第六章：弯曲应力

1、第六章：弯曲应力第六章：弯曲应力弯曲应力弯曲应力余余 辉辉 弯曲应力弯曲应力一、弯曲构件横截面上应力一、弯曲构件横截面上应力 一般情况下，梁的横截面上同时一般情况下，梁的横截面上同时存在剪力存在剪力FS和弯矩和弯矩M。剪力剪力切应力切应力 6-1 引引 言言弯曲应力弯曲应力一、静矩与形心一、静矩与形心dzASy A1.截面图形对截面图形对z轴的静矩轴的静矩Sz dyASz A截面图形对截面图形对y轴的静矩：轴的静矩：yzOdACACzCyzy说明：说明： 静矩可正，可负，也可能等于零；静矩可正，可负，也可能等于零； 静矩单位静矩单位m3。 截面图形的静矩是对某轴而言的，截面图形的静矩是对某轴而

2、言的， 轴不同，静矩就不同轴不同，静矩就不同 ；6-2 截面的几何性质截面的几何性质弯曲应力弯曲应力yzOdACAzyCzCydAzCy ASyAAdyACz ASzAA2.截面图形的形心截面图形的形心 yCSAz,zCSAy说明：说明： 若某坐标轴通过截面形心，则截面图形若某坐标轴通过截面形心，则截面图形 对该轴的静矩必为零对该轴的静矩必为零 ；若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则该该 坐标轴必通过截面图形的形心坐标轴必通过截面图形的形心;截面图形对形心轴的静矩等于零。截面图形对形心轴的静矩等于零。弯曲应力弯曲应力例例6-1 矩形截面如图所示，试求阴影部分面积

3、对矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、轴、y轴的静矩，图中轴的静矩，图中b、h为已知。为已知。4hAb解解:( (1) )计算静矩计算静矩Sz 13244Chhhy12334416zChhbhSAyb( (2) ) 计算静矩计算静矩Sy y轴通过阴影部分图形面积的形心轴通过阴影部分图形面积的形心C10yS y1C2h2hC4h4hzb弯曲应力弯曲应力3.组合截面图形的静矩组合截面图形的静矩1nziCiiSA y1nyiCiiSAz 组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分图形对同一轴静矩的代数和。图形对同一轴静矩的代数和。 其中其中Ai为其中第

4、为其中第i个组成部分图形的面积；个组成部分图形的面积；为其中第为其中第i个组成部分图形的形心坐标。个组成部分图形的形心坐标。,CiCizy 由几个简单图形组成的截面称为组合截面。由几个简单图形组成的截面称为组合截面。弯曲应力弯曲应力例例6-2某梁的截面图形如图所示，试求其对图示某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩（图中单位尺寸为坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。）。( (2) ) 计算静矩计算静矩Sz 此截面可以看作由两个矩形此截面可以看作由两个矩形1、2组成组成0yS 5050201401220zOy3343100 20 150m140 20 70m4.96 10m解：解：(

5、(1) ) 计算静矩计算静矩Sy y轴为对称轴轴为对称轴 1212zCCSA yA y弯曲应力弯曲应力yzO二、惯性矩与惯性半径二、惯性矩与惯性半径zdAy1. 惯性矩惯性矩 2dzAIyA截面图形对截面图形对y轴惯性矩轴惯性矩 2dyAIzA截面图形对截面图形对z轴惯性矩轴惯性矩 2. 极惯性矩极惯性矩 2PdAIAPzyIII说明：说明： 截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴截面图形的惯性矩是对某轴而言的，轴 不同，惯性矩就不同不同，惯性矩就不同 ； 惯性矩值恒为正惯性矩值恒为正 ； 惯性矩单位为惯性矩单位为m4 。弯曲应力弯曲应力3. 惯性半径惯性半径 zzIiAyyIiA2zzIAi2y

