二次函数综合问题(存在性)

1、二次函数综合性问题(存在性问题)重点：1:主要考查方程、函数及基本几何图形(如：三角形、四边形)等知识的应用；2:考查待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想、方程与 函数思想以及综合运用数学知识来分析问题、解决问题的能力。难点：灵活运用数学的基础知识、基本技能和基本数学思想方法正确解决综合性 和数学问题应用举例：21.如图，已知抛物线 y = 2x +bx+c的图象与x轴的一个交点为 a(2, 0),另一个交点为B,且与y轴交于点C (0, -2).(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,已知点D是抛物线在x轴上方图象上的一动点， AOD的面积为1, 请判断 AOD是否为等腰三角

2、形？说明理由；1(3)如图2,直线y =2x-2与抛物线交于点 q、C,点e是抛物线在x轴上方图象上的任意一点，过点E作直线EF± x轴交QC于点F,是否存在点E,使点E到直线QC的距离与点C到直线EF的距离之比为3： J5,若存在，求出点E的坐标；若不存在，请.解:得-8+2b c c = -2,解得抛物线的解析式为:y=-2x2+5x-2 .(2)如图1,过点D作DHx轴于点H.,；Szaod=1, AO=21 八AO DH=1. DH=1.2因为D在第一象限，所以D的纵坐标为1 ,且D在抛物线上,1- -2x2+5x-2=1 ,解得：x1二13x2= 2点D坐标为(1, 1)或

3、(,1).当点D为(1,1)时，DH垂直平分OA,9OD是等腰三角形;当点D为1)时，。氏A3OA , AAOD不是等腰三角形.(3)存在点E,使点E到直线QC的距离与点如图2,过点E作EM，QC于M,过点设 Em , -2R2 + 5m_ 2)(m>0)C到直线EF的距离之比为3 :遥.C 作 CN，EF 于 N匚 1 F m2m-2 , C(0,-2 > N(m,2)1FN= - m, CN=m在 RtACNF 中，CF= VFN2 +CN2m:AFCNMAFEMCFEFCN由2 EFEF= -2m2L C 15m - 2 -(- 22m - 2)= -2mm2-2m23二 E

4、 (3,1)22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +bx+4父x轴于A、B两点，其中A(4,0),B(2,0) .(1)求该抛物线的解析式;(2)点P是线段AB上的一点，过点 P作PQ/AC,交BC于点Q,连接CP.当4CPQ的面积最大时，求点 P的坐标；(3)若点M是抛物线上一点，且横坐标为-3,点N是y轴上一点，在(2)的条件下， 是否存在这样的点 N,使得 MPN是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.y = -2x +4J = x-aa 4x 二3-2a 4(a 43-2a 4)3216a 4b + 4 = 026.解：(1)将 A(-4,0), B(2,

5、0)代入 y =ax 2该该抛物线的解析式为：y = -x2 -x 4 设 P (a, 0) A(T,0), B(2,0), C (0,4)直线AC的解析式为：y = x + 4直线BC的解析式为：y = 2x + 4又 PQ /AC, P ( a , 0)直线PQ的解析式为:+bx+4得：3 、4a +2b +4=01a = 一一解得：2b = 1CPQ = S CPB - S QPB1 公、1、=父4 (2a) (2a)2 2=4 -2a 一(2 33-a2 -2a 8-2a 433-(a D2 93当a = 1时，ACPQ的面积最大即yPQ的面积最大时，点 P的坐标为（ 1,0）(3)存

6、在，设 N (0,b)1 o5将 x = -3 代入 y = x x+4 得：y = - 22则MP 2 = DP2 MD 2 = (-3 D 241MN 2 .MF 2 FN 2 =32(b _522261=b -5b4NP2 =ON2 OP2 = b2 1M( -3, 当MP2+MN 2 = NP2即41+b2 5b十笆=b2十1时49 b =10449(0, tt)MP2 +NP2 =MN 2 即 41 + b2 +1 =b2 -5b +61 时4b =544N (0,4)510，666666141 当NP2 +MN2 =MP2即b2 +1+b2 5b+乙=一时，此方程无解.44，、一 .、494综上所述：N（0,49）或N （0,4） 105方法小结：存在性问题是指在题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存 在的一类数学问题。在题目中常出现“是否存在”的表达语言。解题的策略与方 法通常是：先假设具有这种性质的数学对象存在， 并以此也作为题目的一个条