广州大学版高数课件高数课件

1、一、引例一、引例.1. 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度. 设某物体作变速直线运动，其位移S与时间t的函数关系为S = S(t). 问：在任一时刻t0的速度应当怎样定义？时间位移速度匀速直线运动：第一节 导 数 的 定 义由时刻t0到时刻 t0+t 走过的位移为)()(00tSttSS).( 0tVVt越接近于越小，若当t0时，平均速度tS的极限存在.则称该极限值为该物体在t0时刻的瞬时速度.即ttSttStStVtt)()(limlim)(00000变速直线运动：SS(t0+ t)S(t0)0S考虑时刻t0附近的某时刻t0+t. tSV平均速度：2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率

2、 设曲线方程为y=f (x). 问: 怎样求曲线上任一点的切线斜率. 曲线的切线： 对于曲线C上任一点M，考虑其附近一点N.(N可在M的左侧，也可在M的右侧).让点N沿曲线C趋向点M，若割线MN有极限位置MT. 则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0 记点M的坐标为(x0,y0); 点N的坐标为(x0+x, y0+y).注意到y0=f (x0), y=f (x0+ x)f (x0)则割线 MN 的斜率,k(为割线MN的倾角).tank(为切线MT 的倾角).tanxyxxfxxf)()(00所以kx0limxxfxxfxyxx)()(li

3、mlim0000当N沿曲线C趋向M时，. 0 x此时, 割线MN的斜率 无限地接近于切线MT的斜率k. k3. 非均匀细杆的线密度非均匀细杆的线密度. 设有一根质量不均匀的细杆，取坐标系如图，其一端点为坐标原点，另一端点为杆长l, 对于0, l 上的任一点x, 在0, x上的质量是x的函数，记为m=m(x).所以在,xxx上的质量为).()(xmxxmm称,xxx为细杆在上的平均线密度.xmx0 xx+xl. 0 x当若xm的极限存在，则称该极限值为细杆在点x处的线密度.即：xxmxxmxmxuxx)()(limlim)(00二、导数的定义二、导数的定义设函数y=f (x)在点x0的某邻域U(

4、x0)内有定义, 当自变量x在x0处有增量x(点x0+xU(x0)时，相应的函数有增量y=f (x0+ x)f (x0);如果, y与 x之比，当x0时的极限存在，则称函数y=f (x)在点x0处可导. 并称这个极限值为函数y=f (x)有点x0处的导数, 记为, 0 xxy也可记作.)(dd ),(000 xxxxdxxdfxyxf或即xxfxxfxyxx)()(limlim00000 xxy(1)定义定义1.导数定义式(1)的不同形式：hxfhxfxfh)()(lim)( 0000(2)和000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx(3)(记x=x0+x)注注1：若xyx0lim不存

5、在，则称函数y=f (x)在点x0处不可导.特别地，若.lim0 xyx也称函数y=f (x)在点x0处的导数为无穷大.例例1. 下列各题中, 均假定 f (x0)存在, 指出A表示什么:(1)Axxfxxfx)()(lim000解解:xxfxxfAx)()(lim000 xxfxxfx)()(lim000)(0 xf (2).)0(, 0)0(.)(lim0存在且其中ffAxxfx解解:xxfAx)(lim00)0()(lim0 xfxfx)0(f (3)Ahhxfhxfh)()(lim000解解:hhxfhxfAh)()(lim000)(2)()(000 xfxfxfhxfhxfhxfhx

6、fh)()()()(lim00000hxfhxfhxfhxfhh)()(lim)()(lim000000注注2：若f (x)在(a,b)内每一点处都可导，则称函数 f (x)在(a,b)内可导.此时，对于x(a,b). 都对应着f (x)的一个确定的导数值，从而构成一个新的函数，称为函数y=f (x)的导函数，简称导数，.)( ).(.dxxdfdxdyxfy或即xxfxxfxfx)()(lim)(0(4).)( )(00 xxxfxf记为三、求导数举例三、求导数举例例例2. 求函数f (x)=C(C为常数)的导数.解：解：. 0)()(CCxfxxfy)(xf 即0)(Cxx0lim00li

