重要函数难点突破(非常经典)

1、34hans【易错题】1.（教L1例2）用列举法表示 提醒学生审题的规范，审题要慢，答题要快，草稿纸的合理利用以及答题的规范：取值集合一定要加大括号，定义域和值域，角度和弧度不能混用2.（教L2基7）集合，若，则实数的取值范围是_ 分类讨论的意识要加强3.（教L2例3）已知集合，满足且，则实数 检验意识4.（2011届高三苏州期末考试19题改编）不等式的解集为_ 5.（教L3基6改编）命题“”的否定为_6.（教L3基8改编）函数为奇函数，则实数的取值集合为_ 7.（同心圆梦3）满足的集合共_组 变式：满足的集合共有_组 8.（教L3白皮书7）在中，是的_条件；（充要）在中，是的_条件；（充要）

2、在中，是为锐角三角形的_条件（必要不充分）【专题研究、方法梳理】专题1：整数型（整除性）问题研究类型1：方程型的整数型（整除性）问题引例1：已知二项式，其中，且，在其二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，问这样的n共有多少个？解：连续三项的二项式系数分别为、（），由题意，依组合数的定义展开并整理得，故，则，代入整理得，故的取值为，共42个（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）引例2：已知，问是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由？解： ， 成等比数列 ，所以又为正整数且，n16，且1&

3、lt;m<n，使得成等比数列类型2：不等型的整数型（整除性）问题引例3：已知数列的通项公式为，是其前n项的和，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，请说明理由解： ，由，得 当时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为是正整数，故 当时，由得，所以；当时，由得，所以或；当时，由得，所以或或，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：练习：1: 设均为大于的自然数，函数，若存在实数使得，则 （根据函数值域进行夹逼）2: 各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d > 0）的等差数列，后三

4、项依次成公比为q的等比数列. 若，则q的所有可能的值构成的集合为 3：已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于 答案： 只能为84: 函数中，为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有的值的和为_ 整数型问题：-145. mN，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 _解 当xZ，且x10时，Z若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点若m0，则令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此时m3，14，30故m的取值集合为0，3，14，305: 对任意两个非零的平面向量和，定义. 若两个非零的平面向量，满足与的夹角，

5、且和都在集合中，则_0.5 专题2：集合与不等式恒成立问题研究引例：已知集合，集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（1）转化为根的分布问题，答案为（2）转化为不等式恒成立问题 总结：不等式恒成立问题的相关转换策略，请分析下列恒成立的等价条件：1. =，其中ab0，有对一切xR恒成立2. 函数，对任意都有成立3. 函数，若在区间上是减函数，且对任意的，总有4. 已知函数，若存在，使得5. 已知，若对，6. 函数，若对任意的，总存在，使成立7. 上题中的条件改为“若存在，总存在，使成立”练习：1：已知函数，若对于任意的，均存在以为三边长的三角形，求实数的取值范围2. 函数定

6、义在区间a, b上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值现设 ，()；，()若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”（）若函数，试写出、的解析式；（）若m>0，函数是上的“第3类压缩函数”，求实数m的取值范围（）由于，故在上单调递减，在上单调递增的最大值为3，（）由于，故在上单调递减，在上单调递增， 正整数k对x恒成立，当x0时，均成立；当时，恒成立，而，从而有；当时，恒成立，而，从而有；，函数是上的“第3类压缩函数”，m>0 专题3：一类集合交集非空问题研究例：（教L2例4）已知集合，若，则实数的取值范围是_ 链接：（

7、2011年江苏高考14）设集合，若，实数范围是_变式：设集, 若 则实数m的取值范围是_.（考虑圆夹在两条平行线间的情况）圆心满足不等式或圆与两条中的一条有公共点优化方法：求出斜率为-1且和圆相切的两直线的纵截距分别为和，而后分析：其充要条件是位于下方的直线的纵截距不大于，位于上方的直线的纵截距不小于，即得答案专题4：数列中取公共元素成新数列问题研究引例1：两个集合和都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合中元素的最大值为规律结论：若两等差数列公差分别为，则数列的公差为两者的最小公倍数引例2：设等差数列an的前n项和是Sn，已知S39，S636（1）求数列an的通项公

