第六章 系统稳定性分析

1、第六章 系统稳定性分析第六章第六章 系统稳定性分析系统稳定性分析 本章学习要点本章学习要点u 6.1 系统稳定的概念和条件系统稳定的概念和条件u 6.2 劳斯（劳斯（Routh）稳定判据）稳定判据u 6.3 Nyquist稳定判据稳定判据u 6.4 Bode稳定判据稳定判据u 6.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性第六章 系统稳定性分析6.1 6.1 系统稳定的概念和条件系统稳定的概念和条件6.1.16.1.1系统稳定的基本概念系统稳定的基本概念 如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统的状态可能为如下形式：衰减收敛于原平衡状态 2指数规律衰减图(b)远离原平衡状态 1

2、振荡衰减图(a)3等幅或发散振荡图(c)4按指数规律增加图(d)第六章 系统稳定性分析(a)(b)(c)(d)对于图(a)与(b)，当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原平衡状态，称系统是稳定的；对于图 (c)与(d)，当扰动消失后，系统远离了原平衡状态，则称系统是不稳定的。第六章 系统稳定性分析 所以，稳定性反映干扰消失后过渡过程的性质，是系统自身的一种恢复能力，它是系统的固有特性。干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，系统的稳定性可以定义如下：若控制系统在初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，则称系统为稳定。否则，系统称为不稳定。第六章 系统

3、稳定性分析6.1.2 6.1.2 系统稳定性与特征根的关系系统稳定性与特征根的关系在在4.3.2中，二阶系统的特征方程为中，二阶系统的特征方程为0222nnss特征方程的根为特征方程的根为1,221nnss阻尼比不同时，二阶系统特征根的形式不同，见表4.2，而二阶系统特征根的形式又决定了系统的响应形式，对于单位脉冲响应（见对于单位脉冲响应（见4.3.3节）：节）：第六章 系统稳定性分析1 欠阻尼状态欠阻尼状态(01) ttnonneetx1122212振荡衰减收敛于原平衡状态图(a)指数规律衰减收敛于原平衡状态图(b)指数规律衰减收敛于原平衡状态图(b)第六章 系统稳定性分析4无阻尼状态无阻尼

4、状态(=0) tsLtxnnnnnosin221等幅振荡远离原平衡状态图(c)第六章 系统稳定性分析综上所述，结合综上所述，结合6.1.1中稳定性的定义，可以得出中稳定性的定义，可以得出二阶系统稳定性与特征根的关系为：二阶系统稳定性与特征根的关系为： 当系统特征方程的根全部为负实数特征根当系统特征方程的根全部为负实数特征根和实部为负的复数特征根时，系统是稳定和实部为负的复数特征根时，系统是稳定的。的。 当系统特征方程具有正实数特征根和实部当系统特征方程具有正实数特征根和实部为正的复数特征根及实部为零的虚根时，为正的复数特征根及实部为零的虚根时，系统是不稳定的。系统是不稳定的。第六章 系统稳定性

5、分析设线性定常系统的微分方程为设线性定常系统的微分方程为 6.1.36.1.3系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件 txatxdtdatxdtdatxdtdaooonnnonnn01111 txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbiiimmmimmm01111（nm） 对上式进行拉氏变换，得对上式进行拉氏变换，得 sDsNsXsDsMsXio 0111bsbsbsbsMmmmm 0111asasasasDnnnn sGsDsM系统传系统传递函数递函数N(s)是与初始条件有关的是与初始条件有关的s多项式。多项式。第六章 系统稳定性分析 sDsNsXo 根据稳定性定义，研究系统在初始状态

6、下的根据稳定性定义，研究系统在初始状态下的时间响应（即零输入响应），取时间响应（即零输入响应），取 ，得到，得到 0sXi若若si为系统特征方程为系统特征方程D(s)=0的根（即系统传递函数的根（即系统传递函数的极点。的极点。i=1，2，n），且），且si各不相同时，有各不相同时，有 tsniiooieAsDsNLsXLtx111Ai是与初始条件有关的系数。是与初始条件有关的系数。 第六章 系统稳定性分析 若系统所有特征根若系统所有特征根si的实部的实部Resi0，则零输，则零输入响应随着时间的增长将衰减到零，即入响应随着时间的增长将衰减到零，即 0limtxot 此时系统是稳定的。此时系统是