7、m0 xxyx0lim= 0例例3. 设y=xn, n为正整数. 求.y解解：nnxxx)(nnnxxxnnxxn)(.)(! 2) 1(221xy有所以y即：1 )(nnxnx. 1)(x特别：由于y121)(.)(! 2) 1(nnnxxxnnxnxyx0lim1nxnn=1时，注意注意：. 1)(uuxux例如例如)(21x(2) 当 x0时)1(x对于幂函数对于幂函数y=xu.(u为常数为常数). 有有(1) 当 x0时12121x2121xx21)(1x111x21x例例4. 设 y=sinx. 求y解：解： sin)sin(xxx2sin)2cos(2xxxxy 有22sin)2c

8、os(xxxx所以 y22sin)2cos(lim0 xxxxx1cos xxcos 由于yxxxx2sin)2cos(2xyx0limxxcos)(sin类似地，对y=cosx,利用xxxycos)cos(可得xxsin)(cos即2sin)2sin(2xxx例例5. . ).1, 0( .yaaayx求设解解：xxxaa令.1tax则 . 1taxxy) 1( xxaataxta1)1 (log1 )1 (logttaax所以ytaxtta10)1 (log1limeaaxlog1 .ln aax由于 y).1 (logtxaxaaxx) 1(xyx0limaaaxxln)(.)(xxee

9、即：即：特别特别: 解：解：xxxln)ln(xy 有即：xx1)(ln类似地，由axxalnlnlog可得axxaln1)(logxxxxx)1ln(1 由于y所以yxxxxxx)1ln(1lim0exln1x1例例6. 设y=lnx, x0 求yxxx)1ln(xyx0lim)1ln(xx 求函数f (x)=|x|=x, x 0.x, x 1设函数)(lim01xfx201lim xx=1)(lim01xfx)(lim01baxxba f (10)=f (1+0)=f (1) 1 ( f) 1 ( f.)1 (存在f 故： a=2 , b=111lim201xxx) 1(lim01xx11

10、lim01xbaxx1lim01xaaxx1) 1 ()(lim01xfxfx1) 1 ()(lim01xfxfx= 2= a).1 ()1 (ff(1) u(x) v(x) = u(x) v(x) (2) u(x) v(x) = u(x) v(x)+ u(x) v(x) 2xvxvxuxvxuxvxu(3) 0 xv定理定理1：设函数u=u(x), v=v(x)在点x处可导，且则u(x) v(x), u(x) v(x)在点x处可导； xvxu在点x处可导，当v(x) 0时,第二节 求导法则函数的和、差、积、商的求导法则一一.(1) y = u (x) v (x) 则证：证：y= u(x+ x

11、) v(x+ x) u(x) v(x) = u(x+ x)u(x) v(x+ x) v(x) = u v )()(xvxuxvxuxx00limlimxyx0limxvuoxlim xvxu(2) 设 y= u(x) v(x) 则 y= u(x+ x) v(x+ x) u(x) v(x) = u(x + x) v(x+ x) u(x) v(x+ x) + u(x) v(x+ x) u(x)v(x)= u v(x+ x) + u(x)v )()(xvxu)()()()( xvxuxvxu)()(lim0 xvxuxxvxuxxvxuxxvuox)()(limxyx0lim(3)()(xvxuy

12、(v(x) 0) 则:y)( )()( )()()(xvxxvxxvxuxvxxu)( )()( )()()(xvvxvvxvxuxvuxu)( )()()(xvvxvvxuxuv)()()()(xvxuxxvxxu uvw= (uv) w =(uv) w+(uv)w 注注 (1) : k u (x) = k u (x) (k为常数 )注注 (2) : 定理中的(1), (2)可推广到有限多个函数的 情形,例 如:)()(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu=u vw +uvw +uvw)()()()(lim0 xvvxvxvxuxvxuxxyx0lim例例1 求y=x2sinx