8、式；（2）是否存在正整数m、k，使am，am5，ak成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，说明理由；（3）设数列bn的通项公式为bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*将集合AB中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，求cn的通项公式解：（1）设等差数列的公差是，由和，得得 ，（2）成等比数列等价于 等价于即：，是正整数所以存在正整数，使成等比数列和的值是 或 或 9分（3）因为 ，；所以 ，即：当时，；当，当时，当时， 所以的通项公式是即：专题5：数列中隔项成等差（等比）数列问题研究引例：（教L4例2）已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是拓展：若数列

9、为公差为的等差数列，试探究数列为等差数列的充要条件，并加以证明.引例：已知正项数列满足，求证：数列为等比数列的充要条件是.拓展：若正项数列满足：数列为公比为的等比数列，试探究数列为等比数列的充要条件，并加以证明.练习：数列满足，则的前项和为_专题6：复合函数方程的根的问题研究引例1：（教L4例4）已知函数，集合，. 若为单元素集，试求的值.引例2：（2012年江苏高考）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数解：不妨令，则，由易得的示意图，且极大值极小值分别为，时，同理可作出的函数图象（和函数图象相同)，当时

10、对应零点3个，当时对应零点2个，时，零点有5个；同理时，也有零点5个；当时，此时零点有3个，对应零点有9个。综上当时各有个零点，当时有个零点练习： 1. 且 2. 0个 1. 函数方程有7个根的充要条件是_2. 关于的方程，给出下列四个命题：（1） 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数为_3已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根

11、； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_专题 函数中相关问题的再研究 学习是一趟旅程，教师充当的是导游的角色。在旅程开始前，何导游先介绍一下本次旅程我们要参观的景点（相当于认知地图Cognition-map），游览前需要对我们本次要参观的景点心中有数，游览完本专题后再回头审查这份认知地图，看看能否对此次旅程的所有景点有较深刻的印象，如果能做到这一点，恭喜你，我们不虚此行！本专题的认知地图，游览完本景点，你应该了解：1. 含参三次函数的最值问题如何进行分类讨论？讨论三层次是指哪三个层次？2. 简单的复合函数、含分式的复合函数、含根式的复合函数的值域分别怎么求解？3. 恒成立

12、问题中参数范围如何进行局部缩小，以达到简化问题的效果？4. 函数型方程（不等式）有哪些常见求解策略？5. 常见的类非基本初等函数分别如何研究？八类函数分别是：尖底平底型函数、型函数、牛顿三叉函数、含绝对值的复合函数、对数与绝对值函数的复合、指数与绝对值函数的复合、对数与双曲线型函数的复合、对数与二次函数的复合？6. 含参二次函数综合问题如何突破？7. 高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些？8. 函数与方程有三种等价语言可以相互转化，是哪三种？遇到问题时该如何选取？【易错题】1.（教L6练7）已知函数的定义域为，值域为，则的定义域为_；值域为_ （答案：；）2.（教L6练8）已知函数的图

13、像与的图像关于点对称，则的解析式为_ （相关点法求函数（曲线）的解析式（轨迹方程）问题）3.（教L7基8）函数的值域为_；函数的值域为_；函数（）的值域为_；的值域是_答案：；4.（教L8基6改编）函数的单调增区间为_；已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 答案：和 （注意使用导数方法的检验）5.（教L9例3）设为函数的对称中心，则必有恒等式_根据上述结论，写出函数的一个对称中心为_6.（双对称问题）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数.若方程在区间上有四个不同的根，则7.（教L9练5）已知函数若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_ 变式1：已知数列是单调递增数列，且通项公

14、式为则实数的取值范围是_ 变式2：已知函数f(x)=在R不是单调函数，则实数的取值范围是 变式3：已知函数,其中. 若对任意的非零实数,存在唯一的非零实数,使得成立,求的取值范围.变式4：已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-，+)总是不单调则a的取值范围是 a两情形：或当时在上恒成立8.（教L12例3）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是_ 9. （教L14基3）已知函数是定义在上的单调函数，若，则函数的零点个数为_ 0个或1个 10. 抽象函数虽然抽象，但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象性质，请各找出一个满足下列条件的基本初等函数：（1）_；