6、yIAi弯曲应力弯曲应力yzhCb例例6-3 试计算图示矩形截面对其对称轴试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和轴和y轴轴的惯性矩。的惯性矩。dyy解解:( (1) )计算计算Iz 22232112hzAhIy dAby dybhddAb y取平行于取平行于z轴、高度为轴、高度为dy的狭长矩形的狭长矩形为微元面积为微元面积dA 3112yIhb( (2) )计算计算Iy 同样的方法同样的方法 弯曲应力弯曲应力例例6-4 计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解解:圆形截面对圆心的极惯性矩圆形截面对圆心的极惯性矩 由于圆形是中心对称图形，且由于圆形是中心对称图形，

7、且yzCd4P132Id4P11264zyIIIdPzyIII则则弯曲应力弯曲应力yzCdD例例6-5计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。 44P132IDd44P11264zyIIID解解:圆环形截面对圆心的极惯性矩圆环形截面对圆心的极惯性矩 由于圆环形是中心对称图形，且由于圆环形是中心对称图形，且PzyIII则则其中其中 为圆环的内外径比。为圆环的内外径比。d D弯曲应力弯曲应力三、惯性矩平行移轴公式三、惯性矩平行移轴公式 yadAOCzbyzCyCzCyCz 2CzCAIy dA2zAIy dA,Cyya2222zCCCAAAAIyadAy dAa

8、y dAadA22CCzzIaSa A弯曲应力弯曲应力22CCzzzIIaSa A0CzS2CzzIIa A2CyyIIb A惯性矩的平行移轴公式惯性矩的平行移轴公式 弯曲应力弯曲应力例例6-6计算图示计算图示T字形截面对其形心轴字形截面对其形心轴zC的惯性矩的惯性矩 。 CzI该截面图形可视为由矩形该截面图形可视为由矩形1、2组合而成组合而成解解:( (1) )确定形心确定形心C位置位置 截面关于截面关于y轴对称，所以形心轴对称，所以形心C必在对称轴必在对称轴y轴上，故只需求出轴上，故只需求出形心的形心的y坐标即可。坐标即可。11221210020 15014020 701002014020

9、103.33mmCCCA yA yyAA1Cz1C2Cz2CCzC5050201401220zOyCy弯曲应力弯曲应2010m126.67 10 mCzI1(1)211284124646.67 10 m150 103.33100 20 10m4.423 10 mCCzzIIa A ( (2) )分别计算矩形分别计算矩形1、2对对zC轴的惯性矩轴的惯性矩2312464120 14010m4.57 10 m12CzI2(2)222264124644.57 10 m70 103.33140 20 10m6.586 10 mCCzzIIa A1Cz1C2Cz2CCzC5050

10、201401220zOyCy弯曲应力弯曲应力 ( (3) ) 计算整个图形对计算整个图形对zC轴的惯性矩轴的惯性矩 126464644.423 10 m6.586 10 m11.009 10 mCzzCCzIII弯曲应力弯曲应力 在某些梁段上，剪力为零，弯矩为在某些梁段上，剪力为零，弯矩为常数，这种情况称为常数，这种情况称为纯弯曲纯弯曲 ; ;FFxMxFaaaABFFSFCD 而在一般情况下，剪力与弯矩同时而在一般情况下，剪力与弯矩同时存在的情形，则称为存在的情形，则称为横力弯曲横力弯曲。 图中图中CD段剪力为零，弯矩为常数，这段剪力为零，弯矩为常数，这种情况即为纯弯曲种情况即为纯弯曲 ；而

11、；而AC、DB段剪力与弯段剪力与弯矩同时存在，则为横力弯曲。矩同时存在，则为横力弯曲。6-3 弯曲正应力及其强度计算弯曲正应力及其强度计算弯曲应力弯曲应力一、弯曲正应力一、弯曲正应力 研究纯弯曲梁，从研究纯弯曲梁，从变形几何条件变形几何条件、物理条件物理条件以及以及静力静力平衡条件平衡条件三个方面进行分析。三个方面进行分析。1. 几何方面几何方面 现象现象：横向线在变形后依然为直线，只是旋转了一个角度，横向线在变形后依然为直线，只是旋转了一个角度， 并仍然与弯曲后的纵向线正交；并仍然与弯曲后的纵向线正交；纵向线弯成弧线，其中位于梁上部的纵向线缩短，纵向线弯成弧线，其中位于梁上部的纵向线缩短，位