7、稳定的。 反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随着时间的增长而发散，即则零输入响应随着时间的增长而发散，即 txotlim此时系统是不稳定的。此时系统是不稳定的。第六章 系统稳定性分析若系统特征根具有重根时，只要满足若系统特征根具有重根时，只要满足Re si 0 第六章 系统稳定性分析设系统的特征方程为设系统的特征方程为 00111asasasasDnnnn6.2.2 6.2.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表112143214321753164

8、2012321FEDDBBBBAAAAaaaaaaaasssssssnnnnnnnnnnnn第六章 系统稳定性分析131512AAAaaBnn141713AAAaaBnn17163nnnnnaaaaaA，13121nnnnnaaaaaA，121311AAAaaBnn，15142nnnnnaaaaaA，劳斯稳定判据给出劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件为：为： 劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。还指出：还指出： 劳斯表中劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。

9、统特征方程具有正实部特征根的个数。第六章 系统稳定性分析 00122asasasD0102012aaaasss 对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。下简单形式，以便于应用。劳斯表为劳斯表为（1）二阶系统（）二阶系统（n=2），特征方程为），特征方程为根据劳斯判据得，根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是：二阶系统稳定的充要条件是：a20，a10，a00 第六章 系统稳定性分析 0012233asasasasD0002031202130123aaaaaaaaaassss（2）三阶系统（）三阶系统（n=3），特征方程为），特征方程为劳斯

10、表为劳斯表为a30，a20，a10，a00，a1a2a0a3 由劳斯判据，由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：三阶系统稳定的充要条件为：第六章 系统稳定性分析【例例6.16.1】二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为 03 .4269. 72sssD【解解】已知已知a21 1，a17.697.69，a042.342.3，各项，各项系数均大于系数均大于0 0，由二阶系统劳斯判据式知，该系，由二阶系统劳斯判据式知，该系统稳定。统稳定。试用劳斯判据判别该系统的稳定性。试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 03432234sssssD【例例6.26.2】设系统的特征方程为设系统的特征方程为试用劳斯判据

11、判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。第六章 系统稳定性分析323104233101234sssss【解解】由特征方程的各项系数可知，系统已满足由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表稳定的必要条件。列劳斯表 由劳斯表的第一列看出：系由劳斯表的第一列看出：系数符号不全为正值，从数符号不全为正值，从11223 3，符号改变两次符号改变两次，说明闭，说明闭环系统有环系统有两个正实部的根两个正实部的根，即在，即在s s的右半平面有两个极点，所以的右半平面有两个极点，所以控制控制系统不稳定系统不稳定。【例例6.36.3】已知反馈控制系统的特征方程为已知反馈控制系统的特征方

12、程为 01032523sKKsssD试确定使该系统稳定的试确定使该系统稳定的K值。值。第六章 系统稳定性分析【解解】根据特征方程的各项系数，列出劳斯表根据特征方程的各项系数，列出劳斯表010023210532120123KKKKKssss 由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系数必须大于数必须大于0 0，且劳斯表中第一列的系数均为正值。，且劳斯表中第一列的系数均为正值。0232032052KKKKK解得解得K0.5即为所求。即为所求。第六章 系统稳定性分析6.2.3 6.2.3 劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况 这时可以用一个这时可以用一个很小

13、的正数很小的正数来代替第一列来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。 这时可利用该行的这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助上一行的元素构成一个辅助多项式多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。 1.劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零。其余元素不全为零。2. 劳斯表中某一行的元素全部为零。劳斯表中某一行的元素全部为零。第六章 系统稳定性分析 0122234sssssD12

