六年级数论综合

1、学习必备欢迎下载六年级第 8 讲数论综合（一）【兴趣篇】4. 一个各位数字均不为0 的三位数能被8 整除 , 将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数( 例如 , 按此方法由247 将得到 47、27、24) 。已知这些两位数中一个是 5 的倍数，另一个是6 的倍数，还有一个是7 的倍数，原来的三位数是多少？【分析与解】一个是5 的倍数 ,各 4 位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。能被 7 整除有 14、 21、 28、35、 42、 49、56、 63。被 5 整除有 15、 25、 35、 45、 55、 65、75、 85、 95，能被 6 整除有 12、

2、 18、 24、 36、 42、 48、54、 66。经试得满足条件的三位数是 656。6一个自然数N 共有 9 个约数，而N1 共有 8 个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？【分析与解】N 要约数为9。 N 分解质因数指数必定是2 与 2， N 1 要约数为分解质因数指数必定是1、1 与 1，N要最小，所以从2 的 2 次乘 3 的 3 次，可是，8，N1N1 不符合，经试，只有196 才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。10信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译密文的密码, 这样就达到了保密的作用. 有一天我军截获了敌军的一

3、串密文:A37|8B4|21C, 字母表示还没有被破译出来的数字 . 如果知道密码满足如下条件 :密文由三个三位数连在一起组成, 每个三位数的三个数字互不相同;三个三位数除以12 所得到的余数是三个互不相同的质数;三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.你能破解此密文吗?【分析与解】由得，A 不能为3、 7， B 不能为4、 8，C 不能为2、 1， 21C÷ 12，当 C为 5 时，余数是11，当 C 为 8 时，余数是2，当 C 为 9 时，余数是3，其它的不符合。8B4÷ 12，当 B 为 5 时，余数是2，其它的不符合，所B 只能是 5， C 只能是 9。 B、 C

4、 是奇数，所以A 只能是是偶数，A37÷ 12，有且只当A 是 4 时，余数是5。密文 :A37|8B4|21C为 437 854 219。【拓展篇】8. 一个合数 , 其最大的两个约数之和为1164. 求所有满足要求的合数.【分析与解】 一个合数 , 其最大的两个约数之和为1164，这两个数之间可以是两倍、三倍、或 11 倍的关系，这样1164 除去 3 乘 2 得第一个合数776， 1164 除去 4 乘 3 得第二个合数873， 1164 除去 12 乘 11 得第三个合数1067。所有满足要求的合数是776、 873、 1067。学习必备欢迎下载9. 已知 a 与 b 是两个

5、正整数 , 且 A B. 请问 :如果它们的最小公倍数是36, 那么这两个正整数有多少种情况?如果它们的最小公倍数是120, 那么这两个正整数有多少种情况?【分析与解】36 分解质因数，a b，当 a=36 时， b 有 8 种情况，当a=18 时， b 有 2种情况，当a=12 时， b 有 1 种情况，当a=9 时， b 有 1 种情况，所以最小公倍数是36, 那么这两个正整数有12 种情况。120 分解质因数，用中的方法能解得最小公倍数是120, 这两个正整数有31 种情况。12.如图 15-l,在一个圆圈上有几十个孔( 少于 100 个 ).逆时针方向，每隔几个孔跳一步, 希望一圈以后

6、能跳回到果只能跳到B 孔. 他又试着每隔4 孔跳一步，也只能跳到回到 4 孔 . 问这个圆圈上共有多少个孔?小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着A 孔 . 他先试着每隔2 孔跳一步 , 结B 孔 . 最后他每隔6 孔跳一步 , 正好【分析与解】设这个圆圈有n 个孔 , 那么有 n 除以 3 余 1,n 除以 5 余 1.n 能被 7 整除 则将 n-1 是 3、5 的倍数 , 即是 15 的倍数 , 所以 n=15t+1, 又因为凡是7 的倍数 , 即 15t+1=7A, 将系数与常数对7 取模 , 有 t+1 0(mod7), 所以 t 取 6 或 6 与 7 的倍数和 .对应孔数为15

