案】【解析】A.20.52T ;202.5 ；专，故选【总结】本题考查同类二次根式的概念.【习题3】下列化简错误的是（A.3B .0.0T 0.49 =0.01 X . 0.49 =0.1 07=0.071321【难度】【答案】【解析】_ 527【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简.【习题4】若最简根式a+7b 2a+ 5b_7和a+ 3b是同类二次根式，求a+ b的值的平方根.【难度】【答案】±2 2 .【解析】由题意得:a 7b 22a 5b 7a 3

19、b，解得: a b的平方根 .82 2 .【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解.【习题5】合并下列各式中的同类二次根式并计算：(1)(4 5- 4 .3)- 23+12;(2)2 9- 2 , 3 +27 ;3(3)8仮-(丄71+T2X3) ;(4)4/5 - 71000+ 5/10.2【难度】【答案】(1) 4 5 4.3 ;( 2) 6+ 7 ,3 ；( 3) & x 3 x 2x ;( 4) 40 5 5、10 .3 2【解析】(1)原式=4、5 4.3 2 3 23 =45 4.3 ;(2) 原式=6 -43 3丁3 6 - 43 ；

20、3 3(3)原式=8、x 2 2xx 2x8 x3x 2x :2(4)原式=40 510.105 1040.55 10 .【习题6】比较大小：(1) - 35 与-2、石;(2).6 + & 与 5+3 .;(3) x+ y 与石；(4).15-14 与 14- .132八年级秋季班【难度】【答案】（1） 3 5 2.11 ；（2） . 6 , 2 .5 .3 ；（3） Xyy . xy ;（4）.厉14 .13 -【解析】（1）平方法；（2 ）平方法；（3 ）作差法；（4 ）倒数法.【总结】本题主要考查了二次根式的比较大小.【习题7】将下列二次根式化成最简二次根(1) (x2 - y

21、2)(y+ x)(x吵y 0) m- 2n(2) .(m> 2n> 0)；Ym+ 2 nx- y x4y3 + x3y4(3) 22(0<X<【答案】（1)x yxy ；(2)【解析】（1).x22yy xx(2)m2nm24n2 .m2nm；2n（3）原式:x yx33y xyyJx y2【难度】【总结】y x - 2xy + ym 4n ；(3) x.x2y xy2m 2n一 xy .x2y xy2 浜 苻. y y x进行化简，注意被开方数的的符号.【习题8】计算:(3. 2- 2 3)(3 2+ 2 一3)；【难度】八年级秋季班【答案】(1)43 ；(2) ab

22、ab【解析】（1）原式=423“18122.3624a(2)原式=.a ,a bba a . b23 / 21a . ab . ab b a baba b【总结】本题主要考查了二次根式的加减运算和分母有理化.【习题9】已知"卑 茫，y= £+茫，求代数式3x2 - 5xy+ 3y2的值3 + i ： 2- 3 - . 2【难度】【答案】289.【解析】由已知得：x 5 2、. 6 , y 5 2.6，二x y 10, xy 1 .289 .2 2 2 2 23x 5xy 3y 3 x y 5xy 3 x y 2xy 5xy 3 98 5【总结】本题主要考查了分母有理化和完全

23、平方公式的变形.【习题10】解下列不等式：:>4x- 9 ；(1) 2x +(2) 2x+32 < 5x+2 .【答案】（1）x ；（2）【解析】（1）原不等式可化为:4x -，即 2x35 5 x12（2）原不等式可化为：3x【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式.【习题11】 把（a- b）. - 1 化成最简二次根式. a- b【难度】【答案】ba .八年级秋季班#21【解析】T 0 , a b 0 . 原式=a b f_小_a逅a .a bJba '【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【习题12】 已知8x+ . 8x-

24、1 +2，求代数式：x+x+2-x+y-2的值. y x【答案】1.【解析】由题意,1 8x8x 12(x y)xy2(x y) 2x xy xy '得:2xxy12 -_814【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值.【习题13】已知a是4- .3的小数部分，求代数式2 + a- 2桫2 +4a + 4a +骣+ a2+ 2a 桫【答案】3.【解析】134 ,a24 a 1a 2a24【总结】本题主要考查无理数的小数部分的表示以及整体思想的运用.课后作业【作业1】下列二次根式中是最简二次根式的是（八年级秋季班27 / 21A.0.6B. 8a【难度】【答案】D.【解析】殛.

25、- a ? b . - ab 护5; 濟2辰；上，故选D.5V x x【总结】本题考查最简二次根式的概念.【作业2】 把代数式（x- 1）J- 丄 根号外的因式移入根号内，结果为 V x- 1【难度】【答案】1X .【解析】X 1 .1.1 X 1 (3) 、- 2a? . 4b - 2.2ab ;A . 1个B.2个 1_x .Y x i Y x 1【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行变形，注意移入的数必须是非负数.【作业3】 若a< 0, b> 0 ,计算正确的个数是（）C.3个D . 4个【难度】【答案】B.【解析】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误.【总结

26、】本题考查二次根式的性质和有意义的条件.【作业4】二次根式-3（a< 0）化简后的结果为（）aA .- aB . - JaC .-aD . a【难度】【答案】C.【解析】二£=芒1Z=- ,7 aa【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作业5】若a-25与.a-【难度】b+ 1是冋类二次根式，求 ab的值.【答案】1 2a2 2a 41【解析】由题意得：1，解得:b亏111 , a 42-a b25b24【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解.【作业6】计算：(1) 2 .6( 63 322 8)；(2)

27、 (厂无)2 ( 2(x y) X)2 【难度】【答案】(1) 12 18 2 2.3 ;(2) 6x 3y 【解析】(1)原式=12 18 24-3 2 6 2212 18,22.3 ;4(2)原式=x y 2x 2 2x x y 2x 2y x 2 2x x y = 6x 3y 【总结】本题主要考查了二次根式的混合运算.【作业7】化简并计算:(1)12)(y- x)(x< 0, y> 0);y? 3匸【答案】(1)x . y xxy(2)【解析】原式=y x y x ；;xyJxJxL(2)原式=62x3 x2x【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号.【作