14、21002211101234sssss【例例6.46.4】设某系统的特征方程为设某系统的特征方程为解：根据特征方程的各项系数，列出解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表表当当00时，时，(2-2/)1时，时，GK(j) 逆时针方向逆时针方向包围（包围（1，j0）点一圈，）点一圈，故闭环系统稳定，如曲线故闭环系统稳定，如曲线a0ImRe0jGK-10ba0K1时，时，GK(j) 不包围不包围（1，j0）点，故闭环系）点，故闭环系统不稳定，如曲线统不稳定，如曲线b第六章 系统稳定性分析 开环系统中含有积分环节，即有零特征根开环系统中含有积分环节，即有零特征根时，设开环传递函数为时，设开环传递

15、函数为jDjjMjGKKK6.3.3 开环含有积分环节的开环含有积分环节的Nyquist图图型系统型系统：0，GK(0)=j，GK ()=00ImRe（1，j0）0+02第六章 系统稳定性分析0ImRe（1，j0）0+0220Re（1，j0）0Im230+型系统型系统：0，GK(0)=j，GK()=0型系统型系统：0，GK(0)=，GK ()=0第六章 系统稳定性分析 以以0 0为圆心，为圆心，r为半径，在右半平面作很为半径，在右半平面作很小的半圆，小的半圆，小半圆的表达式为小半圆的表达式为 （r0）jre零根的处理零根的处理 jjnijijmjjjKeerKreTerreTKsG11) 1(

16、) 1(22 向量向量GK(j)的模为的模为，Nyquist轨迹将沿无穷轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从大半径按顺时针方向从 变化到变化到从从-/2经经0变到变到/2s从从0变到变到0第六章 系统稳定性分析 习惯上把开环系统的习惯上把开环系统的零根作为左根处理零根作为左根处理ImRejre第六章 系统稳定性分析【例例6.7】系统开环传递函数为系统开环传递函数为 13sssKsHsG试用试用Nyquist稳定判据判断该稳定判据判断该闭环系统的稳定性。闭环系统的稳定性。 G (j)H (j)逆时针方向逆时针方向包围包围（1，j0）点一圈，点一圈，故闭环系统稳定是稳定的。故闭环系统稳定是稳定的。含有

17、一个积分环节，故有含有一个积分环节，故有一个从一个从/2到到+/2，半，半径为径为的圆弧。的圆弧。0ImRe00（1，j0）【解解】开环系统在开环系统在s右半平面有一个极点右半平面有一个极点s=1，p1第六章 系统稳定性分析第六章 系统稳定性分析6.3.4 6.3.4 具有延时环节的系统的稳定性分析具有延时环节的系统的稳定性分析 下图为一具有延时环节的系统方框图，其中下图为一具有延时环节的系统方框图，其中G1(s)是除延时环节以外的前向通道传递函数。是除延时环节以外的前向通道传递函数。 sKesGsG1 sXi sXose sG1整个系统的开环传递函数为：整个系统的开环传递函数为：jKejGj

18、G1其开环频率特性为：其开环频率特性为：jGjGK1jGjGK1幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性： 由此可见，延时环节不改变系统的幅频特性，由此可见，延时环节不改变系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生改变，使滞后增加，且而仅仅使相频特性发生改变，使滞后增加，且越大，产生的滞后越多。越大，产生的滞后越多。第六章 系统稳定性分析 111sssG sKesssG11jKejjjG11【例例6.8】在如图所示的系统在如图所示的系统中，若中，若则开环传递函数和开环频率特性为：则开环传递函数和开环频率特性为：0ImRe（1，j0）=0=0.5=1当当增加到使增加到使Nyquist图图包围（包围（1

19、，j0）点时，）点时，闭环系统就不稳定了。闭环系统就不稳定了。 当当0，即无延时环节，即无延时环节时，二阶系统是稳定的。时，二阶系统是稳定的。第六章 系统稳定性分析 ssBesGesGsG111 011 sesG该系统的闭环传递函数为该系统的闭环传递函数为则系统的特征方程为则系统的特征方程为 11 sesG当当时，系统处于时，系统处于临界稳定状态临界稳定状态。当当1.15时，闭环系统不稳定。时，闭环系统不稳定。arctan21jG111121jG=0.786=1.15第六章 系统稳定性分析【例例6.9】系统开环传递函数系统开环传递函数 sTsTKsHsG2111试判别该闭环系统的稳定性。试判别