15、（2）_（1）为二次函数；（2）为余弦函数11. （教L16练4）已知偶函数满足，当时，则 12.求的最小值为_（多注重对结构的认识）变式：已知满足则的最大值_.0； 法一：，法二：；构造函数：此函数为增函数，由得，即【专题研究、方法梳理】专题1：含参三次函数的最值问题及讨论三层次研究引例1：（教L6练9）函数的图像上有两点，且轴，点，其中，（1）试写出用点的横坐标表示面积的函数解析式；（2）记的最大值为求解：（1）；（2）练习：已知函数，且（1）试用含有的式子表示；（2）求的单调区间.专题2：几类函数的值域问题求解策略归纳第I类：简单的复合函数（换元法）引例1：；第II类：带分式的复合函数（

16、换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数的值域为_，曲线的对称中心为_；若添加条件，则值域为_；直接写出下列函数的值域：；引例3：求函数的值域 部分分式、换元 答案：变式：求函数的值域变式：求函数（）的值域（换元）引例4：求函数的值域 （部分分式、判别式）第III类：带根式的复合函数（观察、换元、平方法、三角换元）引例5：求函数的值域；思考：求一般根式函数的通法是什么？引例5：求函数的值域；变式1：求函数的值域（还可以用导数法研究）变式2：求函数的值域（平方法、三角换元法）变式3：求函数的值域（换元）变式4：求函数的值域（三角换元）一般的，求函数（其中）的值域如何研究？

17、第IV类：构造法求函数的值域问题_（拓展：多元变量的最值问题）引例6：求函数的值域是_变式1：函数f(x)=的最大值与最小值的乘积是 解法1 当x0，±1时，f(x)=当>x时，f(x)，且当=2时，取“=”，故f(x)的最大值为又因为f(x)为奇函数，故f(x)的最小值为所以所求的乘积为解法2 令=0，得x2=函数f(x)的最大值应在x-x3>0，即0<x<1或x<-1时取得所以f(x)max=maxf()，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，则g()=f(x)=，所求乘积为变式2：若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数

18、a的取值范围为 解法1 因x0，故将方程两边同除以x3，并变形得=0令g(t)=，t=原方程有实数根，等价于函数g(t)有零点因g(-1)= -1，故函数g(t)有零点，只须g(-2)0或g(2)0解g(-2)0，得a2；解g(2)0，得a所以，实数a的取值范围为解法2 易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=0所以，a=，其中t=解法3 接解法2，a=，于是因=x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0，故由可解得x=1或-1当x>0时，a<0，且当x=1时，a取极大值，故此时a；当x<0时，a>0，且当x= -1时，a取极小值2，故此时a2综上，实数a的取值

19、范围为注 异曲同工之妙，它们都出现了x，x2，x3，x4，经换元后，分别得到了只关于整体变量及的表达式，进而一举解决了问题练习1：设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 2：已知点到原点的距离为1，则的最大值为_首先点的运动轨迹方程为，可视为点与点的连线斜率；而的运动轨迹为圆，易得最大值为3：，对于任意实数，的最大值为_4：已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是 8解析：分子分母同时除以，变形为（消元思想）（其中条件为），而后转化为的函数，易求得最小值为8专题3：恒成立问题中参数范围的局部缩小策略引例1：（教L7例4）若函数的定义域与值域均为区间（），求实数的取值范围.（局部

20、缩小策略，将问题的研究缩小到正实数区间和负实数区间两种情况里，对于每种情况采用不同的处理方法；答案：）引例2：已知函数，其中是自然数的底数，.若在上是单调增函数，则的取值范围为_练习1：设aR，若x > 0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，则a=_2：对于总有成立，则= 3：设f(x)奇函数，当时， f(x)2xx 2，若函数f(x)(xa，b)的值域为，则b的最小值为_ ，实数的取值集合为_ ；局部缩小：首先a,b异号，一定不成立；则a,b同号，要求最小值，则只考虑小于0情形专题4：函数型方程（不等式）的常见求解策略 引例1：（天津高考）已知函数，若，则实数的取值范围是_ 引

21、例2：实数，函数，若，则= 练习1：函数f(x)=,则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范围是_ (1,-1)2：已知，试求满足的所有实数a解：情形1：当由解得矛盾情形2：当，此时，矛盾。情形3：当，此时所以情形4：当，此时矛盾。情形5：当，此时由矛盾。情形6：当a>0时，此时由综上知，满足的所有实数a为：解法二：数形结合也可易得答案： 3：函数则满足不等式的的取值范围是_答案：专题5：八类常见非基本初等函数的研究函数模型一：尖底平底型函数（且是等差数列）它的图像是什么？一定是轴对称图像吗？若是，对称轴是什么？最小值何时取得？引例1：函数的最小值为_引例2：设函数的图像关于直

