方程的根与函数的零点

1、教材：新课标人教教材：新课标人教a a版必修版必修1 1课题：方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点授课教师：罗风云授课教师：罗风云一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根与的根与二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图像有什的图像有什么关系？么关系？探究一探究一情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 情境创设情境创设 方程方程x x2 22x+1=02x+1=0 x x2 22x+3=02x+3=0y= xy= x2 22x2x3 3 y= xy= x

2、2 22x+12x+1函数函数函函数数的的图图像像方程的实数根方程的实数根x x1 1= =1,x1,x2 2=3=3x x1 1=x=x2 2=1=1无实数根无实数根( (1,0),(3,0)1,0),(3,0)(1,0)(1,0)无交点无交点x x2 22x2x3=03=0 x xy y0 01 13 32 21 11 12 21 12 23 34 4. . . . . . . . . . .x xy y0 01 13 32 21 11 12 25 54 43 3. . . . . .y yx x0 01 12 21 11 12 2y= xy= x2 22x+32x+3函数的图像与函数的图

3、像与x x轴的交点轴的交点情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 通过上述探究，我们可以得出以下结论：通过上述探究，我们可以得出以下结论：1.1.方程实数方程实数根的个数根的个数，就是函数图像与，就是函数图像与x x轴轴交点的个数交点的个数；2.2.方程的方程的实数根实数根，就是函数图像与就是函数图像与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标。情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 方程方程axax2 2 +bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx+

4、bx+c(a0)+c(a0)的图像的图像 判别式判别式 =b =b2 24ac4ac0 0=0=00 0函数的图像函数的图像与与x x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1 = x= x2 2没有实数根没有实数根x xy yx x1 1x x2 20 0 x xy y0 0 x x1 1x xy y0 0(x(x1 1,0) ,(x,0) ,(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)没有交点没有交点两个不相等的两个不相等的实数根实数根x x1 1 、x x2 2情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 一、函数零

5、点的概念一、函数零点的概念注：注：3.3.不是所有的函数都有零点；不是所有的函数都有零点；2.2.函数的零点函数的零点不是点不是点，是一个实数；，是一个实数； 对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做叫做函数函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点（zero pointzero point）。）。 1.1.函数的函数的零点零点就是函数图像与就是函数图像与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标; ;新知探索新知探索情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 4.4. 方程方程f(x)=0f

6、(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图像与的图像与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数值等于函数值等于零零时的时的x x的值的值函数函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点归纳关系：归纳关系：数数形形对零点的理解：对零点的理解： 数数 的角度：的角度： 形形 的角度：的角度：使使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x的值的值函数函数f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 数形结合cbxaxxf2)(0ac)(xf1)(2xaxxfa)0()(ab

7、axxfaxbxxh2)(2)(2)二次函数二次函数中，中，则二次函数，则二次函数的零点个数是（的零点个数是（ ）a.2a.2个个 b.1b.1个个 c.0c.0个个 d.d.无法确定无法确定(3)(3)如果函数如果函数 仅有一个零点，求实数仅有一个零点，求实数 的值的值. .(4)(4)若函数若函数有一个零点有一个零点2 2，那么函数，那么函数的零点是的零点是 . . 答案：答案：a a答案：答案：0 0或或41答案：答案：0 0或或21(1)(1)函数函数y=xy=x2 2-5x+6-5x+6的零点是（的零点是（ ） a.a.（3 3，0 0）, ,（2 2，0 0） b. x=2b. x

8、=2 c. x=3 d. 2 c. x=3 d. 2和和3 3 答案：答案：d d情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 思考：思考： 刚才，我们已经学习了如何去求一个函数的刚才，我们已经学习了如何去求一个函数的零点，那么现在你能判断出函数零点，那么现在你能判断出函数f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6的零点有几个吗？的零点有几个吗？情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 aabb首先，我们先看一个实际问题：小马过河首先，我们先看一个实际问题：小马过河 哪幅图片能说明小马在从哪幅

9、图片能说明小马在从a a点到点到b b点的过程点的过程中，一定曾渡过河？中，一定曾渡过河？ 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究二探究二情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 观察二次函数观察二次函数f(x)f(x)x x2 22x2x3 3的图像：的图像：在区间在区间 -2-2，1 1 上有零点上有零点_；f(-2)=_f(-2)=_，f(1)=_f(1)=_，f(-2)f(-2)f(1)_0f(1)_0(“(“”或或“”) )在区