20、该闭环系统的稳定性。6.3.5 Nyquist稳定判据应用举例稳定判据应用举例 0jHjG 180jHjG当当=时时0ImRe0K（-1，j0） KjHjG0jHjG【解解】当当=0时时由于由于G(j)H(j)在在s的的右半平面无极点，即右半平面无极点，即p=0，且，且G(j)H(j)不不包围（包围（1，j0）点，）点，故不论故不论K取何正值，取何正值，系统总是稳定的。系统总是稳定的。第六章 系统稳定性分析【例例6.10】若控制系统的开环传递函数为若控制系统的开环传递函数为 sTsTsKsHsG2111试求不同试求不同K值时系统的稳定性。值时系统的稳定性。【解解】系统开环幅相频特性为系统开环幅

21、相频特性为 jVUjTjTjKjHjG2111令虚部令虚部V（）0，可得开环，可得开环Nyquist特性曲特性曲线与负实轴交点处的频率为线与负实轴交点处的频率为2121TT第六章 系统稳定性分析 若使系统稳定，必须若使系统稳定，必须满足开环满足开环Nyquist曲线曲线不包围（不包围（1，j0）点）点 12121TTTTKU解得解得 2121TTTTK2121TTTTK 时，曲线包围（时，曲线包围（1，j0）点，闭点，闭环系统不稳定。环系统不稳定。2121TTTTK 时，曲线时，曲线过过（1，j0）点，闭环系点，闭环系统临界稳定；统临界稳定；即曲线不包围（即曲线不包围（1，j0）点，闭环系统稳

22、定；点，闭环系统稳定；第六章 系统稳定性分析 sTsTsTssTKsHsG32141111 jHjG 90jHjG 0jHjG 270jHjG【例例6.11】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为【解解】当当=0=0时，时，当当=时时, ,试判断系统稳定性。试判断系统稳定性。 由于开环系统中有一积分环由于开环系统中有一积分环节，故开环节，故开环Nyquist曲线在曲线在0时始于时始于90。又因为系。又因为系统为四阶系统加一导前环节，统为四阶系统加一导前环节，因此因此Nyquist曲线在曲线在时，时，止于止于270。ImRe=00(-1, j0)=1第六章 系统稳定性分析（2）当导前环节作

23、用大，即）当导前环节作用大，即T4大时，相位减小，大时，相位减小，G(j)H(j) 曲线不包围（曲线不包围（1，j0）点，）点，闭环系统稳定，如图中的曲线闭环系统稳定，如图中的曲线2。（1）当导前环节作用小，即）当导前环节作用小，即T4小时，小时，G(j)H(j)曲线包围（曲线包围（1，j0）点，闭）点，闭环系统不稳定，如图中的曲线环系统不稳定，如图中的曲线1；由于开环曲线在由于开环曲线在s的右半平面无极点，即的右半平面无极点，即p=0第六章 系统稳定性分析 Bode稳定判据实际上是稳定判据实际上是Nyquist稳定判稳定判据的另一种形式，即利用开环系统的据的另一种形式，即利用开环系统的Bod

24、e图图来判别闭环系统的稳定性。来判别闭环系统的稳定性。 6.4 Bode稳定判据稳定判据 根据根据Nyquist稳定判据，若开环控制系统稳定判据，若开环控制系统是稳定的，则是稳定的，则闭环系统稳定的充分必要条件闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性不包围（是开环频率特性不包围（1，j0）点）点。若将。若将Nyquist图转换成图转换成Bode图，两图之间有如下对图，两图之间有如下对应关系：应关系：第六章 系统稳定性分析ImRe100L()ccgg曲线1曲线2曲线1曲线2cc0g180oG(j)Nyquist图及其图及其对应的对应的Bode图图 Nyquist图上的单位圆对应于图上的单位圆对应