12、位 于梁下部的纵向线伸长。于梁下部的纵向线伸长。弯曲应力弯曲应力提出假设提出假设：梁的横截面在变形后仍保持为平面，并和弯曲后的纵梁的横截面在变形后仍保持为平面，并和弯曲后的纵 向线正交。这称为弯曲变形的向线正交。这称为弯曲变形的平面假设平面假设。梁内各纵向梁内各纵向“纤维纤维”受到单向拉伸或压缩，彼此间互受到单向拉伸或压缩，彼此间互不不 挤压、互不牵拉。这称为挤压、互不牵拉。这称为单向受力假设单向受力假设。弯曲应力弯曲应力中性轴中性轴 梁中间部位必然有一层既不伸长也不缩短、长度保梁中间部位必然有一层既不伸长也不缩短、长度保持不变的纵向持不变的纵向“纤维纤维”，这一纵向，这一纵向“纤维纤维”层称

13、为层称为中性中性层层。 梁中性层与横截面的交线则称为梁中性层与横截面的交线则称为中性轴中性轴。 弯曲应力弯曲应力dxbyOObMdyOObbMdbbyy ddbbbbbbyd ddbbxOOOO 变形几何关系式变形几何关系式 横截面上任意点处的纵向线应变横截面上任意点处的纵向线应变 与该点到中性层与该点到中性层的距离的距离y成正比。成正比。弯曲应力弯曲应力2. 物理方面物理方面 利用胡克定律利用胡克定律：EyyE横截面上任意点的正应力横截面上任意点的正应力 与该点的纵坐标与该点的纵坐标y成正比。成正比。yzOx弯曲正应力弯曲正应力 沿截面高度方向呈线性分布。沿截面高度方向呈线性分布。弯曲应力弯

14、曲应力3. 静力学方面静力学方面 yzxOMzyFN 横截面上各点的横截面上各点的法向内力元素法向内力元素 构成一平行于轴线轴构成一平行于轴线轴的空间平行力系。的空间平行力系。dA 纯弯曲梁的横截面上没有轴力纯弯曲梁的横截面上没有轴力FN，只存在一个位于，只存在一个位于纵向对称平面内的弯矩纵向对称平面内的弯矩M，故有，故有Nd0AA FdAyAM弯曲应力弯曲应力 将将 代入（代入（1）得）得yE Nd01AA F d2AyAM0zASydAd0AyEA中性轴中性轴z一定通过截面形心。一定通过截面形心。 将将 代入（代入（2）得）得yE2dAyEA MzEIM得中性层的曲率得中性层的曲率1zME

15、I弯曲应力弯曲应力将将 代入物理关系式代入物理关系式1zMEIyEzM yI得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: :说明说明：M为弯矩；为弯矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的惯性矩；y为点的纵坐标，亦即点到中性轴的距离；为点的纵坐标，亦即点到中性轴的距离；在中性轴上的各点处，正应力为零。在中性轴上的各点处，正应力为零。弯曲应力弯曲应力关于正应力关于正应力 正负号的确定：正负号的确定： 1.以中性轴为界，横截面被分为两个区域。其中，以中性轴为界，横截面被分为两个区域。其中，一个区域受拉，即靠近凸边一侧一个区域受拉，即靠近凸边一侧，其上各点产

16、生拉应力，其上各点产生拉应力，则则 为正值；另一个区域受压，即靠近凹边一侧为正值；另一个区域受压，即靠近凹边一侧, , 其上其上各点产生压应力，则各点产生压应力，则 为负值。为负值。 2.某点的应力是拉是压，也可以通过某点的应力是拉是压，也可以通过 中弯矩中弯矩 与点的纵坐标与点的纵坐标y的正负号确定，求得的正负号确定，求得 为正时表示拉应力，为正时表示拉应力， 为负时表示压应力。为负时表示压应力。zM yIM对于一般的横力弯曲，只要梁的长度与梁的截面高度对于一般的横力弯曲，只要梁的长度与梁的截面高度之比之比 ，它同样适用。，它同样适用。5l h 弯曲应力弯曲应力二、弯曲正应力的最大值二、弯曲

