第十二章 第一节 相似三角形的判定及有关性质

1、1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行理解相似三角形的定义与性质，了解平行 截割定理截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理会证明和应用直角三角形射影定理. 1平行线等分线段定理平行线等分线段定理2平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理3相似三角形的判定相似三角形的判定4直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定5相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理6直角三角形的射影定理和逆定理直角三角形的射影定理和逆定理1如图所示，已知如图所示，已知abc，直线，直线m， n分别与直线分别与直线a、b、c交于点交于点a、b、 c和和a、b、c.如果如果abbc1， ab ， 求求bc.解：解：

2、abc， ，又又abbc1，bc .2在在abc中，中，bac的外角平分线的外角平分线ad交交bc的延长线于点的延长线于点 d，求证：，求证： .证明：证明：过过c作作cfab交交ad于于f，如图所示，则如图所示，则 ，又又afcfaefac得：得：accf， .3如图，已知如图，已知d在在ab上，且上，且de bc交交ac于于e，f在在ad上，且上，且ad2 afab，求证：，求证：aefacd. aefacd.证明：证明：debc， .ad2afab， ， ，efcd，aefacd. 有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可

3、利用相似三角形的判定和性质求解成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解.解题中要注意观察图形特点解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线巧添辅助线,对解题可起到事对解题可起到事半功倍的效果半功倍的效果. 如图，在梯形如图，在梯形abcd中，中，adbc，adc90，e是是ab边的中点，连结边的中点，连结ed、ec，求证：，求证：edec.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记过过e点作点作efbc交交dc于于f点点在梯形在梯形abcd中，中，adbc，adefbc.e是是ab的中点，的中点，f是是dc的中点的中点adc90，dfe90.efdc，ef是是dc的垂直平分线的垂直平分线edec. 三

4、角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法结合图形选择恰当的方法.一般的思考程序是：先找两对一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例对应成比例. 已知：如图已知：如图abc中，中，abac，bac90，d、e、f分别在分别在ab、ac、bc上，上，ae ac，bd ab，且，且cf bc.求证：求证：(1)efbc；(2)adeebc.

5、思路点拨思路点拨（1）欲证）欲证bacefc，可先证，可先证 .（2）欲证）欲证ade=ebc，可先证，可先证adefbe.课堂笔记课堂笔记设设abac3a，则则aebda，cf a.(1) ，又又c为公共角，为公共角，故故bacefc，由由bac90得得efc90，efbc.(2)由由(1)得得ef a，故，故 ，又又 ， .daebfe90，adefbe，adeebc. 应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二应用射影定理有两个条件：一是直角三角形，二是斜边上的高，两者缺一不可是斜边上的高，两者缺一不可. 如图，在如图，在abc中，中，d、f分别分别在在ac、bc上，且上，且abac，a

6、fbc，bddcfc1，求，求ac.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记在在abc中，设中，设ac为为x，abac，afbc，fc1，根据射影定理得：根据射影定理得：ac2fcbc，即，即bcx2.再由射影定理得：再由射影定理得：af2bffc(bcfc)fc，af .在在abc中，过点中，过点d作作debc于于e，bddc1，beec，又又afbc，deaf， ，de .在在rtdec中，中，de2ec2dc2，即即( )2( )212，即即 1，x ，即，即ac . 以解答题的形式考查平行线分线段成比例定以解答题的形式考查平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理在解决平面几何中的理、相似三

7、角形、射影定理在解决平面几何中的应用是高考对本节内容的常规考法应用是高考对本节内容的常规考法.09年江苏高年江苏高考将上述定理与圆相结合命题考将上述定理与圆相结合命题,是一个新的考查是一个新的考查方向方向. 考题印证考题印证 (2009江苏高考江苏高考)(10分分)如图，如图，在四边形在四边形abcd中，中，abc bad. 求证：求证：abcd.【证明证明】abc bad，acbbda，(3分分)a、b、c、d四点共圆，四点共圆，cabcdb.(5分分)又又abc bad，cabdba，(8分分)dbacdb，abcd.(10分分) 自主体验自主体验 如图，如图，e是圆是圆o内两弦内两弦ab和和cd的交点，直线的交点，直线efcb，交，交ad的的延长线于点延长线于点f，fc与圆交于点与圆交于点g. 求证：求证：(1)dfeefa； (2)efgefc.证明：证明：(1)efcb，defdcb.dcb和和dab都是弧都是弧db上