25、于Bode图上的图上的0dB线，即对数幅频特性图的横轴。单位圆之外对应线，即对数幅频特性图的横轴。单位圆之外对应于对数幅频特性图的于对数幅频特性图的0dB线之上。线之上。 Nyquist图上的负实轴相当于图上的负实轴相当于Bode图上对数相图上对数相频特性的频特性的180线。线。ab第六章 系统稳定性分析 开环开环Nyquist曲线在（曲线在（1，j0）点以左穿过负）点以左穿过负实轴称为实轴称为“穿越穿越”，这相当于在这相当于在L()0的所有频的所有频率范围内，对数相频特性穿过率范围内，对数相频特性穿过180线。当线。当增增加时，开环加时，开环Nyquist曲线自上而下（相位增加）穿曲线自上而

26、下（相位增加）穿过（过（1，j0）点以左的负实轴称为）点以左的负实轴称为正穿越正穿越；反之；反之为为负穿越负穿越。当。当增加时，开环增加时，开环Nyquist曲线自（曲线自（1，j0）点以左的负实轴开始向下称为）点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越半次正穿越；反之为反之为半次负穿越半次负穿越。 对应于对应于Bode图，在图，在L()0的所有频率范围内，的所有频率范围内，沿沿增加方向，对数相频特性曲线自下而上穿过增加方向，对数相频特性曲线自下而上穿过180线为线为正穿越正穿越；反之为；反之为负穿越负穿越。若对数相频。若对数相频特性曲线自特性曲线自180线开始向上，为线开始向上，为半次正穿越半次正

27、穿越；反之为反之为半次负穿越半次负穿越，如图所示。，如图所示。0180o-180o半次正穿越半次负穿越0G(j)G(j)+第六章 系统稳定性分析Bode稳定判据稳定判据: 如果开环系统在如果开环系统在s的右半平面有的右半平面有p个极点，个极点，则闭环系统稳定的则闭环系统稳定的充要条件充要条件是：是：在开环对数在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在特性曲线在180180线上正负穿越次数之差为线上正负穿越次数之差为p p/2/2。 如果开环系统是稳定的，即如果开环系统是稳定的，即p0，则在，则在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其开环对数

28、幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线不超过对数相频特性曲线不超过180线，闭环系线，闭环系统稳定。统稳定。第六章 系统稳定性分析 Nyquist曲线与单位圆交点的频率，即对数幅曲线与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为幅值穿越频率、幅值交界频率，记为c。 Nyquist曲线与负实轴交点的频率，即对数相曲线与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与频特性曲线与180线交点的频率，称为线交点的频率，称为相位穿相位穿越频率或相位交界频率，记为越频率或相位交界频率，记为g。ImR e 1

29、0 0L ( )ccgg曲 线 1曲 线 2曲 线 1曲 线 2cc0g 1 8 0oG (j)由图可以看出，由图可以看出，如如果闭环系统稳定果闭环系统稳定（对应曲线（对应曲线1），），cg。第六章 系统稳定性分析如果系统在开环状态下，在如果系统在开环状态下，在s的右半平面有的右半平面有p个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线在特性曲线在-180线上正负穿越次数之差为线上正负穿越次数之差为p/2。 Bode稳定判据也可表述为：稳定判据也可表述为：如果系统开环

30、是稳定的，即如果系统开环是稳定的，即p=0，则在开环对，则在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特数幅频特性为正值的频率范围内，其对数相频特性曲线不超过性曲线不超过-180线，闭环系统稳定。线，闭环系统稳定。 若开环对数幅若开环对数幅频特性对横轴有多频特性对横轴有多个剪切频率，如图个剪切频率，如图所示，则取剪切频所示，则取剪切频率最大的率最大的c3来判来判别稳定性别稳定性 。180o0G(j)L()c1c2c3第六章 系统稳定性分析【例例6.12】如图所示的四种开环如图所示的四种开环Bode图，试用图，试用Bode稳定判据判断系统闭环后的稳定性。稳定判据判断系统闭环后的稳定性。 已知