17、正应力的最大值 zM yI 在横截面上距离中性轴在横截面上距离中性轴z最远的上、下边缘各点最远的上、下边缘各点处，即处，即 时，弯曲正应力有最大值时，弯曲正应力有最大值maxyymaxmaxzM yImaxzzIWyWz为抗弯截面系数为抗弯截面系数弯曲应力弯曲应力maxzMW则则说明说明：关于常见截面的关于常见截面的Iz和和Wz1.矩形截面矩形截面32121226zzIbhWbhhh3112zIbh2.圆形截面圆形截面4164zId436412232zzIdWddddzzhb弯曲应力弯曲应力3.圆环截面圆环截面4464zDdI443464112232zzDdIWDDDdD为内外径比为内外径比三

18、、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件 maxmaxzMW适用于抗拉强度和抗压强度相等的塑性材料；适用于抗拉强度和抗压强度相等的塑性材料； 对抗拉强度和抗压强度不等的脆性材料，应对梁的对抗拉强度和抗压强度不等的脆性材料，应对梁的 最大拉应力和最大压应力分别进行强度计算。最大拉应力和最大压应力分别进行强度计算。 dDz弯曲应力弯曲应力例例6-7 试求图示矩形截面梁端右侧截面上试求图示矩形截面梁端右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。图中截面尺寸单位为四点处的正应力。图中截面尺寸单位为mm。解解:( (1) )确定梁确定梁A端右侧截面端右侧截面上的弯矩上的弯矩 20kN mM AB20kN

19、m2mkN mMx20作梁的弯矩图，得作梁的弯矩图，得A端右侧端右侧截面上的弯矩截面上的弯矩 ( (2) )计算横截面的惯性矩计算横截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数和抗弯截面系数Wz3393344150 10 m30010 m112123.375 10 mzIbh弯曲应力弯曲应力3262233150 10 m30010 m12.25 10 m66zWbh( (3) )计算各点处的正应力计算各点处的正应力a点点: :3-344620 10 N m 150 10 m3.375 10 m8.89 10 Pa = 8.89MPaaazMyIb点点: :3-344620 10 N m 75 10 m3.3

20、75 10 m4.44 10 Pa = 4.44MPabbzMyI弯曲应力弯曲应力d点与点与a点位于中性轴的两侧，但到点位于中性轴的两侧，但到中性轴的距离相等中性轴的距离相等8.89MPada 注：正号表示注：正号表示a、b两点为拉应力；负号则表示两点为拉应力；负号则表示d点为压应力。点为压应力。c点在中性轴上点在中性轴上 : :0c弯曲应力弯曲应力ABFC8ma158500202012ymmz解解:( (1) )画计算简图，求反力画计算简图，求反力 280kN mMx( (2) )确定危险截面及其上弯矩确定危险截面及其上弯矩 作梁的弯矩图作梁的弯矩图max280kN mM例例6-8 图示大梁

21、由图示大梁由NO.50a工字钢制成，跨中作用一集工字钢制成，跨中作用一集中力中力 。试求梁危险截面上的最大正应力。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处以及翼缘与腹板交界处a点的正应力。点的正应力。 140kNF maxRR70kNABFF弯曲应力弯曲应力( (3) )计算弯曲正应力计算弯曲正应力 NO.50a工字钢截面的惯性矩工字钢截面的惯性矩 ，抗弯，抗弯截面系数截面系数 。31860cmzW 446470cmzI 则危险截面则危险截面C上的最大正应力上的最大正应力 36maxmax-63280 10 N m150.5 10 Pa =150.5MPa1860 10 mzMW危险截

22、面危险截面C上点上点a的正应力的正应力 3max-8460.5m280 10 N m0.02m246470 10 m137.7 10 Pa =137.7MPaaazMyIa158500202012ymmz弯曲应力弯曲应力例例6-9试求图示试求图示T字形截面梁的最大拉应力和最大压应字形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知力。已知 ， 。 647.64 10 mmzI 152mmy 解解:( (1) )确定梁的最大确定梁的最大 弯矩及其所在截面弯矩及其所在截面 DCBA2m2m2m4.5kN2kNRAFRBF802012020Czy1y2ymmkN mM2.54x作梁的弯矩图作梁的弯矩图 梁的最大

