平面向量的数量积(27)课件

1、已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力F F的作用下产生位移s s（如图）FS力力F F所做的功所做的功W W可用下式计算可用下式计算 W=|W=|F F| | |S S|cos |cos 其中其中是是F F与与S S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量数量积数量积的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与

2、 ，它们的夹，它们的夹角为角为，我们把数量，我们把数量| | | | |b b|cos|cos叫做叫做与与b b的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作 bb bb=|=| | | |b b| cos| cos规定规定: :零向量零向量与任一向量的数量积为与任一向量的数量积为0 0。 数量积的定数量积的定义义注意：注意：1. .两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. .2.书写时书写时“”不能省略不能省略.0001804.的范围的范围5.a b的符号由的符号由cos的符号决定的符号决定.可以读作3.a b 向量点乘ba向量OA=a， OB=b，过点，过点

3、B作作BB1垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为B1，则，则OB1=|b|cos。|b|cos叫做向量叫做向量b在在a方向上的方向上的投影投影。为为锐角锐角时时为为钝角钝角时时=90=0=180我们得到我们得到 b b的几何意义：的几何意义： 数量积数量积 bb等于等于 的长度的长度| | | |与与b b在在 的的方向上的投影方向上的投影|b|cos|b|cos的乘积。的乘积。数量积的几何意义abBAOcos|bB1设设 ，b都是非零向量，则都是非零向量，则重要性质重要性质:（3）| b| | |b|（2）当）当 与与b同向时，同向时， b= 当当 与与b反向时，反向时， b=特别地特别地

4、 =| |2或或| |= 。（1）b b| |b|（4）cos= b=0| | |b| | |b|解：解： b=| |b|cos =54cos120 =54（-1/2） =10例例1 已知已知| |=5，|b|=4， 与与b的夹角的夹角=120，求，求 b。 已知已知| |=5，|b|=4， b =10,求求 与与b的夹角的夹角。练习练习：1、下列命题是真命题的有（、下列命题是真命题的有（ ）. 0|,|,.; 0, 0.; 0, 0.; 0, 0, 0.; 0, 0.22babababaEbabaDbabaCbbaaBbabaA则若与非零向量则若中至少有一个为、则若则若有则对任一非零向量若,

5、 6, 3| ,22|.2baba已知_上的投影为在则baDE23.已知向量ab与 共线，且1,2,aba b 求2cos:baba析数量积的数量积的运算律运算律交换律：交换律：abba对数乘的结合律：对数乘的结合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )(注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()( :cbacba即其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R例例2、求证：、求证： 22222)()(22)(1 (babababbaaba例例3、| 3,| 4,150 ,2 ) (3 ), |, |oabababababab已知且 与 的夹角求（ b

6、abakkbaba2,60, 4, 5使为何值时问夹角为与且已知例例3、 0b2abakb2abak:解021222bbakak1514:k解得 babakk2,1514时所以当016260cos451225kk两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.4.| 3,| 4,ababkakbakb例 已知且 与 不共线，当 为何值时，向量与互相垂直？的值。互相垂直，求也与且、若kbakbababa432, 1|1练习：练习：两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.3答案：k=4k6答案： :,4,3, 002, 001:. 1其中正确的个

7、数为有四个式子babacbcabaaa基础训练题基础训练题A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个:,. 2下列结论正确的是均为单位向量已知ba1.baA22.baBbabaC平行.0.baDD DB B223.1,4,0,:aba b aab 已知则 与 的夹角是90. A60.B120.C150.DB巩固练习ca,ac+c aABBCCA bb b 1.正 ABC的边长为1，设，那么的值是：（ ）2.ab|a| |b| |a+b|=1,|a-b|=已 知 向 量满 足则3-23 ,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB ,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB三、典型例题分析三、典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或120例例1、