13、的导数y =(x2 sinx)=2xsinx+x2cosx=(x2) sinx+x2 (sinx)解解:例例 2 设 y=tanx 求y xytan解解:x) xx(x) x(2coscossincossinxxx222cossincosx2cos1xxxx222tan1seccos1)(tan故:类似可证:xxx22cscsin1)(cot)cot1 (2xxxcossin例例 3: 设 y =secx 求y 解解:xxcos1)(secxx2cossin 故: (secx) =secx tanx类似可得: (cscx) =csc x cot xxx2cos)(cosxx tansec 解解

14、: f ( x) = 3x24sinx例例4: 设 2sincos43xxxf求 f (x) 及2f44322f定理定理2: 若函数在x= y某区间Iy内单调可导; 且 y0,则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix内也可导,且)(1)(yxf即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.dydxdxdy1二二. 反函数求导法则反函数求导法则:证明证明: 因为x= y在区间Iy上单调可导,则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix上单调连续.yxxy1 由x= y连续, y=f (x)也连续当x时,必有y, 且 y0yxxyxx1limlim:00所以 yy1)(1)( yxfyx即yxy0lim1

15、由y=f (x)的单调性,当x0必有y0, 于是11 11arcsin 2xxx证明例例5 5证明证明: 设直接函数为 x= sin y,yxyx)(sin1)(arcsiny2sin11211)arcsin( xx211x其反函数 为y= arcsin x (-1 x 0有:)22(y内单调可导,由x=siny在区间211)(arctan xx证明 例例6 6证明：证明： 设x=tany为直接函数，其反函数为y=arctanx0sec)(tan22tan2yyyyxy且内单调，可导，在由则xx)(arctanyy)(tan1y2sec1y2tan11211x211)(arctan xx故：x

16、xarcsin2cos arc 由 arctan2cotarcxx211)(arccosxx211)cotarc(xx由得得定理定理3: 如果u= x在点x0可导，而y=f (u)在点u0= x0可导，则复合函数y=f x在点x0处可导，且其导数为：000|)(|)(xxuuxxdxduduudfdxxdf即：)()()(000 xufxf三、复合函数求导法则（链导法则）三、复合函数求导法则（链导法则）证证：由y=f (u)在点u0可导，得00limufuyu0ufuy存在，且（其中)00limuou且 所以 y=f (u0) u+ u (1)当 u0时 y0, (1)式仍成立，这时规定 0.

17、 xyx0lim 从而因 u=x在点x0可导，故x必在x0处连续，xuxuufxxx0000limlimlim0limlim00ux因此：当 x时，有 u ，xuxuufx)(lim00于是：得000|xufdxdyxx即: f (x0) = f (u0) (x0) 例如例如 设y=f (u), u= v, v= x)可导, 则复合函数y=f x的导数为:( )( )( )dydf udvdxdxdudvdxdxdvdvdududy 注注: 复合函数的求导法则可以推广到复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形多个中间变量的情形.xueyeyu-x 可看成是由dxdududedxdyuxe

18、解：解：dxdyeyx求设 例例7：1uexxdxdy)tan(lnxx2sectan1xx cossin1dxdy xy求设 tanln 例例 8：解：解：xxxx)(tan)tan(lntan0 lnxexxuu因xxuxuexdxdy)()( :ln所以xxuxuxue)ln()(lnlnxuexu1lnxuxu1 )( 1uuxuxdxdyxRuxyu求设 0 , 例例 9：解：解：1uxu故(uR, x 0)四、基本求导公式四、基本求导公式1. (C) = 02. (xu) = uxu13. axxaln1)(log5. aaaxxln)(6. xxee )(4. xx1)(ln(7

19、)xxcos)(sin(8)xxsin)(cos(9)xxx22seccos1)(tan(10)xxx22cscsin1)(cot(11)xxxtansec)(sec(12)xxxcotcsc)(csc(13) 11(11)(arcsin2xxx(14) 11(11)(arccos2xxx(15)211)(arctanxx(16)211)cotarc(xx例例10: 求下列函数的导数43)32( ) 1 (xy解解:)32()32(4333xxy2339)32(4xx332)32(36xx(2)xxxeexeyarctan)1ln(212解解:xxxxxxxeeeeeeey222)(11arc

