《平面向量的基本定理及坐标表示》

1、编辑编辑pptppt1 11、平面向量的坐标表示与平面向量分、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。解定理的关系。2、平面向量的坐标是如何定义的？、平面向量的坐标是如何定义的？3、平面向量的运算有何特点？、平面向量的运算有何特点？编辑编辑pptppt2 2Vocabulary 专业词汇平面向量基本定理 The fundamental theorem of plane vectorfndmntl irm基底 base 夹角 included angle 垂直 vertical v:rtkl正交分解 Orthogonal decompositionrnl rprznten坐标表示 Coord

2、inate representationk:dnet编辑编辑pptppt3 3在不共线的两个向量中，垂直是一在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解。编辑编辑pptppt4 4 我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向

3、量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。编辑编辑pptppt5 5 我们把（我们把（x,y)x,y)叫做向量叫做向量a a 的的（直角）坐标，记作（直角）坐标，记作 a=(x a=(x，y),y), 其中其中x x叫做叫做a a 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a a在在y y轴上的坐标，（轴上的坐标，（x ,yx ,y）叫做叫做向量的坐标表示。向量的坐标表示。ayjiO图 1xxiyj a=xi+yj（1，0）（0，1）（0，0）i=i=j=j=0=0=JO=其中其中i，j为向量为向量 i，j 编辑编辑pptppt6 6ayjiO图 1xxi

4、yj其中其中xi为为x i，yj为为y j编辑编辑pptppt7 7yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。一对实数唯一表示。i编辑编辑pptppt8 8P96 例1编辑编辑pptpp

5、t9 9例例2 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图解：由图3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理，同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)编辑编辑pptppt1010课堂小结课堂小结1.平面向量基本定理2.正交分解3 平面向量的坐标表示编辑编辑pptppt1111作业编辑编辑pptppt1414已知，已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =

6、(x1+x2)i+(y1+y2)j即即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。于这两个向量相应坐标的和与差。编辑编辑pptppt1515结论：结论： 一个向量的坐标等于表示此向量一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则则 AB= OB - OA = (x2,y2) - (x1,y1) =

7、 (x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)2 21 12 21 1( (x x - -x x , ,y y - -y y ) )P编辑编辑pptppt1717*已知a=(x,y)和实数，那么 a= (x, y)即 a=(x, y)*这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。编辑编辑pptppt1818例例2 已知已知a（2，1），），b（3，4），求），求a+b，ab，3a+4b例例3 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（2，1）、）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的

8、坐标的坐标编辑编辑pptppt1919例例4 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个定点的三个定点A、B、C的坐标分别为（的坐标分别为（2，1）、（）、（1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标编辑编辑pptppt2020编辑编辑pptppt21212. P100 第3题（1）编辑编辑pptppt2222课堂小结课堂小结编辑编辑pptppt2323作业：作业：P100第1、2，3（2）题编辑编辑pptppt2424 设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中其中b是非零向量是非零向量,那么可以知道，那么可以知道，a/b的充要条件是存在一实数的充要条件是存在一实数，使

9、使 a= b这个结论如果用坐标表示，可写为这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= (x2，y2) 即即 x1= x2 y1= y2问题：问题：共线向量如何用坐标来表共线向量如何用坐标来表示呢？示呢？编辑编辑pptppt2525消去消去后得后得 也就是说，也就是说，a/b(b0)的等价表示是的等价表示是 x1y2-x2y1=0 x1y2-x2y1=0编辑编辑pptppt2626练习练习1：下列向量组中，能作为表示：下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正它们所在平面内所有向量的基底，正确的有（确的有（ ）（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )编辑编辑pptppt2727例例2、已知、已知 a=（4，2），）， b=（6，y），），且且 a/b ，求，求 y 的值。的值。编辑编辑pptppt