61实践与探索等周变形等积变形

1、6.3 实践与探索实践与探索 (等周变形等积变形等周变形等积变形)常用几何图形的计算公式长方形的周长长方形的周长 =长方形的面积长方形的面积 =三角形的面积三角形的面积 =圆的周长圆的周长=圆的面积圆的面积=长方体的体积长方体的体积 =圆柱体的体积圆柱体的体积 =（长宽）（长宽） 2 长长 宽宽 底底高高122r(其中其中r是圆的半径）是圆的半径）r长长宽宽高高 rh（这里（这里r为底面圆的半径，为底面圆的半径，h为圆柱体的高）为圆柱体的高）底面积底面积高高问题问题1 用一根长用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形厘米的铁丝围成一个长方形（2） 使长方形的宽比长少使长方形的宽比长少4厘米，求这厘

2、米，求这个长方形的面积个长方形的面积（长与宽的比为（长与宽的比为3：2）（1） 使长方形的宽是使长方形的宽是 长的长的 ，求这个长方，求这个长方形的长和宽形的长和宽2360厘米厘米解：（解：（1）设长方形的长为）设长方形的长为x厘米，则宽为厘米，则宽为23x厘米，依题意得厘米，依题意得x23x22603xx52603106033601018xxxx 经检验，符合题意经检验，符合题意答：这个长方形的长是答：这个长方形的长是18厘米，宽是厘米，宽是12厘米。厘米。 （2）问：你打算如何设未知数？能否直接设面积为）问：你打算如何设未知数？能否直接设面积为 x平方厘米？平方厘米？解解: 设长方形的长为

3、设长方形的长为x厘米，则宽为（厘米，则宽为（x4）厘米，）厘米，依题意得依题意得xx42(x +x4) = 602(2x-4)=60 2x-4=30 2x=34 x = 17经检验，符合题意经检验，符合题意x4 = 174 = 13 (厘米厘米)s长方形长方形 = 1713 = 221（平方厘米）（平方厘米）答：长方形的面积是答：长方形的面积是221平方厘米。平方厘米。不是每道应用题都是直不是每道应用题都是直接设未知数，要认真分接设未知数，要认真分析题意，找出能表示题析题意，找出能表示题意的等量关系，再根据意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如这个等量关系，确定如何设未知数。何设未知数。 想

4、一想想一想 比较（比较（1）、（）、（2）所得两个长方形的面积大小，）所得两个长方形的面积大小，观察（观察（1）、（）、（2）中什么量发生变化？）中什么量发生变化？ 什么量没有发生变化？什么量没有发生变化？（长、宽和面积发生变化，而周长没有发生变化。）（长、宽和面积发生变化，而周长没有发生变化。） 探探 索索 将题（将题（2）中的宽比长少）中的宽比长少4厘米改为厘米改为3厘米、厘米、2厘米、厘米、1厘米、厘米、0厘米（即长与厘米（即长与宽相等），长方形的面积有什么变化？宽相等），长方形的面积有什么变化？长宽之差（厘米）长宽之差（厘米）3210s长方形（平方厘米）长方形（平方厘米）222.752

5、24224.75225问：（问：（1）你有什么发现？试着归纳一下）你有什么发现？试着归纳一下 通过探索我们发现通过探索我们发现，长方形的周长一定长方形的周长一定的情况的情况下，它的长和宽越接近，面积就越大下，它的长和宽越接近，面积就越大.当长和宽当长和宽相等，即成为相等，即成为正方形正方形时，面积最大时，面积最大，通过以后，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理的学习，我们就会知道其中的道理.用一元一次方程解决实际问题用一元一次方程解决实际问题,有三个要点：有三个要点：对现实情境问题的题意的理解对现实情境问题的题意的理解,能画出示意图的能画出示意图的尽量画出来尽量画出来 设未知数一般有两种方法

6、，既设设未知数一般有两种方法，既设直接未知数直接未知数和和间接未知数间接未知数，所设未知数的选择对于能否列出，所设未知数的选择对于能否列出方程以及列出方程的难易程度都有影响方程以及列出方程的难易程度都有影响.例如刚才的例如刚才的第（第（2）小题就是设间接未知数便于列方程）小题就是设间接未知数便于列方程一般的现实情境都包含多个等量关系一般的现实情境都包含多个等量关系,需要根据需要根据所设未知数所设未知数,对各个等量关系进行分析、比较，作出对各个等量关系进行分析、比较，作出恰当的选择。恰当的选择。同学们有看过炼钢厂的生产车间吗？同学们有看过炼钢厂的生产车间吗？在锻压车间，我们可以看到工人经常将一些

