极限的运算法则(16)课件

1、一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第三节极限运算法则 第二二章 ,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx 则则 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BA 定理定理 2.5 若若(1) )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BA (2)若若 B0 , 则有则有 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxxBA (3)一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则证证200 xx时时,有有.2)( Bxg , ,min2

2、1 取取,00 xx则当则当时时,有有)()(BAxgxf )()(BxgAxf ,22 当当(1)由由可知可知, 0 , 0, 021 使得当使得当100 xx时时,有有,2)( Axf,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx 因此因此 )()(lim0 xgxfxx,BA ).(lim)(lim00 xgxfxxxx B)x(gA)x(f ABxgxf )()(2)ABxBfxBfxgxf )()()()(Bxgxf )()(AxfB )(Axfxx )(lim0, 0 使得使得时时，有有当当100 xx Axf)(01 由由ABxgxfxx )()(lim0需需证证： 及及 定理

3、定理2.2 知，知，, 0 M 及及 及及Mxf )(上有界上有界在某在某)()(0 xUxf时时，当当100 xx, 0 01 Mxf )( Axf)(有有Bxgxx )(lim0 又由又由 知知,使得当使得当时，时，200 xx Bxg)(, 02 , ,min21 取取则则ABxgxf )()(Bxgxf )()(AxfB )( BM对于上述对于上述 0,有有 ? / 2C因此因此 )()(lim0 xgxfxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx BMC2C2CCCC22 , 00 xx时时, 有有当当C2/ 其中其中 .,maxBMC AB(3)0()()(lim0 BBAxg

4、xfxx需需证证：Bxgxx )(lim0 由由 及及 定理定理2.2 知，知，, 0 , 0 M 及及0 使得当使得当 00 xx时时, 有有 )()(lim0 xgxfxx,)(1)(lim0 xgxfxx 由于由于 MBBxg )( 及及,)(1Mxg 所以所以 Bxg1)(1BxgxgB )()(11 MBMB1由由(2), 需证当需证当B0时时)(lim11)(1lim00 xgBxgxxxx 因此因此.)(lim11)(1lim00 xgBxgxxxx 从而从而(3)式成立式成立.若若,lim,limByAxnnnn 则有则有)(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,0

5、)3(时时当当 BBAyxnnn limBA BA 注注运算法则运算法则 , 有相应的结论有相应的结论 .及及 x时函数极限的四则时函数极限的四则例如例如, 对于数列极限对于数列极限,对于数列极限对于数列极限有以下结论有以下结论: 数列是一种数列是一种 特殊的函数特殊的函数, 故此结论可故此结论可 由由定理定理2.5直直 接得出接得出 .,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx BA (极限运算的线性性质极限运算的线性性质) 若若 以上运算法则对以上运算法则对有限个有限个函数成立函数成立.推论推论 和和是常数，

6、是常数， 则则 于是有于是有nxxnxxxfxf)(lim)(lim00 幂的极限等于极限的幂幂的极限等于极限的幂求求).52(lim22 xxx 解解)52(lim22 xxx5limlim)(lim22222 xxxxx52)lim(222 xx例例1极限运算的极限运算的线性性质线性性质 结论：结论： )(lim1100nnnxxaxaxa nnnaxaxa 10100 幂的极限幂的极限等于极限等于极限的幂的幂53222 .531lim232 xxxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03

7、531lim232 xxxx.37 3123 例例2商的极限等商的极限等于极限的商于极限的商)53(lim)1(lim2232 xxxxx一般地，一般地， 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR 其中其中)(, )(xQxP都是多项式都是多项式 ,，则，则若若0)(0 xQ)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx )()(00 xQxP )(0 xR 注注 若若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 .请看下例请看下例: 结论：结论： )(lim0 xRxx)(0 xR )0)(0 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的极限法则

8、不能直接用商的极限法则不能直接用321lim21 xxxx称称31lim1 xx.41 例例3.321lim21 xxxx求求由极限定义由极限定义x1，x1, 0)1(lim1 xx又又为为.00型极限型极限321lim21 xxxx约去无穷小因子法约去无穷小因子法型型）（00)1)(3(1lim1 xxxx“ 抓大头抓大头”.147532lim2323 xxxxx求求分析分析)(型型 147532lim2323 xxxxx.72 可以先用可以先用 x3 同时去除分子和分母同时去除分子和分母, 然后再取极限然后再取极限.)147(lim)532(lim33xxxxxx 例例4. .分母的极限都

9、是无穷大分母的极限都是无穷大分子,分子,时,时, x33147532limxxxxx 解解结论：结论：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00 mn 当当mmmxaxaxa 110limnnnbxbxb 110,00ba,0, mn 当当mn 当当消去无穷大因子法消去无穷大因子法: : 以分母中自变量的最高次幂以分母中自变量的最高次幂 除分子除分子, 分母分母, 以消去无穷大以消去无穷大 因子因子, 然后再求极限然后再求极限.81221lim32 xxx求求例例5解解分析分析型，先通分，再用极限法则型，先通分，再用极限法则. 原原式式)42)(2()2)(4(lim22 xxxxxx424l