31、开环传递函数在已知开环传递函数在 s s 右半平面有一极右半平面有一极点，即点，即p p=1=1，在，在L L( ()0)0的范围内，的范围内，相频特性在相频特性在180180线线上只有半次正穿越，上只有半次正穿越，故闭环系统稳定。故闭环系统稳定。 已知已知p=0，即开环是，即开环是稳定的，在稳定的，在L()0的范围内，相频特的范围内，相频特性在性在180线上正负线上正负穿越之差为穿越之差为0，可见，可见系统闭环后是稳定系统闭环后是稳定的。的。第六章 系统稳定性分析已知已知p p=2=2，在，在L L( ()0)0的范围的范围内，相频特性在内，相频特性在180180线上正负穿线上正负穿越之差为

32、越之差为2 21=11=1p p/2/2，系统闭环，系统闭环后稳定。后稳定。已知已知p=2，在，在L()0的范围内，的范围内，相频特性在相频特性在180线上正负穿线上正负穿越之差为越之差为12=1p/2，系统闭环，系统闭环后不稳定。后不稳定。第六章 系统稳定性分析1.Bode图可以采用渐进线方法作出，比较简便；图可以采用渐进线方法作出，比较简便；2.Bode图的渐近线，可以粗略判别系统稳定性；图的渐近线，可以粗略判别系统稳定性；3.在在Bode图中，可以明确哪些环节是造成不稳定图中，可以明确哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其中参数进行合理选择或的主要因素，从而对其中参数进行合理选择或校正

33、；校正；4.在调整开环增益在调整开环增益K时，只需将时，只需将Bode图中的对数图中的对数幅频特性曲线上下平移即可，因此很容易看出幅频特性曲线上下平移即可，因此很容易看出为保证稳定性所需的增益值。为保证稳定性所需的增益值。 采用采用Bode稳定判据判别稳定性与采用稳定判据判别稳定性与采用Nyquist稳定判据判别稳定性相比，具有如下优点：稳定判据判别稳定性相比，具有如下优点：第六章 系统稳定性分析6.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 从从Nyquist稳定判据可知，若开环为稳定判据可知，若开环为p0的的闭环系统稳定，当开环闭环系统稳定，当开环Nyquist曲线离（曲线离（1，j0）点越远，

34、则其闭环系统的稳定性越高；当）点越远，则其闭环系统的稳定性越高；当开环开环Nyquist曲线离（曲线离（1，j0）点越近，则其）点越近，则其闭环系统的稳定性越低。这就是通常所说的闭环系统的稳定性越低。这就是通常所说的系系统的相对稳定性统的相对稳定性。它通过开环。它通过开环Nyquist曲线对曲线对（1，j0）点的）点的靠近程度靠近程度来表征，其定量表示来表征，其定量表示为为相位裕度相位裕度 和和幅值裕度幅值裕度Kg。 第六章 系统稳定性分析ImRe cg 0+01(-1, j0)1/Kg-jjcAG(j)H(j)ImRe cg 0+0(-1, j0)1/Kg-jjAG(j)H(j)1c正 相

35、位 裕 度正 幅 值 裕 度a负 相 位 裕 度负 幅 值 裕 度b正正相相位位裕裕度度正正幅幅值值裕裕度度0L ( )cg 1 8 0oG (j) 9 0o 2 7 0oKg(d B ) 0正 相 位 裕 度正 幅 值 裕 度c0L ( )cg 1 8 0oG (j) 9 0o 2 7 0oKg(d B )0）时，相频特性距）时，相频特性距180线的相位差线的相位差叫做叫做相位裕度相位裕度 。相位裕度也相位裕度也叫相位稳定性储备叫相位稳定性储备。 c180因此因此 对于稳定的系统，对于稳定的系统， 必在必在Bode图图180线以上，线以上，这时称为这时称为正相位裕度正相位裕度，即有正的稳定性