7、在锻压车间，我们可以看到工人经常将一些“又矮又矮又胖又胖”的圆柱形铁锭锻造成的圆柱形铁锭锻造成“又瘦又长又瘦又长”的长方体的长方体条钢。条钢。你能根据自己的理解试着用橡皮泥先做出你能根据自己的理解试着用橡皮泥先做出“矮胖形矮胖形”圆柱体，再将它变成圆柱体，再将它变成“瘦长形瘦长形”长方体吗？有何发长方体吗？有何发现？找一找其中什么发生变化，什么没有发生变化。现？找一找其中什么发生变化，什么没有发生变化。v圆柱体圆柱体 = v 长方体长方体 底面积底面积高高长长宽宽高高问题问题2 2现在已知圆柱体钢锭的底面直径为现在已知圆柱体钢锭的底面直径为20厘米厘米 ，高为，高为50厘米，要制造的长方体条钢

8、的底面的长宽分别为厘米，要制造的长方体条钢的底面的长宽分别为10厘米和厘米和5厘米厘米 。那么长方体条钢的高是多少。那么长方体条钢的高是多少 ？（精确到1厘米，取3.14 ） 解：设高为解：设高为x厘米，依题意得厘米，依题意得 v v圆柱体圆柱体 = v = v 长方体长方体10250 = 105x 50 x= 10050 x=100 x=31 4经检验，符合题意经检验，符合题意答；高约为答；高约为314厘米厘米 。问：比较问题问：比较问题1和问题和问题2的解题过程，有什么发现的解题过程，有什么发现? 归纳归纳: : （1 1）两个问题都与几何图形的变形有关）两个问题都与几何图形的变形有关 。

9、问题。问题1 1是是“等周变形等周变形”，问题，问题2 2是是“等积变形等积变形”。 解决这类解决这类问题的问题的关键是抓住其中的不变量，周长或体积关键是抓住其中的不变量，周长或体积 。（2 2）在这类问题中，要熟记常见几何图形的）在这类问题中，要熟记常见几何图形的面积面积 、体积公式。注意不要把直径当成半径、体积公式。注意不要把直径当成半径 。练一练练一练在一个底面直径在一个底面直径5厘米、高厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、厘米、 高高 10厘米的圆柱厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下形玻璃

10、杯中，能否完全装下？若装不下 ，那么瓶内水面还，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面有多高？若未能装满，求杯内水面 离杯口的距离离杯口的距离 。分析：分析：要解决要解决“能否完全装得下能否完全装得下”这个问题，实质是这个问题，实质是比较这两个容器的大小，因此只要分别计算这比较这两个容器的大小，因此只要分别计算这 两两个容器的容积，结果发现是否个容器的容积，结果发现是否“装的下装的下” ” 。发现发现“装不下装不下”。等量关系是。等量关系是玻璃杯中的水的体积玻璃杯中的水的体积 + 瓶内剩下的水的体积瓶内剩下的水的体积 = 原整瓶水的体原整瓶水的体 积积解：解：22121256181022

11、25184vvvv 910 112.5 90不能完全装下设瓶内水面还有设瓶内水面还有x厘米高，依题意得厘米高，依题意得2226551018222112.5112.59022.522.56.253.6xxxxxx 25 90 +4 6.25 6.25 经检验，符合题意经检验，符合题意答：瓶内水面的高为答：瓶内水面的高为3.6厘米。厘米。本课小结：本课小结：今天主要学习有关图形变形的应用题的解法，今天主要学习有关图形变形的应用题的解法，通过大家动手实验，认真思考，通过大家动手实验，认真思考，发现解决关发现解决关键是键是 找出找准问题中的等量关系找出找准问题中的等量关系。有些等量。有些等量关系是关系是 隐藏在题目的条件中的，要正确地找隐藏在题目的条件中的，要正确地找到它需要到它需要 我们联系实际，积极探索。通过本我们联系实际，积极探索。通过本节学习，我们也节学习，我们也 意识到将几何图形与代数知意识到将几何图形与代数知识有机的结合，能很识有机的结合，能很 有效、直观地帮助我们有效、直观地帮助我们解决很多问题。这种解题方法我们称之为解决很多问题。这种解题方法我们称之为数数形结合形结合 。作业：作业：1、课本、课本p14页页 练习练习1 p15页页 习题习