22、线对称，则的值为_练习：，且，则满足条件的所有整数的和是_下列命题中真命题的序号是 _（1）是偶函数；（2）在上是增函数；（3）不等式的解集为；（4）方程有无数个实数解拓展：已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值解 f(x)=，f(x)共表示为5050项的和，其最中间两项均为x=，同时使第1项|x-1|与第5050项的和，第2项与第5049项的和，第3项与第5048项的和，第2525项与第2526项的和，取得最小值故所求的x为注 1一般地，设a1a2a3an(nN*)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x

23、-an|若n为奇数，当x=时，f(x)取最小值；若n为偶数，则x时，f(x)取最小值函数模型二： 型函数函数的图像和性质如何研究？引例：函数的定义域是，若对任意的，都有，则实数的取值范围是_ 练习：已知函数f(x)|ex|(aR)在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围是_函数模型三：牛顿三叉曲线在数学史上，成为牛顿三叉曲线.运用数学方法，总结“牛顿三叉”函数的图像和性质练习：1：已知函数在上为增函数，则的取值范围为 变式：若条件改为上为减；上为增；上为减，结论分别如何？2：已知二次函数的图像以原点为顶点，且过点（1，1），反比例函数的图像与的两个交点间的距离为8，。试判断当时，关于的方程的

24、实数解的个数为 函数模型四：仅含绝对值的复合函数引例1：已知，函数（1）判断函数的奇偶性，请说明理由；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（只要写出结果，不需要写出解题过程）解：（1）当时，则为奇函数；当时，且，则既不是奇函数又不是偶函数 （2）当时，且当时，有； 当时，对称轴，在增，； 当时，对称轴，若， 若， 综上所述：； （3）时，；时， 引例2：已知，函数.求函数在区间1,2上的最小值.练习：1. 已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 变式：函数在上有最大值，则实数的取值范围是_2. 已知函数，其中，且.（1）如果函数的值域是

25、，则实数的取值范围为_；（2）如果函数的值域是，实数的最小值为_3. 已知函数（1）若函数在R上是增函数，求实数的取值范围；（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围解：（1）由在R上是增函数，则即，则范围为；4分（2）由题意得对任意的实数，恒成立，即，当恒成立，即，故只要且在上恒成立即可，在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而当时，为增函数，；当时，为增函数，所以； （3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，时，对称轴，

26、则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；由存在，方程有三个不相等的实根，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为；综上所述，实数的取值范围为 函数模型五：对数和绝对值函数的复合型函数引例：已知函数,.（）当时,求函数在区间上的最大值；（）若恒成立,求的取值范围；（）对任意,总存在惟一的,使得成立,求的取值范围.解：（）当,时,所以在 递增,所以（）当时，恒成立, 当时，（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数,故当时，且此时(ii)当,即时，在时为负数，在间 时为正数,所以在区间上为减函数，在上为增函数,故当时，

27、且此时 (iii)当,即 时，在时为负数，所以在区间1,e上为减函数，故当时，综上所述，函数的最小值为所以当时,得; 当()时,无解；当 （）时,得不成立. 综上,所求的取值范围是（）当时,在单调递增,由,得 当时，在先减后增,由,得, 设,yax所以单调递增且，所以恒成立得当时,在递增，在递减，在递增,所以由,得,设,则,所以递增，且,所以恒成立，无解. 当时，在递增，在递减，在递增,所以由得无解 综上,所求的取值范围是函数模型六：指数和绝对值函数的复合型函数引例：（2008江苏卷20）若，为常数，且（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；（）设为两实数，且,若.求证：在区间上的单调增区间

28、的长度和为（闭区间的长度定义为）【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（）恒成立（*）因为所以，故只需（*）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（）1°如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2°如果.（1）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以，故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，当时，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=（2）当时.，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时， ，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的

29、长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为函数模型七：对数与双曲线型函数的复合型函数引例：设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.（1）设函数，其中为实数。（i）求证：函数具有性质； （ii）求函数的单调区间；（2）已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|<|，求的取值范围.解：（1）(i)时，恒成立，函数具有性质；(ii)（方法一）设，与的符号相同。当时，故此时在区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；（方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间

30、上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增。(2)（方法一）由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|<|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。（讲评时对方法进行优化）思考：（1）设函数