23、正弯矩发生在截面梁的最大正弯矩发生在截面C上，最大负弯矩发生在上，最大负弯矩发生在截面截面B上，其大小分别为上，其大小分别为2.5kN mCM4kN mBMR1.25kNAFR5.25kNBF弯曲应力弯曲应力( (2) )计算截面计算截面C 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力 322t6462.5 10 N m8.8 10 m7.64 10 m28.8 10 Pa = 28.8MPaCCzM yI 321c6462.5 10 N m5.2 10 m7.64 10 m17.0 10 Pa =17.0MPaCCzM yI802012020Czy1y2ymm2.5kN mCM弯曲应力弯曲应

24、力( (3) )计算截面计算截面B 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力 321t6464 10 N m5.2 10 m7.64 10 m27.2 10 Pa = 27.2MPaBBzM yI 322c6464 10 N m8.8 10 m7.64 10 m46.1 10 Pa = 46.1MPaBBzM yI 梁的最大拉应力发生在截面梁的最大拉应力发生在截面C的下边缘，最大压应力的下边缘，最大压应力发生在截面发生在截面B的下边缘，的下边缘，tmaxt28.8MPaCcmaxc46.1MPaB802012020Czy1y2ymm 4kN m-BM弯曲应力弯曲应力例例6-10 图示悬臂梁

25、用工字钢制作。已知图示悬臂梁用工字钢制作。已知 ， ，材料的许用应力，材料的许用应力 。试根据正应。试根据正应力强度条件确定工字钢型号。力强度条件确定工字钢型号。40kNF 6ml 150MPaFABlkN mM240 x解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 max40kN 6m = 240kN mMFl弯曲应力弯曲应力( (2) )强度计算强度计算 3max6333240 10 N m150 10 Pa1.60 10 m1600cmzMW 由附录由附录B B中工字钢型钢表查得，可选用中工字钢型钢表查得，可选用NO.45c工工字钢。因其抗弯截面系数字钢。因其抗弯截面

26、系数 ，与计算结，与计算结果果 相差不到相差不到 ，这在工程设计中是允许，这在工程设计中是允许的的。 31600cm531570cmzW 弯曲应力弯曲应力例例6-11图示槽形截面铸铁梁。已知截面的图示槽形截面铸铁梁。已知截面的 、 、 ；铸铁材料的许用；铸铁材料的许用拉应力拉应力 、许用压应力、许用压应力 。试。试确定此梁的许可载荷。确定此梁的许可载荷。 445260 10 mmzI 177mmy 2120mmy t30MPac90MPa1yCzy2y解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 2BMF弯曲应力弯曲应力( (2) )强度计算强度计算 危险截面危险截面B处弯

27、矩为负值，梁上侧受拉、下侧受处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处。边缘和下边缘各点处。 31tmax41246277 10 m5260 1010m30 10 PaBzFMyI1yCzy2y310.25 10 N =10.25kNF 得得2BMF弯曲应力弯曲应力326cmax41242120 10 m90 10 Pa5260 1010mBzFMyI319.72 10 N =19.72kNF 得得1yCzy2y则许可载荷则许可载荷 10.25kNF 弯曲应力弯曲应力例例6-12钢制等截面简支梁

28、受均布载荷钢制等截面简支梁受均布载荷 作用，横截面为作用，横截面为 的矩形，如图所示。已知的矩形，如图所示。已知 ， ，材料的许用应力材料的许用应力 。试求：（。试求：（1）梁按图）梁按图a放放置时的截面尺寸；（置时的截面尺寸；（2）梁按图）梁按图b放置时的截面尺寸。放置时的截面尺寸。 q2hb2ml 50kN mq 120MPa解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 2max18MqlRR2ABqlFF弯曲应力弯曲应力( (2) )强度计算强度计算 图图a放置时放置时 22maxmax221 11 1138146zqlMqlWbhbh 232331633 50 10