36、储备，即有正的稳定性储备; 对于稳定的系统，对于稳定的系统， 必在必在Bode图图180线以下，线以下，这时称为这时称为负相位裕度负相位裕度，即有负的稳定性储备。，即有负的稳定性储备。相应地，在相应地，在Nyquist图中，图中， 对于稳定的系统，对于稳定的系统，必在必在Nyquist图负实轴以下；图负实轴以下； 对于不稳定系统，对于不稳定系统，必在必在Nyquist图负实轴以上。图负实轴以上。 第六章 系统稳定性分析6.5.2 幅值裕度幅值裕度Kg gggjHjGK1 jHjG 在在为相位交界频率为相位交界频率g g（g g 0）时，开环）时，开环幅频特性幅频特性 的倒数，称为的倒数，称为幅

37、值裕度幅值裕度，记做记做Kg，即，即 在在Bode图上，幅值裕度改以图上，幅值裕度改以分贝（分贝（dB）表）表示为示为Kg（dB）。）。 jHjGKdBKgglg20lg20第六章 系统稳定性分析 对于稳定的系统，对于稳定的系统，Kg(dB)必在必在 0 dB线以下，线以下，Kg(dB)0，此时称为此时称为正幅值裕度正幅值裕度； 对于不稳定的系统，对于不稳定的系统，Kg(dB)必在必在 0 dB线以上，线以上，Kg(dB)0，此时称为，此时称为负幅值裕度负幅值裕度 。在在Nyquist图上，由于图上，由于 gggKjHjG1 所以所以Nyquist曲线与负实轴的交点至原点的距曲线与负实轴的交点

38、至原点的距离即为离即为1/Kg，它代表在，它代表在g频率下开环频率特性的频率下开环频率特性的模。模。对于稳定系统，对于稳定系统，1/Kg 1。第六章 系统稳定性分析对于开环稳定的系统对于开环稳定的系统: G(j)H(j)具有正幅值裕具有正幅值裕度及正相位裕度时，其闭环稳定；度及正相位裕度时，其闭环稳定；G(j)H(j)具有负幅值裕度及负相位裕度时，其闭环不稳具有负幅值裕度及负相位裕度时，其闭环不稳定。定。 在工程实践中，为使系统有满意的稳定性储在工程实践中，为使系统有满意的稳定性储备，一般希望备，一般希望6030Kg(dB)6dB，即，即Kg 2必须同时考虑相位裕度和幅值裕度两个指标必须同时考

39、虑相位裕度和幅值裕度两个指标第六章 系统稳定性分析ImRecg0+0(-1, j0)1/Kg-jjA1 0L()cg180o90o270oKg(dB)ng-20dB/dec-60dB/dec【解解】【例例6.136.13】设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 2222nnnssssHsG（00）时，该闭环系统的稳定性。）时，该闭环系统的稳定性。 试分析当阻尼比很小试分析当阻尼比很小第六章 系统稳定性分析 相位裕度相位裕度 很大，但幅值裕度很大，但幅值裕度Kg很小。很小。若若同时根据相位裕度和幅值裕度全面地评价同时根据相位裕度和幅值裕度全面地评价系统的相对稳定性，系统的相对稳定性，就可避

40、免得出不符合实就可避免得出不符合实际的结论。际的结论。 由于在最小相位系统的开环幅频特性与由于在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系，相开环相频特性之间具有一定的对应关系，相位裕度位裕度 表明开环对数幅频特性在表明开环对数幅频特性在剪切频率剪切频率c上的斜率应大于上的斜率应大于40dB/dec（此（此斜率称为剪切率）。斜率称为剪切率）。 6030第六章 系统稳定性分析试求：（试求：（1 1）K K=1=1时，系统的相位裕度和幅值裕度；时，系统的相位裕度和幅值裕度； （2 2）要求调整增益）要求调整增益K K，使系统的幅值裕度，使系统的幅值裕度 20lg20lgK Kg g=20dB=20dB，相位裕度，相位裕度 。 sssKsG05. 012 . 0140【例例6.14】已知一单位反馈系统