极限存在准则两个重要极限(3)课件

1、第五节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结 思考题一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则

2、求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 I 和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 证明：证明：).0(1limaann,1nnxa,1)1 (nnnnxxa证证 当当a=1时，结论显然成立时，结论显然成立.先设先设a1,令令则则 xn0, 由由贝努利不等式贝努利不等式,有有从而有从而有,1111naxann由夹逼准则知由

3、夹逼准则知1limnna成立成立.当当0a0,结论成立结论成立.例例3 3!lim.nnnn求解解!1 2110,1lim0,!lim=0.nnnnnnnnn nnnnnnn 因而所以x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM不等式为严格不等式时不等式为严格不等式时,称为严格单调称为严格单调可利用确界存在定理可利用确界存在定理证明证明例例4 4.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递

4、增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx柯西收敛准则柯西收敛准则时，都有使得当NmnN, 0, 0.|mnxx，都有的自然数时，对一切使得当pNnN, 0, 0或者等价地，数列或者等价地，数列xn收敛的充要条件是：收敛的充要条件是：.|npnxx准则准则III 数列数列xn收敛的充要条件是：收敛的充要条件是：注：注：数列数列 xn 发散的充要条件是：发散的充要条件是

5、：.|, 00000000npnxxpNnN使得和自然数总存在某个正整数发散。证明设), 2 , 1(1211nnxnnx例例5.2122122121|, 1,2100000000发散所以但则有取正整数取证nnpnxNNNNxxNnNpnNAC二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立

6、上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx. 1coslim0 xx例例6 6.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 这个重要极限这个重要极限(1), 可写成可写成1 sinlimu0uu其中其中, u可以为函数可以为函数(无穷小量无穷小量).例例7. .sinlimxxx求解解:由于由于x . 所以所

7、以x 0.因此因此, 令令u=x , 当当x 时时, u0, 代入代入xxxsinlimuuu)sin(lim0uuusinlim0= 1(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;

8、是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)

9、1(lim例例8 8.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例9 9.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 例例10. .1lim0 xexx求解解:= 1xexx1lim0令u=ex 1 , 则x=ln(1+u),)1ln(lim0uuu)1ln(11lim0uuu当x0时, u0.例例11. .21limxxxx求解解:1 . 121,称为指数底数时当xxxx如何利用第二个重要极限呢?注意到, 若f (x)A, 则f (x)=A+, 为无穷小量. 121的形式必可写成故底数xxx

10、xxx21lim2)2(211limxxxxxxxx211limxxxx212lim2)2(211limxxxxx1 e例例12. .)(coslim210 xxx求解解:210)(coslimxxx21cos1cos10)1(cos1 (limxxxxx210)1(cos1 (limxxx21 e三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 ；柯西收敛准则；柯西收敛准则; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim

11、 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222