29、267.9mm1616 120 10qlb故取故取 168mm,b 1136mmh 2max18Mql弯曲应力弯曲应力 图图b放置时，抗弯截面系数放置时，抗弯截面系数 , , 22216zWh b 232332633 50 10285.5mm88 120 10qlb故取故取 285.5mmb 2171 mmh 由结果可知，两梁的横截面面积之比由结果可知，两梁的横截面面积之比 ，即图即图b梁所用材料是图梁所用材料是图a梁所用材料的梁所用材料的1.59倍，显然矩形截面按照倍，显然矩形截面按照图图a放置时的承载能力比图放置时的承载能力比图b高，这是因为梁弯曲时中性轴附近的高，这是因为梁弯曲时中性轴附

30、近的正应力很小，而图正应力很小，而图b将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材料未得到充分利用。料未得到充分利用。221211.59AAbb2max18Mql弯曲应力弯曲应力例例6-13 T字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力所示。材料的许用拉应力 、许用压应、许用压应力力 ，试按正应力强度条件校核梁的，试按正应力强度条件校核梁的强度。强度。t40MPac100MPa2003017030CzyCy解解:( (1) ) 确定最大弯矩确定最大弯矩 作梁的弯矩图作梁的弯矩图 截面截面B上有最大负弯矩上有最大

31、负弯矩 20kN mBM截面截面E上有最大正弯矩上有最大正弯矩 10kN mEM弯曲应力弯曲应力( (2) )确定截面的确定截面的Iz1122123322200 30 185mm30 170 85mm200 30mm30 170mm139mmCCCA yA yyAA2003017030CzyCy弯曲应力弯曲应力 2133222332226464200mm30 mm46 mm200 30mm1230mm170 mm54 mm30 170mm1240.3 10 mm40.3 10 mCnzz iiiIIa A2003017030CzyCy弯曲应力弯曲应力( (3) )强度校核强度校核 截面截面B：

32、 331t64620 10 N m61 10 m40.3 10 m30.2 10 Pa = 30.2MPaBzM yI 332c64620 10 N m139 10 m40.3 10 m69 10 Pa = 69MPaBzM yI 20kN m-BM弯曲应力弯曲应力截面截面 E： 332t64610 10 N m139 10 m40.3 10 m34.5 10 Pa = 34.5MPaEzM yI 331c64610 10 N m61 10 m40.3 10 m15.1 10 Pa =15.1MPaEzM yI10kN mEM变形为上压下拉变形为上压下拉弯曲应力弯曲应力 梁的最大拉应力发生在截

33、面梁的最大拉应力发生在截面E下边缘各点处；下边缘各点处；最大压应力发生在截面最大压应力发生在截面B下边缘各点处，作强度校下边缘各点处，作强度校核：核：tmaxt34.5MPa 40MPacmaxc69MPa 100MPa结论：该梁强度满足要求。结论：该梁强度满足要求。 注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险点处的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。点处

34、的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。弯曲应力弯曲应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁 1、相关假设、相关假设 （1）切应力）切应力 的方向与剪力的方向与剪力 的方向平行的方向平行; SF（2）切应力）切应力 沿横截面宽度方向均匀分布，即沿横截面宽度方向均匀分布，即距中性轴等远处各点的切应力值相等。距中性轴等远处各点的切应力值相等。 弯曲切应力及其强度计算弯曲切应力及其强度计算弯曲应力弯曲应力2、弯曲切应力计算公式、弯曲切应力计算公式 SzzF SI b 剪力；剪力； 横截面上过纵坐标为横截面上过纵坐标为 的点的横线以外部的点的横线以外部 分面积（阴影区域）对中性轴分面积（阴影区域）对中性轴