20、tan)(121121xxxxxeeeee22211arctan11xxeearctan(3)(xefy解解:) 1()()(xxeefy)(xxefe(4). 0,. 0,2xxexxyx解解:.)1 ()(,)(,0 xxxxexxeexfxexfx则时.2)(,)(,02xxfxxfx则时x = 0时,)0(f0)0()(lim00 xfxfxxxexx00limxxe00lim= 1)0(f0)0()(lim00 xfxfxxxx200limxx00lim= 0.0)(点不可导在 xxf故.)0(;0,)1 (0,2)(不存在fxexxxxfx例例11. 下列各题中求导运算是否错误.

21、若不正确请给出正确的解法.311)3ln(ln3ln ) 1 (xxx()正确正确:3lnx)3ln(lnxx1 1 )2(xxxxx()正确正确:)(lnxxxexxxxexx1lnln) 1(lnxxxxxxxxln )3(sinsin()正确正确:)(lnsinsinxxxexxxxxexx1sinlncoslnsin)sinln(cossinxxxxxx例例 考虑方程: x3+y3=4 若不解出y,由方程x3+y3=4仍然确定y是x的函数,只是没有明显地表示出y如何依赖于x,称y是x的隐函数. 若由方程中解出y,得y=(4x)1/3.则y是x的函数,并且称y=(4x)1/3为显函数.

22、五五. 隐函数的导数隐函数的导数.定义定义: 设有方程 F(x,y) = 0;如果当 x在某一区间Ix上任取一值,相应地总存在满足该方程的、唯一的y值与之对应,则称 F(x,y) = 0在区间Ix内确定了一个隐函数 y = y(x).例例12: 求由方程 ey + xy e = 0所确定的隐函数 y = y(x) 的导数和y(0).所以yexyy又 当 x = 0时, y = 1. eey101)0(1将方程两边分别对x求导,并注意到y是x的函数. 解解:得 ey y + y + xy = 0所以例例13. 求椭圆191622yx在点)323,2(处的切线方程.由导数的几何意义知 k = y

23、x=2解解:从而两边分别对x求导.得将方程191622yx02912161yyxyxy169o)323 , 2(34yx. 323y当 x = 2时, 代入上式得:432xy于是,所求切线方程为) 2(43323xy03843yx即例例14. 求由方程导数0sin21yyx所确定的隐函数y的对方程两边分别对x求导,0sin21yyx得:于是0 xycos211ddydxdyydxdycos22解解:.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x x

24、y21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t六六 . . 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数.),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx)()(tttt例例1515解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taataco

25、ssin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例16 . 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为,1tvx ,2122gttvy求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.V1VV2xyo(1)先求速度的大小V，,1vdtdx铅直分量为gtvdtdy2解解:速度的水平分量为抛射体运动的速度大小为22)()(dtdydtdxV2221)(gtvv(2) 再求速度的方向.12tanvgtvdtdxdtdydxdy当

26、t = 0,即抛射体刚射出时,12tanvv当时, tan = 0gvt2此时,运动方向是水平的,即抛物体达到最高点.设是切线的倾角M(x, y)yox 2t解解:dtdxdtdydxdy2cotcos1sinttt(t 2n , n为整数)cos1(sintata例例17. 计算由摆线的参数方程x=a(tsint)y=a(1cost)所确定的函数y=y(x)的导数.例如例如: 设设 y = u(x)v(x). 其中其中u(x)、v(x)均可导均可导, 且且u(x)0.(1)两边取对数. lny = v(x) lnu(x)(2)两边对 x 求导.)()()()(ln)(1xuxuxvxuxvyy(3)两边乘以 y = u(x)v(x). )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuyxv得七七 . 取对数求导法取对数求导法.例例18 设y=xsinx(x0) ,求.dxdy解法一解法一: 由xxeylnsin)1sinln(coslnsinxxxxedxdyxx)sinln(cossinxxxxxx解法二解法二: 两边取对数,得x