10、im22 xxxx.21 812)42(lim322 xxxx882lim322 xxxx)00()(型型 例例6解解.21lim32323 nnnnn求求 原原式式)12)(1(611lim3 nnnnn nnn1211lim61.31 无穷多无穷多项和的项和的极限极限公式求和变公式求和变为有限项为有限项定理定理上有界上有界在在设设。),()(10 xUxf证证的的无无穷穷小小，即即，0)(lim0 xgxx. 0)()(lim0 xgxfxx(有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小)则则，使使得得常常数数0 M时时，当当100 xx恒有恒有.)(Mxf 时时是当是当上

11、有界，上有界，在在设设。010)(),()(xxxgxUxfMM , ,min21 取取, 0 )()(xgxf)()(xgxf 时时使使得得当当2020, 0 xx.)(Mxg 恒恒有有恒有恒有则当则当, 00 xx. 0)()(lim0 xgxfxx0)(lim0 xgxx又又例如，例如，xxx1sinlim0= 0)11sin, 0lim(0 xxx二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理2.6 设设,)(lim0axxx 当当100 xx时时,)(axu 又又,)(limAufau 则有则有 )(lim0 xfxx Aufau )(lim注注1 定理定理2.6中的

12、条件：中的条件：),(,)(10 xUxax 不可少不可少. 否则，否则，定理定理2.6 的结论的结论不一定不一定成立成立.原因：原因：.)()(lim无无关关是是否否存存在在与与afufau反例反例0)(,0, 10, 0)( xuuuf 设设. 0,0 aRx取取, 0)(lim0 xxx 00lim)(lim00 uuuf，但但由由于于1)( xf )(a 虽然虽然所以所以1)(lim0 xfxx . 0)(lim0 ufu，且，且或或若若)(lim()(lim0 xxxxx ，且且若若)()(lim)(lim0afufaxauxx 则则 )(lim0 xfxx 2 定理定理2.6的其他

13、形式的其他形式(1)(2),)(limAufu 则有则有 )(lim)(0 xfxxx 或或.)(limAufu ).()(limafufau 由定理由定理2.6，知，知)(lim ufau )(lim0 xfxx 在求复合函数极限时在求复合函数极限时,可以作变量代换，得到可以作变量代换，得到且代换是双向的，即且代换是双向的，即)(lim ufau .)(lim0 xfxx )(xu ux )( 例例7 求求解解 令令.93lim23 xxx93)(2 xxxu 于是于是ux3lim61 从而从而 原式原式 =uu61lim 61 .66 )3)(3(3lim3 xxxx从左向右从左向右用用式

14、式 )(lim0 xfxx Aufau )(lim93lim23 xxx)(lim61ufu型型）（00内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 极限四则运算法则极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0)1xx 时时, 用代入法用代入法( 分母不为分母不为 0 )0)2xx 时时, 对对00型型 , 约去零因子约去零因子 x)3时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂 “ 抓大头抓大头”(2) 复合函数极限求法：复合函数极限求法：设中间变量，变量

15、代换设中间变量，变量代换.或先有理化后约分或先有理化后约分 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么?(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？思考题思考题?321lim2222 nnnnnn2.答：答： 一定不存在一定不存在存在，存在，假设假设)()(limxgxf 存在存在)(limxf由极限运算法则可知：

16、由极限运算法则可知： )()()(lim)(limxfxgxfxg 必存在，必存在，这与已知矛盾，这与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题解答思考题解答)()(limxgxf (1)是否一定不存在？为什么是否一定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg答：答： 不一定不一定.反例：反例：xxgxxf1sin)(,)( 不不存存在在，但但)(lim, 0)(lim00 xgxfxx .01sinlim)()(lim00存存在在 xxxgxfxx，xxgxf1sin)(, 1)( .)()

17、(lim0不不存存在在xgxfx(2)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg答：答： 一定不存在一定不存在.（可用反证法证明）（可用反证法证明）(3) 又加条件：又加条件：, 0)(lim Axf)()(limxgxf是否一定不存在？是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若在自变量的某个极限过程中，若 存在，存在， 不存在，那么不存在，那么 )(limxf)(limxg?321lim2222 nnnnnn2.解解 原式原式22)1(li

18、mnnnn )11(21limnn .21 备用题备用题例例3-1解解.42lim4 xxx求求42lim4 xxx)2)(4(4lim4xxxx xx 21lim4先有理化先有理化 再约去再约去无穷小无穷小 .41 型型）（00例例3-2, 0)0(2 BA. 2 A从从而而, 01)1(3lim21 xxBAxx已知已知.的的值值，试试求求常常数数BA解解0)1(3lim21 xBAxx因为上式极限存在因为上式极限存在 0于于是是1)1(3lim21 xxBAxx1)1(23lim21 xxBxx)123(lim21Bxxx 2132lim()1xxBBBx 11234)3(lim221 xxxx11231lim221 xxxx231lim21 xxx.21 解解)(型型 13lim242 nnnnn. 0 可以先用可以先用4n同时去除分子和分母同时去除分子和分母,然后再取极限然后再取极限.)131(lim)11(lim4232nnnnxn 例例4-1.13lim242 nnnnn求求. .分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子,分子,时,时, n423213111limnnnnn 例例4-2)(xf设设解解根据前一极限式可令根据前一极限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一极限式再利用后一极限式 , 得得xxfx)(lim30 可见可见0,3