35、的静矩；的静矩； 横截面的宽度；横截面的宽度； 整个横截面对中性轴整个横截面对中性轴 的惯性矩。的惯性矩。bzIzSFzSyz3、弯曲切应力分布规律、弯曲切应力分布规律 122122224zChyhb hSA ybyyy弯曲应力弯曲应力 沿横截面高度方向，弯曲切沿横截面高度方向，弯曲切 应力的大小按照抛物线的规应力的大小按照抛物线的规 律变化律变化;22SS24zzzF SFhyI bI说明：说明： 在上下边缘处在上下边缘处 , 弯曲切应力为零；弯曲切应力为零；2hy 在中性轴上的各点处在中性轴上的各点处 , 弯曲切应力最大。弯曲切应力最大。0y Smax32FA式中，式中， 为横截面的面积。

36、为横截面的面积。 Abh弯曲应力弯曲应力二、工字形截面梁二、工字形截面梁 SzzF SI d 为腹板厚度为腹板厚度 d 为图示阴影部分区域面积对中性轴为图示阴影部分区域面积对中性轴z的静矩。的静矩。 zS222200824zhbdShhy由由得得2222S00824zFhbdhhyI d弯曲应力弯曲应力说明说明: 在与上、下翼缘交界处在与上、下翼缘交界处( )的各点，切的各点，切 应力最小，为应力最小，为02hy 22Smin08zFbhbhI d在中性轴上（在中性轴上（ ）的各点，切应力最大，为）的各点，切应力最大，为0y 沿腹板高度方向，弯曲切沿腹板高度方向，弯曲切 应力照抛物线规律变化应

37、力照抛物线规律变化;22Smax08zFbhbd hI d弯曲应力弯曲应力当腹板厚度当腹板厚度d远远小于翼缘宽度远远小于翼缘宽度b时，时， Smax0Fdh对于工字钢截面，其最大弯曲切应力也可对于工字钢截面，其最大弯曲切应力也可Smaxmax:zzFd IS弯曲应力弯曲应力三、圆形截面梁三、圆形截面梁yzmaxSF薄壁圆环形截面梁弯曲切应力的薄壁圆环形截面梁弯曲切应力的 最大值发生在中性轴上各点处最大值发生在中性轴上各点处Smax43FA式中式中A为圆形截面的面积。为圆形截面的面积。四、薄壁圆环形截面梁四、薄壁圆环形截面梁RCzytmaxmaxSFSmax2FA圆形截面梁弯曲切应力的最大圆形截

38、面梁弯曲切应力的最大 值发生在中性轴上各点处值发生在中性轴上各点处式中式中A为圆环形截面的面积。为圆环形截面的面积。弯曲应力弯曲应力五、弯曲切应力强度条件五、弯曲切应力强度条件 梁的弯曲切应力的最大值一般发生在截面的中性梁的弯曲切应力的最大值一般发生在截面的中性轴上。由于中性轴上点的正应力为零，因此中性轴上轴上。由于中性轴上点的正应力为零，因此中性轴上的点受到纯剪切，弯曲切应力的强度条件即为的点受到纯剪切，弯曲切应力的强度条件即为 max弯曲应力弯曲应力例例6-14 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。梁的最大正

39、应力和最大切应力，并比较其大小。qABRBFRAFlyzChb解解:( (1) )求支座反力求支座反力 RR12ABFFql( (2) )确定最大弯矩和确定最大弯矩和最大剪力最大剪力 作梁的剪力图和弯矩图作梁的剪力图和弯矩图 SF2qlx2qlMx28qlSmax12Fql2max18Mql弯曲应力弯曲应力( (3) )计算最大正应力和最大切应力计算最大正应力和最大切应力22maxmax22138146zqlMqlWbhbhSmaxmax13332224qlFqlAbhbhyzChb弯曲应力弯曲应力( (4) )比较最大正应力和最大切应力的大小比较最大正应力和最大切应力的大小 22maxmax

40、3434qllbhqlhbh 说明：说明：此梁的最大正应力和最大切应力之比此梁的最大正应力和最大切应力之比就等于梁的跨度就等于梁的跨度 与梁的截面高度与梁的截面高度 之比。故在之比。故在对非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应对非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应以正应力强度条件为主。以正应力强度条件为主。 lh弯曲应力弯曲应力例例6-15 图示矩形截面钢梁，已知图示矩形截面钢梁，已知 、 ； ；材料的许用正应力；材料的许用正应力 、许用切应力许用切应力 。若规定梁横截面的高宽比。若规定梁横截面的高宽比 ，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。10kNF 5k

