平面向量数量积dingga课件

1、【学习目标】【学习目标】理解两个向量夹角的定义；掌握理解两个向量夹角的定义；掌握平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的定义及几何意义； 掌握平面向量数量积的重要性质；掌握平面向量数量积的重要性质；了解平面向量数量积可以处理有关了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题长度、角度和垂直问题复习回顾：数乘向量定义及运算律复习回顾：数乘向量定义及运算律 引例：引例： 我们学过功的概念，即一个物体我们学过功的概念，即一个物体在力在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的

2、夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAabO正射影的数量：正射影的数量：|coslaa a Ola |cosbab 在在 上上的的投投影影：|cos0a Oa |cos0a l|cos0a |cosaba 在在 上上的的投投影影：l说明：说明：（1）正射影是向量，）正射影是向量，正射影的数量

3、是数（又称投影）如：正射影的数量是数（又称投影）如：而而学点一：向量在轴上的正射影的数量：学点一：向量在轴上的正射影的数量：推广：推广： |a| cos（|b| cos）叫做向量）叫做向量a在在b方方向上（向量向上（向量b在在a方向上）正射影的数量。方向上）正射影的数量。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向

4、量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积结的数量积结果是一个数果是一个数量。量。 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向

5、时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例2 2、（、（1 1） 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。学点二：数量积公式的应用学点二：数量积公式的应用-求数量积、夹角及向量的模求数量积、夹角及向量的模1,23(1) / ,;(2),4ababa ba b ：已知求求，分两种情况：）由解：（ba/1;2,ba

6、ba 同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（练习OAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积。的乘积。练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对

7、任意向量对任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacba 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab

8、)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.2222() 思考 是一个常用的结论，如何构造一个图形解释这个公式的 几何意义？9 已知=, =， 求 .练习练习：构造矩形构造矩形学点四：向量数量积的综合应用学点四：向量数量积的综合应用例例4、求证：菱形的两条对角线互相垂直。、求证：菱形的两条对角线互相垂直。222| 6,| 4,b60,(2 ) (3 ),() ,|abaa bababababab 已已知知与与 的的夹夹角角为为，求求，|cos12a

9、 bab 解:解:22|36aa22|16bb(2 ) (3 )abab 226aa bb 22| | | |cos6| |aa bb 72 2()a b 222aa b b 22| |2| | |cos| |aa bb 28 2|a b 2()28a b |a b 282 7 例例5、(2)|2 |ab kab(3)当当k为何值时为何值时求：求：与与2ab垂直垂直| 3,| 4,abkakbakb已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？0a ba b 练习：练习：() ()0akbakb 2220ak b 29160k34k 解：解：总结：总结：小结：小结：l1.l2.|co|saabb 0aba b 22|aa 可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影小结小结4.向量数量积的运算律向量数量积的运算律cbcacbababababaabba)(3(;)()()(2(;1）（(4)()()a bcab c5.5.类似于多项式的乘法运算类似于多项式的乘法运算(3). a b a b = 0(1). aa = |a|2或aaa |(2). cos =|baba 6