10、间在区间(2(2，4)4)上有零点上有零点_；f(2)f(2)f(4)_0f(4)_0（“”或或“”） 1 14 45 5 3 3 0123 4 5-1-212345-1-2-3-4x情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 x xy yo oa ab bc cd d思考：思考：观察图像填空，在怎样的条件下，观察图像填空，在怎样的条件下，函数函数 在区间在区间 上存在零点？上存在零点？)(xfy ,da情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 有有 有有 有有 在区间在区间(a,b)(a,b)上上f

11、(a)f(b)_0f(a)f(b)_0(“(“”或或“”) ) 在区间在区间(a,b)(a,b)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点；在区间在区间(b,c)(b,c)上上f(b)f(c) _0f(b)f(c) _0(“(“”或或“”) ) 在区间在区间(b,c)(b,c)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点；在区间在区间(c,d)(c,d)上上f(c)f(d) _0f(c)f(d) _0(“(“”或或”) ) 在区间在区间(c,d)(c,d)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点；x xy yo oa ab bc cd d情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课

12、堂小结课堂小结 课后作业课后作业 回到刚才的小马过河问题，将河流抽象成回到刚才的小马过河问题，将河流抽象成x x轴，将两个位置视为轴，将两个位置视为a a、b b两点。请问当两点。请问当a a、b b与与x x轴怎样的位置关系时，轴怎样的位置关系时，abab间的一段连续不断的函间的一段连续不断的函数图像与数图像与x x轴一定会有交点？轴一定会有交点？a ab b x x a ab b x x( )yf x, a b如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在的图像是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在a,ba,b上有零点？上有零点？a ab b x x a ab b x x a a

13、b b x xa ab b x x情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 二二、函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理 （勘根定理）（勘根定理）例例xabyoyabxoabxyoabxyo情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 判断正误，若不正确，请举出反例判断正误，若不正确，请举出反例. .已知函数已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 满足满足f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，则，则f(x)f(x) 在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点. .

14、已知函数已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(a)f(b)0f(a)f(b)0， 则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点. .已知函数已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间 a,ba,b 上连续，且上连续，且f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0， 则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 抽象概括：抽象概括： 在闭区间在闭区间 上的图像上的图像)(xfy ,

15、ba0)()(bfaf)(xfy ,ba),(bab. b. 若函数若函数是连续不断的一条曲线，有是连续不断的一条曲线，有，并且，并且在闭区间在闭区间上上单调单调，则在区间则在区间 内，函数内，函数有唯一的零点。有唯一的零点。 )(xfy a. a. 定理中的关键词：定理中的关键词： “ “连续连续”、“ ”“ ”、“有零点有零点”； 0)()(bfaf情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 由上表和右图可知由上表和右图可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(3)0f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)(2,3)内

16、内有零点。有零点。 由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是单调递增函数，内是单调递增函数，所以它仅有一个零点。所以它仅有一个零点。解法解法1 1：用计算器或计算机作出：用计算器或计算机作出x x、f(x)f(x)的对应值表和图像的对应值表和图像 4 41.30691.30691.09861.09863.38633.38635.60945.60947.79187.79189.94599.945912.079412.079414.197214.19721 12 23 34 45 56 67 78 89 9x x0 02 24 46 610105 5y y2 24

17、410108 86 6121214148 87 76 64 43 32 21 19 9的零点个数。的零点个数。例例1. 1. 求函数求函数6 62 2lnln) )( (- -+ += =x xx xx xf f典例解析典例解析情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 回到刚才给出的思考，我们来看例回到刚才给出的思考，我们来看例1 1：一题多解一题多解01234 5-1-212345-1-2xy6的零点个数。的零点个数。例例1. 1. 求函数求函数6 62 2lnln) )( (- -+ += =x xx xx xf f解法2：所求问题可以转化为

18、求方程lnx+2x-6=0的根的个数，也即是求方程lnx=-2x+6的根的个数，也即是求函数y=lnx与函数y=-2x+6的图像交点的个数。数的精细数的精细形的直观形的直观互为印证互为印证相得益彰相得益彰数形结合数形结合情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 0211x21,21例例2. 2. 判断判断在在内是否存在实数解？内是否存在实数解？提示：注意定理中的关键词：提示：注意定理中的关键词： “ “连续连续”、“ ”“ ”、“有零点有零点”； 0)()(bfaf情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 2. 2. 方程方程xx 3log3的解所在的区间为（的解所在的区间为（ ） a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4)a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4)23)(xxfx0)(xf0 , 11. 1. 已知函数已知函数，问：方程，问：方程在区间在区间内有没有实数解？为什么？内有没有实数解？为什么？ c c请大家概括一下：请大家概括一下：这节课你学到了什么？这节课你学到了什么？1 1函数零点的定义函数零点的定义; ;2 2三个等价关系三个