41、N mq 1ml 160MPa 80MPa2hbFqABCDRAFRBFlllyzChb解解:( (1) )求支座反力求支座反力 R3.75kNAFR11.25kNBFSkNF56.253.75xkN mM3.752.5x( (2) )确定最大弯矩和最大剪力确定最大弯矩和最大剪力 max3.75kN mMSmax6.25kNF弯曲应力弯曲应力( (3) )根据正应力强度条件确定截面尺寸根据正应力强度条件确定截面尺寸 maxzMW 3max33633 3.75 1022 160 100.03276m = 32.76mmMb取截面尺寸取截面尺寸= 33mmb66mmh 弯曲应力弯曲应力( (4)

42、)对弯曲切应力进行强度校核对弯曲切应力进行强度校核3Smaxmax6633 6.25 1022 33 66 104.3 10 Pa = 4.3MPaFA max= 4.3MPa80MPa所以梁的强度足够。所以梁的强度足够。 弯曲应力弯曲应力例例6-16 某工作平台的横梁是由某工作平台的横梁是由18号工字钢制成，受力号工字钢制成，受力如图所示。已知材料的许用正应力如图所示。已知材料的许用正应力 ，许，许用切应力用切应力 。试校核此梁强度。试校核此梁强度。 170MPa 100MPa2m2m2m2m6.5kNF FFABRBFRAFSkNFx9.759.753.253.25kN mM19.519.

43、526x解解:( (1) )求支座反力求支座反力 RR9.75kNABFF( (2) )确定最大弯矩确定最大弯矩 和最大剪力和最大剪力 max26kN mMSmax9.75kNF弯曲应力弯曲应力( (3) )校核弯曲正应力校核弯曲正应力 在型钢表中查得在型钢表中查得18号工字钢截面的几何参数：号工字钢截面的几何参数： 、 、 、 、 、 。180mmh 94mmb 6.5mmd 41660cmzI 3185cmzW cmzzIS 3maxmax6626 10185 10140.6 10 Pa=140.6MPa 170MPazMW梁的正应力强度足够。梁的正应力强度足够。 弯曲应力弯曲应力( (4

44、) )校核弯曲切应力校核弯曲切应力 Smaxmax3326:9.75 106.5 1015.4 109.75 10 Pa= 9.75MPa100MPazzFd IS梁的切应力强度足够。梁的切应力强度足够。 结论：该钢梁的强度符合要求。结论：该钢梁的强度符合要求。 弯曲应力弯曲应力例例6-17 图示工字形截面外伸梁，已知材料的许用正图示工字形截面外伸梁，已知材料的许用正应力应力 、许用切应力、许用切应力 ，试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。 160MPa 100MPa解解:( (1) )求支座反力求支座反力 R17kNAFR41kNBF40kN9kNqmABCDRAFRBF3m3m2myz(

45、(2) )确定最大弯矩确定最大弯矩 和最大剪力和最大剪力 max51kN mMSmax23kNFSkNF182317xkN mM5118x弯曲应力弯曲应力( (3) )按正应力强度条件选择工字钢型号按正应力强度条件选择工字钢型号 3max643351 10 N m160 10 Pa3.1875 10 m318.75cmM 查型钢表，选用查型钢表，选用NO.22b工字钢，其工字钢，其 ，可以满足要求。可以满足要求。3325cmzW 弯曲应力弯曲应力( (4) )校核切应力强度校核切应力强度 从型钢表中查得从型钢表中查得NO.22b工字钢的工字钢的 、 。cmzzIS9.5mmd Smaxmax323:23 10 N8.78 10 m 9.5 10 m27.7MPa 100MPazzFd IS梁的切应力强度足够，因此选用梁的切应力强度足够，因此选用NO.22b工字钢。工字钢。弯曲应力弯曲应力总结：梁的强度计算总结：梁的强度计算1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上