7、5;6+l=91 或 91 与 105 的倍数和，满足题意的孔数只有91即这个圆圈上共有91 个孔【超越篇】1 有 6 个互不相同且不为0 的自然数，其中任意5 个数的和都是7 的倍数，任意的和都是6 的倍数。请问：这6 个数的和最小是多少？【分析与解】我们由题可以想到，这6 个数能被7 整除，被6 除余 3, 可以得出这分别是 :21 、 63、 105、 147、 189、 231。这 6 个数的和最小是756。4 个数6 个数2 设 N=301× 302×× 2005× 2006，请问：(1) N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？(2)用 N

8、 不断除以12，直到结果不能被12 整除为止，一共可以除以多少次12？【分析与解】 (1)要求 N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”，我们只要计算N 有多少个 2 乘 5，在 N 中 5 的因数比2 少 , 所以就只要求出多少个因数5 就可以了 .305-2005有 341 个 5 的倍数 ,325-2000 有 68 个 25 的倍数 ,375-2000 有 14 个 125 的倍数 ,625-1925有 3 个 125 的倍数 , 所以一共有 341+68+14+3=426 个 . N的末尾一共会出现 426 个连续的数字“ 0”.学习必备欢迎下载(2) 12=2× 2

9、15; 3, 要求 N一共可以除以多少次 12, 只要求 N 含有多少个 2× 2× 3 因式就可以了, 用 (1) 的方法算出有多个 2、 4、 8、16、 32、 64、128、 256、 512、 1024 的倍数的数 , 一共算得有 1700 个， 3 的倍数的有 1526，2× 2 的因式有 850 个， 3 的因式有 1526，所以一共可以除以 850 次 12。3 老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000 的四位数。这个四位数是5 的倍数。贝贝计算出它与 5！的最小公倍数，晶晶计算出它与 10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的 5 倍。请问

10、：这个四位数是多少？【分析与解】贝贝的计算结果恰好是晶晶的5 倍，这个四位数与5！的最小公倍数是贝贝的计算结果，显然这个数为4！的倍数，所知又为5！的倍数，因为这个数与5！最小公倍数就是它本身，它与10！的最大公约数最小也是120，它本身必须包含600 这个约数，而600 也是 10！的约数，所以这个四位数就是3000 。4 一个正整数，它分别加上75 和 48 以后都不是120 的倍数，但这两个和的乘积却能被120 整除。这个正整数最小是多少？【分析与解】设这个正整数为A, 则 (75+A) × (48+A)=3600+A(75+48+A) 是 120 的倍数 , 则A(75+48

11、+A)= A(123+A), A(123+A)是 120 的倍数 , 则 A 是 120 的倍数或 (123+A)是 120 的倍数, 是要使正整数最小 , 我们只要使 (123+A) 是 120 的倍数 , 得 A 是 240-123=117. 这个正整数最小是 117.5 a 、b、 c 是三个非零自然数。a 和 b 的最小公倍数是300， c 和 a， c 和 b 的最大公约数都是 20，且 ab c。请问：满足条件的a、 b、 c 共有多少组？【分析与解】300=20× 3× 5，是 a 、b 的最小公倍数，而 20 是 a 和 c、 b 和 c 的最大公约数，所以

12、a、 b、 c 有 7 种可能，即a20×5 20 ×3×5 20×3×5 20 ×520×3×520×3×5 20×3×5 b20×320 ×320 ×520 ×3 20 ×320 ×520 ×5C20202040404080a b c，满足条件的a、 b、 c 共有 7 组。6 有一类三位数，它们除以2、 3、 4、 5、 6 所得到的余数互不相同（可以含0）。这样的三位数中最小的三个是多少？【分析与解

13、】除以2、 3、4、 5、 6 所得到的余数互不相同（可以含0），要求找到一个数能整除2、 3、4、 5、 6 后有余数的数，所以先求最小公倍数，2× 3× 4× 5× 6=60，又因为是最小三位数，所以是120。当 120 减 1 得 119，让 119 除以 2、 3、 4、 5、 6，所得的余数分别为： 1、 2、3、 4、 5；当 120 减 2 得 118，让 118 除以 2、 3、 4、5、 6，所得的余数分别为： 0、 1、 2、 3、 4，当 120 减 3 得 117，让 117 除以 2、 3、 4、 5、 6，所得的余数分别为： 1、 0、 1、2、 3，不符合，所以余数0 不是除以4、6，而除以2、 3 都有了，所以只有除以 5 得 0 了，个位不能是0，因为是 0 的话能被动整除，所以个位只能是5 了。经算只有155 符合，所以第三小的是155，